Узел Лиссажу - Lissajous knot

В теория узлов, а Узел Лиссажу это морской узел определяется параметрические уравнения формы

А Лиссажу 821 морской узел

куда , , и находятся целые числа и фазовые сдвиги , , и может быть любой действительные числа.[1]

Проекция узла Лиссажу на любую из трех координатных плоскостей есть Кривая Лиссажу, и многие свойства этих узлов тесно связаны со свойствами кривых Лиссажу.

Заменив косинус-функцию в параметризации на треугольная волна превращает каждый узел Лиссажу изотопически в биллиардную кривую внутри куба, простейший случай так называемого бильярдные узлы.Бильярдные узлы можно изучать и в других областях, например, в цилиндре.[2]

Форма

Поскольку узел не может быть самопересекающимся, три целых числа должно быть попарно относительно простой, и ни одна из величин

может быть целым числом, кратным число Пи. Более того, сделав замену вида , можно предположить, что любой из трех фазовых сдвигов , , равно нулю.

Примеры

Вот несколько примеров узлов Лиссажу,[3] все из которых :

Есть бесконечно много разных узлов Лиссажу,[4] и другие примеры с 10 или меньше переходы включить 74 узел, 815 узел, 101 узел, 1035 узел, 1058 узел, а составной узел 52* # 52,[1] а также 916 узел, 1076 узел, 1099 узел, 10122 узел, 10144 узел, бабушка узел, а составной узел 52 # 52.[5] Кроме того, известно, что каждый завязать узел с Инвариант Arf ноль - это узел Лиссажу.[6]

Симметрия

Узлы Лиссажу очень симметричны, хотя тип симметрии зависит от того, соответствуют ли числа , , и все странные.

Странный случай

Если , , и все странные, то точечное отражение через происхождение является симметрией узла Лиссажу, сохраняющей ориентацию узла.

В общем, узел, обладающий точечной симметрией отражения, сохраняющей ориентацию, известен как сильно плюс амфикхейрал.[7] Это довольно редкое свойство: всего семь-восемь простые узлы с двенадцатью или меньшим количеством пересечений строго положительно амфихиральны99, 10123, 12a427, 12a1019, 12a1105, 12a1202, 12n706 и еще не определившийся случай, 12a435).[8] Поскольку это очень редко, «большинство» простых узлов Лиссажу лежат в четном случае.

Даже случай

Если одна из частот (скажем, ) ровно, то поворот на 180 ° вокруг Икс-ось является симметрией узла Лиссажу. В общем, узел, обладающий симметрией этого типа, называется 2-периодический, поэтому каждый четный узел Лиссажу должен быть 2-периодическим.

Последствия

Узел Лиссажу с тремя факторами: ,

Симметрия узла Лиссажу накладывает серьезные ограничения на Полином александра. В нечетном случае полином Александра узла Лиссажу должен быть идеальным квадрат.[9] В четном случае многочлен Александера должен быть полным квадратом по модулю 2.[10] В дополнение Инвариант Arf узла Лиссажу должен быть равен нулю. Следует, что:

Рекомендации

  1. ^ а б Bogle, M.GV .; Hearst, J. E .; Джонс, В. Ф. Р .; Стоилов, Л. (1994). «Узлы Лиссажу». Журнал теории узлов и ее разветвлений. 3 (2): 121–140. Дои:10.1142 / S0218216594000095.
  2. ^ Lamm, C .; Обермейер, Д. (1999). «Бильярдные узлы в цилиндре». Журнал теории узлов и ее разветвлений. 8 (3): 353–366. arXiv:математика / 9811006. Bibcode:1998математика ..... 11006Л. Дои:10.1142 / S0218216599000225.
  3. ^ Кромвель, Питер Р. (2004). Узлы и ссылки. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 13. ISBN  978-0-521-54831-1.
  4. ^ Ламм, К. (1997). «Узлов Лиссажу бесконечно много». Manuscripta Mathematica. 93: 29–37. Дои:10.1007 / BF02677455.
  5. ^ Бучер, Адам; Дейгл, Джей; Хост, Джим; Чжэн, Вэньцзин (2007). «Выборка узлов Лиссажу и Фурье». arXiv:0707.4210 [math.GT ].
  6. ^ Хост, Джим; Зирбель, Лаура (2006). «Узлы Лиссажу и узлы с проекциями Лиссажу». arXiv:math.GT/0605632.
  7. ^ Пржитицкий, Йозеф Х. (2004). «Симметричные узлы и бильярдные узлы». У Стасяка, А .; Katrich, V .; Кауфман, Л. (ред.). Идеальные узлы. Серии по узлам и всему прочему. 19. World Scientific. С. 374–414. arXiv:математика / 0405151. Bibcode:2004математика ...... 5151P.
  8. ^ Ламм, Кристоф (2019). «Поиски несимметричных ленточных узлов». Экспериментальная математика. Дои:10.1080/10586458.2018.1540313.
  9. ^ Hartley, R .; Каваути, А (1979). «Полиномы амфихиральных узлов». Mathematische Annalen. 243: 63–70. Дои:10.1007 / bf01420207.
  10. ^ Мурасуги, К. (1971). «О периодических узлах». Комментарии Mathematici Helvetici. 46: 162–174. Дои:10.1007 / bf02566836.