Энергия Мебиуса - Möbius energy

В математика, то Энергия Мёбиуса из морской узел особый узловая энергия, т.е. функциональный на пространстве узлов. Это было обнаружено Джун О'Хара, который продемонстрировал, что энергия взрывается, когда пряди узла приближаются друг к другу. Это полезное свойство, поскольку оно предотвращает самопересечение и обеспечивает результат при градиентный спуск из того же тип узла.

Инвариантность энергии Мёбиуса относительно Преобразования Мебиуса был продемонстрирован Майкл Фридман, Zheng-Xu He и Zhenghan Wang (1994), которые использовали его, чтобы показать существование ${displaystyle C ^ {1,1}}$ минимизатор энергии в каждом изотопическом классе главный узел. Они также показали, что минимальная энергия любого узла достигается за счет круглого круга.

Предположительно, для составных узлов не существует минимизатора энергии. Роберт Б. Куснер и Джон М. Салливан провели компьютерные эксперименты с дискретизированной версией энергии Мёбиуса и пришли к выводу, что не должно быть минимизатора энергии для узловая сумма из двух трилистников (хотя это не доказательство).

Напомним, что преобразования Мёбиуса 3-сферы ${displaystyle S ^ {3} = mathbf {R} ^ {3} чашка infty}$ являются десятимерной группой сохраняющих угол диффеоморфизмов, порожденной инверсией в 2-сферах. Например, инверсия в сфере ${displaystyle {mathbf {v} в mathbf {R} ^ {3} двоеточие | mathbf {v} -mathbf {a} | = ho}}$ определяется ${displaystyle mathbf {x} o mathbf {a} + {ho ^ {2} over | mathbf {x} -mathbf {a} | ^ {2}} cdot (mathbf {x} -mathbf {a}).}$

Рассмотрим спрямляемую простую кривую ${displaystyle gamma (u)}$ в трехмерном евклидовом пространстве ${displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$ , куда ${displaystyle u}$ принадлежит ${displaystyle mathbf {R} ^ {1}}$ или же ${displaystyle S ^ {1}}$ . Определите его энергию

{displaystyle E (гамма) = iint left {{frac {1} {| gamma (u) -gamma (v) | ^ {2}}} - {frac {1} {D (gamma (u), gamma (v) )) ^ {2}}} ight} | {точка {гамма}} (u) || {точка {гамма}} (v) |, du, dv,}

куда ${displaystyle D (гамма (u), гамма (v))}$ это кратчайшее расстояние дуги между ${displaystyle gamma (u)}$ и ${displaystyle gamma (v)}$ на кривой. Второй член подынтегрального выражения называется регуляризацией. Легко заметить, что ${displaystyle E (гамма)}$ не зависит от параметризации и не изменяется, если ${displaystyle gamma}$ заменяется подобием ${displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$ . Причем энергия любой линии равна 0, энергия любого круга равна ${displaystyle 4}$ . Фактически, воспользуемся параметризацией длины дуги. Обозначим через ${displaystyle ell}$ длина кривой ${displaystyle gamma}$ . потом

{displaystyle E (gamma) = int _ {- ell / 2} ^ {ell / 2} {} dxint _ {x-ell / 2} ^ {x + ell / 2} left [{1 over | gamma (x) -gamma (y) | ^ {2}} - {1 over | xy | ^ {2}} ight] dy.}

Позволять ${displaystyle gamma _ {0} (t) = (cos t, sin t, 0)}$ обозначают единичный круг. У нас есть

{displaystyle | gamma _ {0} (x) -gamma _ {0} (y) | ^ {2} = {left (2sin {frac {1} {2}} (x-y) ight) ^ {2}}}

и следовательно,

{displaystyle {egin {align} E (gamma _ {0}) & = int _ {- pi} ^ {pi} {} dxint _ {x-pi} ^ {x + pi} left [{1 over left (2sin {frac {1} {2}} (xy) ight) ^ {2}} - {1 over | xy | ^ {2}} ight] dy & = 4pi int _ {0} ^ {pi} left [{ 1 над левым (2sin (y / 2) ight) ^ {2}} - {1 над | y | ^ {2}} ight] dy & = 2pi int _ {0} ^ {pi / 2} left [{ 1 over sin ^ {2} y} - {1 over | y | ^ {2}} ight] dy & = 2pi left [{1 over u} -cot uight] _ {u = 0} ^ {pi / 2 } = 4end {выровнено}}}

поскольку ${displaystyle {frac {1} {u}} - cot u = {frac {u} {3}} - cdots}$ .

Узел инвариантный

Слева - узелок и эквивалентный ему узел. Может быть сложнее определить, эквивалентны ли сложные узлы, такие как тот, что справа, безузловому.

Узел создается, начиная с одно-размерный отрезок линии, произвольно оборачивая его вокруг себя, а затем соединяя два его свободных конца вместе, чтобы сформировать замкнутый цикл (Адамс 2004, Сосинский 2002 ). Математически мы можем сказать узел ${displaystyle K}$ является инъективный и непрерывная функция ${displaystyle Kcolon [0,1] o mathbb {R} ^ {3}}$ с ${displaystyle K (0) = K (1)}$ . Топологи рассматривают узлы и другие зацепления, такие как ссылки и косы быть эквивалентным, если узел можно плавно толкать, не пересекаясь с самим собой, чтобы он совпал с другим узлом. Идея узловая эквивалентность заключается в том, чтобы дать точное определение того, когда два узла следует рассматривать как одно и то же, даже если они расположены в пространстве по-разному. Математическое определение состоит в том, что два узла ${displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ эквивалентны, если есть сохраняющий ориентацию гомеоморфизм ${displaystyle hcolon mathbb {R} ^ {3} o mathbb {R} ^ {3}}$ с ${displaystyle h (K_ {1}) = K_ {2}}$ , а это, как известно, эквивалентно существованию окружающая изотопия.

Основная проблема теории узлов - проблема распознавания, определяет эквивалентность двух узлов. Алгоритмы существуют для решения этой проблемы, с первым из Вольфганг Хакен в конце 1960-х (Хасс 1998 ). Тем не менее, эти алгоритмы могут занимать очень много времени, и основная проблема теории состоит в том, чтобы понять, насколько сложна эта проблема на самом деле (Хасс 1998 ). Частный случай распознавания развязанный, называется проблема распутывания, представляет особый интерес (Хост 2005 Узел будем изображать не многоугольником, а гладкой кривой. Узел будет представлен плоской схемой. Особенности плоской диаграммы будем называть точками пересечения и областями, на которые она подразделяет плоские области диаграммы. В каждой точке пересечения два из четырех углов будут отмечены точками, чтобы указать, какое ответвление, проходящее через точку пересечения, следует рассматривать как одно, проходящее под другим. Мы нумеруем любую область наугад, но фиксируем номера всех оставшихся областей так, чтобы всякий раз, когда мы пересекаем кривую справа налево, мы должны были перейти от номера области ${displaystyle k}$ на номер региона ${displaystyle k + 1}$ . Понятно, что в любом пункте пересечения ${displaystyle c}$ , есть два противоположных угла с одинаковым номером ${displaystyle k}$ и два противоположных угла цифр ${displaystyle k-1}$ и ${displaystyle k + 1}$ , соответственно. Номер ${displaystyle k}$ называется индексом ${displaystyle c}$ . Точки пересечения бывают двух типов: правые и левые, в зависимости от того, какая ветвь через точку проходит под другой или за другой. В любой точке пересечения индекса ${displaystyle k}$ два пунктирных угла - цифры ${displaystyle k}$ и ${displaystyle k + 1}$ соответственно две незакрашенные цифры ${displaystyle k-1}$ и ${displaystyle k + 1}$ . Индекс любого угла любого региона индекса ${displaystyle k}$ является одним из элементов ${displaystyle {kpm 1, k}}$ . Мы хотим отличать один тип узлов от другого с помощью инвариантов узлов. Есть один довольно простой инвариант. это Полином александра ${displaystyle Delta _ {K} (t)}$ с целым коэффициентом. Многочлен Александера симметричен со степенью ${displaystyle n}$ : ${displaystyle Delta _ {K} (t ^ {- 1}) t ^ {n-1} = Delta _ {K} (t)}$ для всех узлов ${displaystyle K}$ из ${displaystyle n> 0}$ точки пересечения. Например, инвариант ${displaystyle Delta _ {K} (t)}$ безузловой кривой - 1, трилистника - ${displaystyle t ^ {2} -t + 1}$ .

Левосторонний узел-трилистник.
Правосторонний узел-трилистник.

Позволять

{displaystyle omega ({oldsymbol {x}}) = {frac {1} {4pi}} varepsilon _ {ijk} {x ^ {i} dx ^ {j} клин dx ^ {k} над | {oldsymbol {x} } | ^ {3}}}

обозначим стандартный элемент поверхности

{displaystyle S ^ {2}}

.

У нас есть

{displaystyle mathrm {link} (gamma _ {1}, gamma _ {2}) = int _ {{oldsymbol {x}} in gamma _ {1}, {oldsymbol {y}} in gamma _ {2}} omega ({oldsymbol {x}} - {oldsymbol {y}})}

{displaystyle int _ {S ^ {2}} omega ({oldsymbol {x}}) = {frac {1} {4pi}} int _ {S ^ {2}} varepsilon _ {ijk} x ^ {i} dx ^ {j} dx ^ {k} = 1, qquad omega (lambda {oldsymbol {x}}) = omega ({oldsymbol {x}}) {m {sign}} лямбда, quad {m {for}} четверная лямбда в mathbb {R} ^ {*}.}

Для узла ${displaystyle gamma: [0,1] ightarrow mathbb {R} ^ {3}}$ , ${displaystyle gamma (0) = gamma (1)}$ ,

{displaystyle int _ {t_ {1}

{displaystyle + int _ {t_ {1}

не меняется, если поменять узел ${displaystyle gamma}$ в своем классе эквивалентности.

Свойство инвариантности Мёбиуса

Позволять ${displaystyle gamma}$ быть замкнутой кривой в ${displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$ и ${displaystyle T}$ преобразование Мёбиуса ${displaystyle S ^ {3} = mathbf {R} ^ {3} чашка infty}$ . Если ${displaystyle T (гамма)}$ содержится в ${displaystyle mathbf {R} ^ {3}}$ тогда ${displaystyle E (T (гамма)) = E (гамма)}$ . Если ${displaystyle T (гамма)}$ проходит через ${displaystyle infty}$ тогда ${displaystyle E (T (гамма)) = E (гамма) -4}$ .

Теорема А. Среди всех выпрямляемых шлейфов ${displaystyle gamma двоеточие S ^ {1} или mathbf {R} ^ {3}}$ , у круглых кругов меньше всего энергии ${displaystyle E (mathrm {round}})$ ${displaystyle mathrm {circle}) = 4}$ и любой ${displaystyle gamma}$ наименьшей энергии параметризует круглый круг.

Доказательство теоремы А. Позволять ${displaystyle T}$ преобразование Мёбиуса, посылающее точку ${displaystyle gamma}$ до бесконечности. Энергия ${displaystyle E (T (gamma)) geq 0}$ с равенством тогда и только тогда ${displaystyle T (гамма)}$ прямая линия. Применив свойство инвариантности Мёбиуса, мы завершим доказательство.

Доказательство мебиусовской инвариантности. Достаточно рассмотреть, как ${displaystyle I}$ , инверсия в сфере, преобразует энергию. Позволять ${displaystyle u}$ быть параметром длины дуги спрямляемой замкнутой кривой ${displaystyle gamma}$ , ${displaystyle uin mathbf {R} / ell mathbf {Z}}$ . Позволять

{displaystyle E_ {varepsilon} (gamma) = iint _ {| uv | geq varepsilon} left ({frac {1} {| gamma (u) -gamma (v) | ^ {2}}} - {frac {1}) {D (гамма (u), гамма (v)) ^ {2}}} ight), du, dvqquad qquad qquad qquad (1)}

и

{displaystyle {egin {align} E_ {varepsilon} (Icirc gamma) = & iint _ {| uv | geq varepsilon} left ({frac {1} {| Icirc gamma (u) -Icirc gamma (v) | ^ {2}) }} - {frac {1} {(D (Icirc gamma (u), Icirc gamma (v))) ^ {2}}} ight) & qquad imes | I '(gamma (u)) | cdot | I' (гамма (v)) |, du, dv.end {выровнено}} qquad qquad qquad qquad (2)}

Четко, ${displaystyle E (гамма) = lim _ {varepsilon o 0} E_ {varepsilon} (гамма)}$ и ${displaystyle E (Icirc gamma) = lim _ {varepsilon o 0} E_ {varepsilon} (Icirc gamma)}$ . Это короткое вычисление (с использованием закона косинусов) для правильного преобразования первого члена, т. Е.

{displaystyle {frac {| I '(gamma (u)) | cdot | I' (gamma (v)) |} {| I (gamma (u)) - I (gamma (v)) | ^ {2}} } = {frac {1} {| gamma (u) -gamma (v) | ^ {2}}}.}

С ${displaystyle u}$ длина дуги для ${displaystyle gamma}$ , член регуляризации (1) является элементарным интегралом

{displaystyle int _ {u = 0} ^ {ell} left [2int _ {v = varepsilon} ^ {ell / 2} {frac {1} {v ^ {2}}}, dvight], du = 4- { frac {2ell} {varepsilon}}. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad (3)}

Позволять ${displaystyle s}$ быть параметром длины дуги для ${displaystyle Icirc gamma}$ .Потом ${displaystyle ds (u) / du = | I '(gamma (u)) |}$ куда ${displaystyle | I '(гамма (u)) | = f (u)}$ обозначает коэффициент линейного расширения ${displaystyle I '}$ . С ${displaystyle gamma (u)}$ является функцией Липшица и ${displaystyle I '}$ гладкая, ${displaystyle f (u)}$ липшицево, следовательно, имеет слабую производную ${displaystyle f '(u) в L ^ {infty}}$ .

{displaystyle {egin {выравнивается} {m {{регуляризация} (2) =}} & int _ {uin mathbf {R} / ell mathbf {Z}} left [int _ {| vu | geq varepsilon} {frac {| ( Icirc gamma) '(v) |, dv} {D (Icirc gamma (u), Icirc gamma (v)) ^ {2}}} ight] | (Icirc gamma)' (u) |, du = & int _ {mathbf {R} / ell mathbf {Z}} left [{frac {4} {L}} - {frac {1} {varepsilon _ {+}}} - {frac {1} {varepsilon _ {-}} } ight], ds, конец {выровнено}} qquad qquad (4)}

куда ${displaystyle L = {m {{Length} (I (гамма))}}}$ и

{displaystyle {egin {align} varepsilon _ {+} & = varepsilon _ {+} (u) = D ((Icirc gamma) (u), (Icirc gamma) (u + varepsilon)) = s (u + varepsilon) -s (u) & = int _ {u} ^ {u + varepsilon} f (w), dw = f (u) varepsilon + varepsilon ^ {2} int _ {0} ^ {1} (1-t ) f '(u + varepsilon t), dtend {выровнено}}}

и

{displaystyle varepsilon _ {-} = varepsilon _ {-} (u) = D ((Icirc gamma) (u-varepsilon), (Icirc gamma) (u)) = f (u) varepsilon -varepsilon ^ {2} int _ {0} ^ {1} (1-t) f '(u-varepsilon t), dt.}

С ${displaystyle | f '(w) |}$ равномерно ограничен, имеем

{displaystyle {egin {align} {frac {1} {varepsilon _ {+}}} = & {frac {1} {f (u) varepsilon}} left [{1+ {varepsilon over f (u)} int _ {0} ^ {1} (1-t) f '(u + varepsilon t), dt} ight] ^ {- 1} = & {frac {1} {f (u) varepsilon}} left [1- {frac {varepsilon} {f (u)}} int _ {0} ^ {1} (1-t) f '(u + varepsilon t), dt + O (varepsilon ^ {2}) ight] = & {гидроразрыв {1} {f (u) varepsilon}} - {frac {1} {f (u) ^ {2}}} int _ {0} ^ {1} (1-t) f '(u + varepsilon t), dt + O (варепсилон) .end {выровнено}}}

По аналогии, ${displaystyle {frac {1} {varepsilon _ {-}}} = {frac {1} {f (u) varepsilon}} + {frac {1} {f (u) ^ {2}}} int _ {0 } ^ {1} (1-t) f '(у-варепсилон t), dt + O (варепсилон).}$

Тогда по (4)

{displaystyle {egin {align} {m {{регуляризация} (2) =}} & 4-int _ {0} ^ {ell} {frac {2} {varepsilon}}, du + O (varepsilon) & + int _ {u = 0} ^ {ell} int _ {t = 0} ^ {1} {frac {(1-t)} {f (u)}} [f '(u + varepsilon t) -f' ( u-varepsilon t)], du, dt = & 4- {frac {2ell} {varepsilon}} + O (varepsilon) .end {align}} qquad qquad quad (5)}

Сравнивая (3) и (5), получаем ${displaystyle E_ {varepsilon} (гамма) -E_ {varepsilon} (Icirc gamma) = O (varepsilon);}$ следовательно, ${displaystyle E (gamma) = E (Icirc gamma)}$ .

Для второго утверждения пусть ${displaystyle I}$ отправить точку ${displaystyle gamma}$ до бесконечности. В этом случае ${displaystyle L = infty}$ и, таким образом, постоянный член 4 в (5) исчезает.

Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга

В Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга (1994) заявили, что энергия Мёбиуса нетривиальной ссылки в ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ сводится к минимуму стереографическая проекция стандарта Ссылка Хопфа. Это было доказано в 2012 г. Ян Агол, Фернандо К. Маркес и Андре Невес, используя Теория мин-макс Альмгрена – Питтса (Agol, Marques & Neves 2012 ). Позволять ${displaystyle gamma _ {i}: S ^ {1} ightarrow mathbb {R} ^ {3}}$ , ${displaystyle i = 1,2,}$ - зацепление из двух компонент, т.е. пара спрямляемых замкнутых кривых в трехмерном евклидовом пространстве с ${displaystyle gamma _ {1} (S ^ {1}) cap gamma _ {2} (S ^ {1}) = emptyset}$ . Энергия креста Мёбиуса связи ${displaystyle (гамма _ {1}, гамма _ {2})}$ определяется как

{displaystyle E (gamma _ {1}, gamma _ {2}) = int _ {S ^ {1} imes S ^ {1}} {frac {| {dot {gamma}} _ {1} (s) | | {точка {гамма}} _ {2} (t) |} {| гамма _ {1} (s) -gamma _ {2} (t) | ^ {2}}}, ds, dt.}

Связующее число ${displaystyle (гамма _ {1}, гамма _ {2})}$ определяется, позволяя

{displaystyle {egin {align} mathrm {link} (gamma _ {1}, gamma _ {2}) & =, {frac {1} {4pi}} oint _ {gamma _ {1}} oint _ {gamma _ {2}} {frac {mathbf {r} _ {1} -mathbf {r} _ {2}} {| mathbf {r} _ {1} -mathbf {r} _ {2} | ^ {3}} } cdot (dmathbf {r} _ {1} imes dmathbf {r} _ {2}) & = {frac {1} {4pi}} int _ {S ^ {1} imes S ^ {1}} {frac {mathrm {det} ({точка {gamma}} _ {1} (s), {dot {gamma}} _ {2} (t), gamma _ {1} (s) -gamma _ {2} (t ))} {| гамма _ {1} (s) -gamma _ {2} (t) | ^ {3}}}, ds, dt.end {выровнено}}}

${displaystyle cdots}$
	связующее число −2	связующее число -1	номер ссылки 0
					${displaystyle cdots}$
		ссылка номер 1	ссылка номер 2	ссылка номер 3

Нетрудно проверить, что ${displaystyle E (gamma _ {1}, gamma _ {2}) geq 4pi | {m {link}} (gamma _ {1}, gamma _ {2}) |}$ . Если две окружности расположены очень далеко друг от друга, поперечная энергия может быть сделана сколь угодно малой. Если ссылочный номер ${displaystyle mathrm {link} (гамма _ {1}, гамма _ {2})}$ не равно нулю, ссылка называется неразделенной, а для неразделенной ссылки ${displaystyle E (gamma _ {1}, gamma _ {2}) geq 4pi}$ . Итак, нас интересует минимальная энергия нерасщепленных звеньев. Обратите внимание, что определение энергии распространяется на любое двухкомпонентное звено в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Энергия Мёбиуса обладает замечательным свойством быть инвариантной относительно конформных преобразований ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Это свойство объясняется следующим образом. Позволять ${displaystyle F: mathbb {R} ^ {3} ightarrow {S ^ {3}}}$ обозначают конформное отображение. потом ${displaystyle E (gamma _ {1}, gamma _ {2}) = E (Fcirc gamma _ {1}, Fcirc gamma _ {2}).}$ Это условие называется свойством конформной инвариантности энергии креста Мёбиуса.

Основная теорема. Позволять ${displaystyle gamma _ {i}: S ^ {1} ightarrow mathbb {R} ^ {3}}$ , ${displaystyle i = 1,2,}$ быть неразделенной ссылкой на 2 компонента. потом ${displaystyle E (gamma _ {1}, gamma _ {2}) geq 2pi ^ {2}}$ . Более того, если ${displaystyle E (гамма _ {1}, гамма _ {2}) = 2pi ^ {2}}$ то существует конформное отображение ${displaystyle F: mathbb {R} ^ {3} ightarrow {S ^ {3}}}$ такой, что ${displaystyle Fcirc gamma _ {1} (t) = (cos t, sin t, 0,0)}$ и ${displaystyle Fcirc gamma _ {2} (t) = (0,0, cos t, sin t)}$ (стандартная ссылка Хопфа до ориентации и повторной параметризации).

Для двух непересекающихся дифференцируемых кривых ${displaystyle gamma _ {1}, gamma _ {2} двоеточие S ^ {1} ightarrow mathbb {R} ^ {3}}$ определить Гаусс карта ${displaystyle Gamma}$ от тор к сфера к

{displaystyle Gamma (s, t) = {frac {gamma _ {1} (s) -gamma _ {2} (t)} {| gamma _ {1} (s) -gamma _ {2} (t) | }}.}

Карта Гаусса связи ${displaystyle (гамма _ {1}, гамма _ {2})}$ в ${displaystyle mathbf {R} ^ {4}}$ , обозначаемый ${displaystyle g = G (гамма _ {1}, гамма _ {2})}$ , является липшицевым отображением ${displaystyle g: S ^ {1} imes S ^ {1} o S ^ {3}}$ определяется ${displaystyle g (s, t) = {frac {gamma _ {1} (s) -gamma _ {2} (t)} {| gamma _ {1} (s) -gamma _ {2} (t) | }}.}$ Обозначим открытый шар в ${displaystyle mathbf {R} ^ {4}}$ , с центром в ${displaystyle mathbf {x}}$ с радиусом ${displaystyle r}$ , к ${displaystyle B_ {r} ^ {4} (mathbf {x})}$ . Граница этого шара обозначается через ${displaystyle S_ {r} ^ {3} (mathbf {x})}$ . Внутренний открытый шар ${displaystyle S ^ {3}}$ , с центром в ${displaystyle mathbf {p} в S ^ {3}}$ с радиусом ${displaystyle r}$ , обозначается ${displaystyle B_ {r} (mathbf {p})}$ .У нас есть

{displaystyle {frac {partial g} {partial s}} = {{dot {gamma}} _ {1} -langle g, {dot {gamma}} _ {1} угол g над | gamma _ {1} -gamma _ {2} |} quad {mbox {and}} quad {frac {partial g} {partial t}} = - {{dot {gamma}} _ {2} -langle g, {dot {gamma}} _ { 2} угол g над | гамма _ {1} -гамма _ {2} |}.}

Таким образом,

{displaystyle {egin {align} left | {frac {partial g} {partial s}} ight | ^ {2} left | {frac {partial g} {partial t}} ight | ^ {2} -leftlangle {frac { partial g} {partial s}}, {frac {partial g} {partial t}} прямоугольник ^ {2} & leq left | {frac {partial g} {partial s}} ight | ^ {2} left | {frac { частичный g} {частичный t}} полет | ^ {2} & = {frac {| {dot {gamma}} _ {1} | ^ {2} -langle g, {dot {gamma}} _ {1} угол ^ {2}} {| gamma _ {1} -gamma _ {2} | ^ {2}}} {frac {| {dot {gamma}} _ {2} | ^ {2} -langle g, { точка {гамма}} _ {2} угол ^ {2}} {| гамма _ {1} -гамма _ {2} | ^ {2}}} & leq {frac {| {точка {гамма}} _ {1 } | ^ {2} | {точка {гамма}} _ {2} | ^ {2}} {| гамма _ {1} -gamma _ {2} | ^ {4}}}. Конец {выровнено}}}

Отсюда следует, что почти для каждого ${displaystyle (s, t) в S ^ {1} imes S ^ {1}}$ , ${displaystyle | {m {Jac,}} g | (s, t) leq {frac {| {dot {gamma}} _ {1} (s) || {dot {gamma}} _ {2} (t) |} {| гамма _ {1} (s) -gamma _ {2} (t) | ^ {2}}}.}$ Если равенство выполняется при ${displaystyle (s, t)}$ , тогда ${displaystyle langle {dot {gamma}} _ {1} (s), {dot {gamma}} _ {2} (t) angle = langle {dot {gamma}} _ {1} (s), gamma _ {) 1} (s) -гамма _ {2} (t) угол = langle {dot {gamma}} _ {2} (t), gamma _ {1} (s) -gamma _ {2} (t) angle = 0.}$

${displaystyle {mathbf {M}} (C) leq int _ {S ^ {1} imes S ^ {1}} | {m {Jac,}} g |, ds, dtleq E (gamma _ {1}, gamma _ {2}).}$

Если ссылка ${displaystyle (гамма _ {1}, гамма _ {2})}$ содержится в ориентированной аффинной гиперплоскости с единичным вектором нормали ${displaystyle mathbf {p} в S ^ {3}}$ совместим с ориентацией, то ${displaystyle C = {m {link}} (gamma _ {1}, gamma _ {2}) cdot partial B_ {pi / 2} (- mathbf {p}).}$

Энергия Мебиуса - Möbius energy

Содержание

Узел инвариантный

Свойство инвариантности Мёбиуса

Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга

Рекомендации