Линия Ньютона – Гаусса - Newton–Gauss line

Линия, образованная соединением середин всех диагоналей (L, M, и N) - линия Ньютона – Гаусса.

В геометрия, то Линия Ньютона – Гаусса (или же Линия Гаусса – Ньютона) это линия присоединение к средние точки из трех диагонали из полный четырехугольник.

Середины двух диагоналей выпуклый четырехугольник не более двух параллельных сторон различны и, таким образом, определяют линию, Линия Ньютона. Если стороны такого четырехугольника удлинить, чтобы образовать полный четырехугольник, диагонали четырехугольника останутся диагоналями всего четырехугольника, а линия Ньютона четырехугольника будет линией Ньютона – Гаусса полного четырехугольника.

Полные четырехугольники

Любые четыре строки в общая позиция (никакие две прямые не параллельны, и никакие три не совпадают) образуют полный четырехугольник. Этот конфигурация состоит из шести точек, точек пересечения четырех прямых, с тремя точками на каждой прямой и ровно двумя прямыми через каждую точку.^[1] Эти шесть точек можно разбить на пары, чтобы отрезки линии определенные любой парой, не пересекают ни одну из данных четырех линий, кроме как на концах. Эти три отрезка называются диагонали полного четырехугольника.

Существование линии Ньютона-Гаусса

Хорошо известна теорема о том, что три середины диагоналей полного четырехугольника равны коллинеарен.^[2]Есть несколько доказательств результата по площадям ^[2] или клиновидные изделия^[3] или, как следующее доказательство, на Теорема Менелая, принадлежит Хиллеру и опубликовано в 1920 году.^[4]

Пусть полный четырехугольник $ABCA'B'C '$ быть помеченным как на схеме диагоналями $AA '$ , $BB '$ и $CC '$ и их соответствующие средние точки, $L$ , $M$ и $N$ . Пусть середины $до н.э$ , $CA '$ и $A'B$ быть $п$ , $Q$ и $р$ соответственно. Используя аналогичные треугольники, видно, что $QR$ пересекает $AA '$ в $L$ , $RP$ пересекает $BB '$ в $M$ и $PQ$ пересекает $CC '$ в $N$ . Опять же, аналогичные треугольники обеспечивают следующие пропорции:

{ displaystyle { frac {RL} {LQ}} = { frac {BA} {AC}}, quad { frac {QN} {NP}} = { frac {A'C '} {C' B}}, quad { frac {PM} {MR}} = { frac {CB '} {B'A'}}.}.

Однако линия $AB'C '$ пересекает стороны треугольника $A'BC$ , поэтому по теореме Менелая произведение слагаемых в правых частях равно −1. Таким образом, произведение слагаемых в левой части также равно −1 и снова по теореме Менелая точки $L$ , $M$ и $N$ коллинеарны по сторонам треугольника $PQR$ .

Приложения к циклическим четырехугольникам

Ниже приведены некоторые результаты, в которых используется линия Ньютона – Гаусса полных четырехугольников, связанных с циклические четырехугольники, основанный на работе Барбу и Патраску.^[5]

Равные углы

Рисунок 1: Равенство углов.

Для любого вписанного четырехугольника ${ displaystyle ABCD}$ , пусть точка ${ displaystyle F}$ быть точка пересечения между двумя диагоналями ${ displaystyle AC}$ и ${ displaystyle BD}$ . Расширьте диагонали ${ displaystyle AB}$ и ${ displaystyle CD}$ пока они не встретятся в точке пересечения, ${ displaystyle E}$ . Пусть середина из сегмент ${ displaystyle EF}$ быть ${ displaystyle N}$ , и пусть середина отрезка ${ displaystyle BC}$ быть ${ displaystyle M}$ (Рисунок 1).

Теорема

Если середина отрезка ${ displaystyle BF}$ является ${ displaystyle P}$ , линия Ньютона – Гаусса полного четырехугольника ${ displaystyle ABCDEF}$ и линия ${ displaystyle PM}$ определить угол ${ displaystyle angle PMN}$ равно ${ displaystyle angle EFD}$ .

Доказательство

Сначала покажите, что треугольники ${ Displaystyle треугольник NPM}$ и ${ Displaystyle треугольник EDF}$ находятся похожий.

С ${ displaystyle BE parallel PN}$ и ${ Displaystyle FC parallel PM}$ , мы знаем ${ Displaystyle angle NPM = angle EAC}$ . Также, ${ displaystyle left ({ frac {BE} {PN}} right)}$ ${ displaystyle = left ({ frac {FC} {PM}} right) = 2.}$

В круговом четырехугольнике ${ displaystyle ABCD}$ , эти равенства держать:

${ displaystyle angle EDF = angle ADF + angle EDA = angle ACB + angle ABC = angle EAC.}$

Следовательно, ${ displaystyle angle NPM = angle EDF.}$

Позволять ${ displaystyle R_ {1}}$ и ${ displaystyle R_ {2}}$ быть радиусы из окружности из ${ Displaystyle треугольник EDB}$ и ${ Displaystyle треугольник FCD}$ , соответственно. Применить закон синуса к треугольникам, чтобы получить:

{ displaystyle { frac {BE} {FC}} = { frac {2R_ {1} sin EDB} {2R_ {2} sin FDC}} = { frac {R_ {1}} {R_ {2 }}} = { frac {2R_ {1} sin EBD} {2R_ {2} sin FCD}} = { frac {DE} {DF}}.}

С ${ displaystyle BE = 2PN}$ и ${ displaystyle FC = 14:00}$ , это показывает равенство ${ displaystyle { frac {PN} {PM}} = { frac {DE} {DF}}.}$ Сходство треугольников ${ displaystyle PMN}$ и ${ displaystyle DFE}$ следует, и ${ displaystyle angle NMP = angle EFD.}$

Замечание

Если ${ displaystyle Q}$ это середина отрезка ${ displaystyle FC}$ , по тем же рассуждениям следует, что ${ displaystyle angle NMQ = angle EFA.}$

Фигура 2: Изогональные линии.

Изогональные линии

Теорема

Линия через ${ displaystyle E}$ параллельно прямой Ньютона – Гаусса полного четырехугольника ${ displaystyle ABCDEF}$ и линия ${ displaystyle EF}$ изогональные линии ${ displaystyle angle BEC}$ , то есть каждая строка представляет собой отражение другого о биссектриса угла.^[5] (Фигура 2)

Доказательство

Треугольники ${ displaystyle EDF}$ и ${ displaystyle NPM}$ похожи по приведенному выше аргументу, поэтому ${ displaystyle angle DEF = angle PNM}$ . Позволять ${ displaystyle E '}$ быть точкой пересечения ${ displaystyle BC}$ и прямая, параллельная линии Ньютона – Гаусса ${ displaystyle NM}$ через ${ displaystyle E}$ .

С ${ displaystyle PN || BE}$ и ${ displaystyle NM || EE '}$ , ${ Displaystyle угол BEF = угол PNF}$ , и ${ displaystyle angle FNM = angle E'EF}$ .

Следовательно, ${ displaystyle angle CEE '= angle DEF- angle E'EF = angle PNM- angle FNM = angle PNF = angle BEF.}$

Два вписанных четырехугольника, разделяющих линию Ньютона-Гаусса

Фигура 3: Показывая, что четырехугольники MPGN и MQHN цикличны.

Лемма

Позволять ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle H}$ быть ортогональные проекции по делу ${ displaystyle F}$ на линиях ${ displaystyle AB}$ и ${ displaystyle CD}$ соответственно.

В четырехугольники ${ displaystyle MPGN}$ и ${ displaystyle MQHN}$ - вписанные четырехугольники.^[5]

Доказательство

${ displaystyle angle EFD = angle PMN}$ , как показано ранее. Точки ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle N}$ соответствующие центры окружности из прямоугольные треугольники ${ Displaystyle треугольник BFG}$ и ${ Displaystyle треугольник EFG}$ . Таким образом, ${ Displaystyle angle PGF = angle PFG}$ и ${ Displaystyle угол FGN = угол GFN}$ .

Следовательно,

{ Displaystyle { begin {align} angle PGN + angle PMN & = ( angle PGF + angle FGN) + angle PMN [4pt] & = angle PFG + angle GFN + angle EFD [4pt] & = 180 ^ { circ} end {align}}.}

Следовательно, ${ displaystyle MPGN}$ - вписанный четырехугольник, и по тем же соображениям ${ displaystyle MQHN}$ тоже лежит на круге.

Рисунок 4: Показывая, что полные четырехугольники EDGHIJ и ABCDEF имеют ту же линию Ньютона – Гаусса.

Теорема

Продлите линии ${ displaystyle GF}$ и ${ displaystyle HF}$ пересекаться ${ displaystyle EC}$ и ${ displaystyle EB}$ в ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ соответственно (рисунок 4).

Полные четырехугольники ${ displaystyle EFGHIJ}$ и ${ displaystyle ABCDEF}$ имеют ту же линию Ньютона – Гаусса.^[5]

Доказательство

Два полных четырехугольника имеют общую диагональ, ${ displaystyle EF}$ . ${ displaystyle N}$ лежит на прямой Ньютона – Гаусса обоих четырехугольников. ${ displaystyle N}$ является равноудаленный из ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle H}$ , так как это центр окружности кругового четырехугольника ${ displaystyle EGFH}$ .

Если треугольники ${ Displaystyle треугольник GMP}$ и ${ Displaystyle треугольник HMQ}$ находятся конгруэнтный, и последует ${ displaystyle M}$ лежит на серединный перпендикуляр линии ${ displaystyle HG}$ . Следовательно, строка ${ displaystyle MN}$ содержит середину ${ displaystyle GH}$ , - линия Ньютона – Гаусса ${ displaystyle EFGHIJ}$ .

Чтобы показать, что треугольники ${ Displaystyle треугольник GMP}$ и ${ Displaystyle треугольник HMQ}$ конгруэнтны, сначала заметьте, что ${ displaystyle PMQF}$ это параллелограмм, поскольку точки ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle P}$ являются серединами ${ displaystyle BF}$ и ${ displaystyle BC}$ соответственно.

Следовательно,

${ displaystyle MP = QF = HQ,}$
${ displaystyle GP = PF = MQ,}$ и
${ displaystyle angle MPF = angle FQM.}$

Также обратите внимание, что

{ displaystyle angle FPG = 2 angle PBG = 2 angle DBA = 2 angle DCA = 2 angle HCF = angle HQF.}

Следовательно,

{ Displaystyle angle MPG = angle MPF + angle FPG = angle FQM + angle HQF = angle HQF + angle FQM = angle HQM.}

Следовательно, ${ Displaystyle треугольник GMP}$ и ${ Displaystyle треугольник HMQ}$ соответствуют SAS.

Замечание

Из-за ${ Displaystyle треугольник GMP}$ и ${ Displaystyle треугольник HMQ}$ являясь конгруэнтными треугольниками, их окружности ${ displaystyle MPGN}$ и ${ displaystyle MQHN}$ являются также конгруэнтный.

История

Доказательство линии Ньютона – Гаусса было разработано двумя математиками, в честь которых оно названо: Сэр Исаак Ньютон и Карл Фридрих Гаусс.^{[нужна цитата ]} Исходная основа для этой теоремы взята из работ Ньютон в своей предыдущей теореме о прямой Ньютона, в которой Ньютон показал, что центр коники, вписанной в четырехугольник, лежит на линии Ньютона – Гаусса.^[6]

Теорема Гаусса и Боденмиллера утверждает, что три окружности, диаметры которых являются диагоналями полного четырехугольника, равны коаксиальный.^[7]

Примечания

^ Альперин, Роджер К. (6 января 2012 г.). «Линии Гаусса – Ньютона и одиннадцатиконечные коники». Исследовательские ворота.
^ ^а ^б Джонсон 2007, п. 62
^ Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия - всеобъемлющий курс, Dover, pp. 46–47, ISBN 0-486-65812-0
^ Джонсон 2007, п. 152
^ ^а ^б ^c ^d Патраску, Ион. «Некоторые свойства линии Ньютона – Гаусса» (PDF). Форум Geometricorum. Получено 29 апреля 2019.
^ Уэллс, Дэвид (1991), Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Penguin Books, стр.36, ISBN 978-0-14-011813-1
^ Джонсон 2007, п. 172

внешняя ссылка

Богомонлы Александр. «Теорема о полном четырехугольнике: что это такое?». Получено 11 мая 2019.

[:1-1] Альперин, Роджер К. (6 января 2012 г.). «Линии Гаусса – Ньютона и одиннадцатиконечные коники». Исследовательские ворота.

[Johson62-2] а ^б Джонсон 2007, п. 62

[3] Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия - всеобъемлющий курс, Dover, pp. 46–47, ISBN 0-486-65812-0

[4] Джонсон 2007, п. 152

[:2-5] а ^б ^c ^d Патраску, Ион. «Некоторые свойства линии Ньютона – Гаусса» (PDF). Форум Geometricorum. Получено 29 апреля 2019.

[6] Уэллс, Дэвид (1991), Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Penguin Books, стр.36, ISBN 978-0-14-011813-1

[7] Джонсон 2007, п. 172

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Линия Ньютона – Гаусса - Newton–Gauss line

Содержание

Полные четырехугольники

Существование линии Ньютона-Гаусса

Приложения к циклическим четырехугольникам

Равные углы

Теорема

Доказательство

Замечание

Изогональные линии

Теорема

Доказательство

Два вписанных четырехугольника, разделяющих линию Ньютона-Гаусса

Лемма

Доказательство

Теорема

Доказательство

Замечание

История

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка