Точечный продукт - Pointwise product

В математика, то точечный продукт из двух функции - другая функция, полученная умножением изображение двух функций при каждом значении в домен. Если ж и грамм обе функции с домен Икс и codomain Y, и элементы Y можно умножить (например, Y может быть какой-то набор чисел), то поточечное произведение ж и грамм это еще одна функция от Икс к Y который отображает Икс в Икс к ж(Икс)грамм(Икс) в Y.

Формальное определение

Позволять Икс и Y быть такими, что Y есть понятие умножения, то есть бинарная операция

данный

Затем даны две функции ж, грамм: ИксY, то точечный продукт (ж ⋅ грамм) : ИксY определяется

для всех Икс в Икс. Так же, как мы часто опускаем символ двоичной операции ⋅ (т.е. пишем yz вместо уz) мы часто пишем фг за ж ⋅ грамм.

Примеры

Наиболее частый случай поточечного произведения двух функций - это когда область значений звенеть (или же поле ), в котором умножение корректно.

  • Если Y это набор действительные числа р, то поточечное произведение ж, грамм : Икср это просто нормальное умножение изображений. Например, если у нас есть ж(Икс) = 2Икс и грамм(Икс) = Икс +1 затем
    для каждого Икс в р.
  • В теорема свертки заявляет, что преобразование Фурье из свертка - поточечное произведение преобразований Фурье:

Алгебраическое приложение поточечных произведений

Позволять Икс быть набором и пусть р быть звенеть. С добавление и умножение определены в р, мы можем построить алгебраическую структуру, известную как алгебра из функций из Икс к р путем определения сложения, умножения и скалярного умножения функций, которые должны выполняться точечно.

Если рИкс обозначает набор функций из Икс к р, то мы говорим, что если ж, грамм являются элементами рИкс, тогда ж + грамм, фг, и рф - последний из которых определяется

для всех р в р - все элементы рИкс.

Обобщение

Если оба ж и грамм имеют в качестве области своей области все возможные присвоения набора дискретных переменных, то их точечное произведение представляет собой функцию, область определения которой построена из всех возможных присвоений союз обоих наборов. Стоимость каждого присвоения рассчитывается как произведение значений обеих функций, данных каждой из подмножеств присвоения, которое находится в ее области.

Например, учитывая функцию ж1() логических переменных п и q, и ж2() логических переменных q и р, как с классифицировать в р, поточечное произведение ж1() и ж2() показан в следующей таблице:

пqрТочечный продукт
ТТТ0.10.20.1 × 0.2
ТТF0.10.40.1 × 0.4
ТFТ0.30.60.3 × 0.6
ТFF0.30.80.3 × 0.8
FТТ0.50.20.5 × 0.2
FТF0.50.40.5 × 0.4
FFТ0.70.60.7 × 0.6
FFF0.70.80.7 × 0.8

Смотрите также