Предоднородное векторное пространство - Prehomogeneous vector space

В математике предоднородное векторное пространство (ПВС) является конечномерным векторное пространство V вместе с подгруппой грамм из общая линейная группа GL (V) такие, что грамм имеет открытый плотный орбита в V. Предоднородные векторные пространства были введены Микио Сато в 1970 году и имеют множество приложений в геометрия, теория чисел и анализ, а также теория представлений. Неприводимые PVS были классифицированы Сато и Тацуо Кимурой в 1977 году вплоть до преобразования, известного как «рокировка». Они подразделяются на два типа, в зависимости от того, является ли полупростая часть грамм действует преоднородно или нет. Если это не так, то существует однородный многочлен на V которая инвариантна относительно полупростой части грамм.

Параметр

В сеттинге Сато, грамм является алгебраическая группа и V является рациональным представлением грамм имеющий (непустую) открытую орбиту в Топология Зарисского. Однако ПВС можно изучать и с точки зрения теории Ли: например, в Knapp (2002), грамм комплексная группа Ли и V является голоморфным представлением грамм с открытой плотной орбитой. Эти два подхода, по сути, одинаковы, и теория применима к действительным числам. Для простоты обозначений мы предполагаем, что действие грамм на V это верное представление. Затем мы можем идентифицировать грамм со своим изображением в GL (V), хотя на практике иногда удобно позволить грамм быть группа покрытия.

Хотя предоднородные векторные пространства не обязательно разлагаются на прямые суммы неприводимых, естественно изучать неприводимые ПВС (т. Е. Когда V является неприводимым представлением грамм). В этом случае теорема Эли Картан показывает, что

грамм ≤ GL (V)

это восстановительная группа, с центр это самое большее одномерное. Это вместе с очевидным размерным ограничением

тусклый грамм ≥ тусклый V,

является ключевым ингредиентом классификации Сато – Кимуры.

Рокировка

Классификация ПВС осложняется следующим фактом. Предполагать м > п > 0 и V является м-мерное представление грамм над полем F. Тогда:

{displaystyle (G imes SL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}

является ПВС тогда и только тогда, когда

{displaystyle (G imes SL (m-n), V ^ {*} иногда mathbb {F} ^ {m-n})}

это ПВС.

Доказательство состоит в том, чтобы заметить, что оба условия эквивалентны существованию открытой плотной орбиты действия грамм на Грассманиан изп-самолеты в V, потому что это изоморфно Грассманиан из (м-п) -самолеты в V^*.

(В случае, если грамм редуктивна пара (грамм,V) эквивалентна паре (грамм, V^*) автоморфизмом грамм.)

Это преобразование ПВС называется рокировка. Учитывая PVS V, новый PVS может быть получен с помощью тензорной V с F и рокировкой. Повторяя этот процесс и перегруппировывая тензорные произведения, можно получить много новых примеров, которые называются «эквивалентными рокировке». Таким образом, ПВС можно сгруппировать в классы эквивалентности рокировок. Сато и Кимура показывают, что в каждом таком классе есть, по существу, одна ПВС минимальной размерности, которую они называют «редуцированной», и классифицируют редуцированную неприводимую ПВС.

Классификация

Классификация неприводимых редуцированных ПВС (грамм,V) распадается на два случая: те, для которых грамм полупроста, а для которых редуктивна с одномерным центром. Если грамм полупроста, это (возможно, покрытие) подгруппа SL (V), и поэтому грамм× GL (1) действует предоднородно на V, с одномерным центром. Мы исключаем такие тривиальные расширения полупростой ПВС из ПВС с одномерным центром. Другими словами, в случае, если грамм имеет одномерный центр, мы предполагаем, что полупростая часть нет действуют предварительно однородно; следует, что существует относительный инвариант, т.е. функция, инвариантная относительно полупростой части грамм, которая в определенной степени однородна d.

Это позволяет ограничить внимание полупростыми грамм ≤ SL (V) и разделите классификацию следующим образом:

(грамм,V) - ПВС;
(грамм,V) не ПВС, а (грамм× GL (1),V) является.

Однако оказывается, что классификация намного короче, если допускать продукты не только с GL (1), но и с SL (п) и GL (п). Это вполне естественно с точки зрения трансформации рокировки, о которой говорилось ранее. Таким образом, мы хотим классифицировать неприводимый редуцированный ПВС в терминах полупростых грамм ≤ SL (V) и п ≥ 1 такое, что либо:

${displaystyle (G imes SL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ это ПВС;
${displaystyle (G imes SL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ это не ПВС, но ${displaystyle (G imes GL (n), Votimes mathbb {F} ^ {n})}$ является.

В последнем случае имеется однородный многочлен который разделяет грамм× GL (п) орбиты в грамм× SL (n) орбит.

Это имеет интерпретацию в терминах грассманиана Gr_п(V) из п-самолеты в V (по крайней мере, для п ≤ тусклый V). В обоих случаях грамм действует на Gr_п(V) с плотной открытой орбитой U. В первом случае дополнение Gr_п(V)-U имеет коразмерность ≥ 2; во втором случае это делитель в некоторой степени d, а относительный инвариант - однородный многочлен степени nd.

Далее список классификации будет представлен комплексными числами.

Общие примеры

грамм	V	Тип 1	Тип 2	Группа изотропии 2-го типа	Степень
${displaystyle Gsubseteq SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	п ≥ м+1	п = м	${displaystyle G}$	м
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	м-1 ≥ п ≥ 1^*
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {m}}$	м странный, п = 1,2	м четное, п = 1	${displaystyle Sp (m, mathbb {C})}$	м/2
${displaystyle SL (m, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {m}}$		п = 1	${displaystyle SO (m, mathbb {C})}$	м
${displaystyle SO (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$		м-1 ≥ п ≥ 1^*	${displaystyle SO (n, mathbb {C}) имеет значение SO (m-n, mathbb {C})}$	2
${displaystyle Sp (2m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {2m}}$	2м-1 ≥ п ≥ 1^*, п странный	2м-1 ≥ п ≥ 1^*, п четное	${displaystyle Sp (n, mathbb {C}) imes Sp (2m-n, mathbb {C})}$	1

^* Строго говоря, мы должны ограничиться п ≤ (тусклый V) / 2, чтобы получить сокращенный пример.

Нестандартные примеры

Тип 1

{displaystyle Spin (10, mathbb {C}) quad mathrm {on} quad mathbb {C} ^ {16}}

Тип 2

{displaystyle Sp (2m, mathbb {C}) имеет значение SO (3, mathbb {C}) quad mathrm {on} quad mathbb {C} ^ {2m} otimes mathbb {C} ^ {3}}

Оба этих примера - PVS только для п=1.

Остальные примеры

Все остальные примеры относятся к типу 2. Чтобы не обсуждать появление конечных групп, в списках представлены Алгебра Ли группы изотропии, а не самой группы изотропии.

грамм	V	п	Алгебра изотропии	Степень
${displaystyle SL (2, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {3} mathbb {C} ^ {2}}$	1	0	4
${displaystyle SL (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {6}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	4
${displaystyle SL (7, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {7}}$	1	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}}$	7
${displaystyle SL (8, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {3} mathbb {C} ^ {8}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	16
${displaystyle SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	2	0	6
${displaystyle SL (5, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	3,4	${displaystyle {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), 0}$	5,10
${displaystyle SL (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	2	${displaystyle {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$	6
${displaystyle SL (3, mathbb {C}) imes SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {3} иногда mathbb {C} ^ {3}}$	2	${displaystyle {mathfrak {gl}} (1, mathbb {C}) imes {mathfrak {gl}} (1, mathbb {C})}$	6
${displaystyle Sp (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda _ {0} ^ {3} mathbb {C} ^ {6}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (7, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {8}}$	1,2,3	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}, {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (2, mathbb {C}), {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	2,2,2
${displaystyle Spin (9, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {16}}$	1	${displaystyle {mathfrak {spin}} (7, mathbb {C})}$	2
${displaystyle Spin (10, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {16}}$	2,3	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}} imes {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), {mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) imes {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	2,4
${displaystyle Spin (11, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {32}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (5, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (12, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {32}}$	1	${displaystyle {mathfrak {sl}} (6, mathbb {C})}$	4
${displaystyle Spin (14, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {64}}$	1	${displaystyle {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}} imes {mathfrak {g}} _ {2} ^ {mathbb {C}}}$	8
${displaystyle G_ {2} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {7}}$	1,2	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C}), {mathfrak {gl}} (2, mathbb {C})}$	2,2
${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {27}}$	1,2	${displaystyle {mathfrak {f}} _ {4} ^ {mathbb {C}}, {mathfrak {so}} (8, mathbb {C})}$	3,6
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {56}}$	1	${displaystyle {mathfrak {e}} _ {6} ^ {mathbb {C}}}$	4

Здесь ${displaystyle Lambda _ {0} ^ {3} mathbb {C} ^ {6} cong mathbb {C} ^ {14}}$ обозначает пространство 3-форм, стягивание которых с данной симплектической формой равно нулю.

Доказательства

Сато и Кимура устанавливают эту классификацию, составляя список возможных неприводимых предоднородных (грамм,V), используя тот факт, что грамм является редуктивным и размерным ограничением. Затем они проверяют, является ли каждый член этого списка предоднородным или нет.

Однако существует общее объяснение того, почему большинство пар (грамм,V) в классификации предоднородны в терминах изотропных представлений обобщенные разновидности флагов. Действительно, в 1974 г. Ричардсон заметил, что если ЧАС является полупростой группой Ли с параболическая подгруппа п, то действие п на нильрадикал ${displaystyle {mathfrak {p}} ^ {perp}}$ его алгебры Ли имеет плотную открытую орбиту. Это, в частности, показывает (и было независимо отмечено Винберг в 1975 г.), что Фактор Леви грамм из п действует предварительно однородно на ${displaystyle V: = {mathfrak {p}} ^ {perp} / [{mathfrak {p}} ^ {perp}, {mathfrak {p}} ^ {perp}]}$ . Практически все примеры в классификации можно получить, применяя эту конструкцию с п максимальная параболическая подгруппа простой группы Ли ЧАС: они классифицируются по связанным Диаграммы Дынкина с одним выделенным узлом.

Приложения

Одна из причин, по которой PVS интересны, заключается в том, что они классифицируют общие объекты, возникающие в грамм-инвариантные ситуации. Например, если грамм= GL (7), то приведенные выше таблицы показывают, что существуют общие 3-формы под действием грамм, а стабилизатор такой 3-формы изоморфен исключительной группе Ли G₂.

Другой пример касается предоднородных векторных пространств с кубическим относительным инвариантом. По классификации Сато-Кимуры таких примеров, по сути, четыре, и все они происходят из комплексифицированных представлений изотропии эрмитовы симметричные пространства для большой группы ЧАС (т.е. грамм - полупростая часть стабилизатора точки, а V соответствующий касательная представление).

В каждом случае общая точка в V отождествляет его с усложнением Йорданова алгебра эрмитовых матриц размером 3 x 3 (над алгебры с делением р, C, ЧАС и О соответственно), а кубический относительный инвариант отождествляется с подходящим определителем. Алгебра изотропии такой точки общего положения, алгебра Ли грамм и алгебра Ли ЧАС придайте комплексности первых трех рядов Магический квадрат Фройденталя.

ЧАС	грамм	V	Алгебра изотропии	Йорданова алгебра
${displaystyle mathrm {Sp} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {3}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {R})}$
${displaystyle mathrm {SL} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (3, mathbb {C}) imes SL (3, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {3} иногда mathbb {C} ^ {3}}$	${displaystyle {mathfrak {sl}} (3, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {C})}$
${displaystyle mathrm {SO} (12, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {6}}$	${displaystyle {mathfrak {sp}} (6, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {H})}$
${displaystyle E_ {7} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle E_ {6} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {27}}$	${displaystyle {mathfrak {f}} _ {4} ^ {mathbb {C}}}$	${displaystyle J_ {3} (mathbb {O})}$

Другие эрмитовы симметрические пространства дают предоднородные векторные пространства, общие точки которых определяют йордановы алгебры аналогичным образом.

ЧАС	грамм	V	Алгебра изотропии	Йорданова алгебра
${displaystyle mathrm {Sp} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle S ^ {2} mathbb {C} ^ {n}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {R})}$
${displaystyle mathrm {SL} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (n, mathbb {C}) imes mathrm {SL} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {n} иногда mathbb {C} ^ {n}}$	${displaystyle {mathfrak {sl}} (n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {C})}$
${displaystyle mathrm {SO} (4n, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SL} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {2n}}$	${displaystyle {mathfrak {sp}} (2n, mathbb {C})}$	${displaystyle J_ {n} (mathbb {H})}$
${displaystyle mathrm {SO} (m + 2, mathbb {C})}$	${displaystyle mathrm {SO} (m, mathbb {C})}$	${displaystyle mathbb {C} ^ {m}}$	${displaystyle {mathfrak {so}} (m-1, mathbb {C})}$	${displaystyle J (m-1)}$

Йорданова алгебра J(м−1) в последней строке - спиновый фактор (который является векторным пространством р^м−1 ⊕ р, со структурой йордановой алгебры, определенной с помощью скалярного произведения на р^м−1). Это сводится к ${displaystyle J_ {2} (mathbb {R}), J_ {2} (mathbb {C}), J_ {2} (mathbb {H}), J_ {2} (mathbb {O})}$ за м= 3, 4, 6 и 10 соответственно.

Связь между эрмитовыми симметрическими пространствами и йордановыми алгебрами можно объяснить с помощью Иорданские тройные системы.