Псевдо-однородный многогранник - Pseudo-uniform polyhedron
А псевдо-равномерный многогранник это многогранник у которого есть правильные многоугольники как лица и имеет то же самое конфигурация вершины вообще вершины но не вершинно-транзитивный: неверно, что для любых двух вершин существует симметрия многогранника, отображающего первый изометрически на второй. Таким образом, хотя все вершины псевдоднородного многогранника кажутся одинаковыми, это не изогональный. Их называют псевдооднородными многогранниками из-за их сходства с некоторыми истинными многогранниками. равномерные многогранники.
Известны два псевдоднородных многогранника: псевдоромбокубооктаэдр и псевдо-большой ромбокубооктаэдр. Неизвестно, есть ли другие; Бранко Грюнбаум предположил, что их нет, но подумал, что доказательство будет «вероятно, довольно сложным».[1] У них обоих есть D4d симметрия, та же симметрия, что и квадратная антипризма. Оба они могут быть построены из равномерный многогранник путем скручивания одного купол -образная шапка.
Псевдооднородные многогранники
Псевдоромбокубооктаэдр
Псевдоромбокубооктаэдр - единственный выпуклый псевдоднородный многогранник. Это также Джонсон солид (J37) и также может быть назван удлиненная квадратная гиробикупола. Его двойным является псевдо-дельтовидный икоситетраэдр. Как следует из названия, его можно построить, удлинив квадратная гиробикупола (J29) и вставив восьмиугольный призма между двумя его половинами. Полученное тело является локально вершинно-правильным - расположение четырех граней, инцидентных каждой вершине, одинаково для всех вершин; это уникальное явление среди твердых тел Джонсона. Однако это не так вершинно-транзитивный, и, следовательно, не один из Архимедовы тела, поскольку существуют пары вершин, при которых не существует изометрии твердого тела, отображающей одну в другую. По сути, эти два типа вершин можно различить по их «соседям соседей». Другой способ убедиться, что многогранник не является вершинно-правильным, - это заметить, что вокруг его экватора имеется ровно один пояс из восьми квадратов, который отличает вершины пояса от вершин с обеих сторон.
 Ромбокубооктаэдр |  Разнесенные разделы |  Псевдоромбокубооктаэдр |
Твердое тело также можно увидеть в результате скручивания одного из квадратные купола (J4) на ромбокубооктаэдр (один из Архимедовы тела; он же удлиненный квадратный ортобикупола) на 45 градусов. Его сходство с ромбокубооктаэдром дает ему альтернативное название псевдоромбокубооктаэдр. Иногда его называют «четырнадцатым архимедовым телом».
С лицами, окрашенными его D4d симметрия, это может выглядеть так:
| псевдоромбокубооктаэдр | Псевдо-дельтовидный икоситетраэдр Двойной многогранник | |
|---|---|---|
 сеть |  |  |
Вокруг него 8 (зеленых) квадратов. экватор, 4 (красных) треугольника и 4 (желтых) квадрата сверху и снизу и по одному (синему) квадрату на каждом полюсе.
Построение однородных и псевдоромбокубооктаэдров можно увидеть в следующих увеличениях восьмиугольной призмы:
 Восьмиугольная призма (окрашена D8ч симметрия) ... |  ... с одним из восьмиугольников, дополненным квадратным куполом. |  Есть два варианта ориентации другого перекрещенного квадратного купола. Один совмещает соответствующие грани (треугольники с треугольниками, квадраты с квадратами) и дает ромбокубооктаэдр. Эта конструкция имеет D4ч симметрия, хотя ромбокубооктаэдр имеет полную октаэдрическую симметрию. |  Другой выбор выравнивает несоответствующие грани (треугольники с квадратами) и производит псевдоромбокубооктаэдр. Эта конструкция имеет D4d симметрия. |
Псевдо-большой ромбокубооктаэдр
Униформа невыпуклый большой ромбокубооктаэдр можно рассматривать как восьмиугольная призма с октаграммами, выкопанными с перекрещенными квадратными куполами, подобно тому, как ромбокубооктаэдр можно рассматривать как восьмиугольная призма с восьмиугольниками, дополненными квадратными куполами. Вращение одного из куполов в этой конструкции приводит к псевдо-большой ромбокубооктаэдр.
 Скрещенный квадратный купол |  Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр |  Псевдо-большой ромбокубооктаэдр |
На фотографиях ниже показаны раскопки октаграмматической призмы со скрещенными квадратными куполами, происходившие шаг за шагом. Перекрещенные квадратные купола всегда красного цвета, в то время как квадратные стороны восьмиугольной призмы - другого цвета. Все изображения ориентированы примерно одинаково для наглядности.
 Октаграммная призма (окрашена D8ч симметрия) ... |  ... с выкопанной одной из октаграмм (здесь верхняя) с перекрещенным квадратным куполом. Это можно назвать ретро-удлиненный скрещенный квадратный купол или же увеличенная октаграммная призма, и изоморфен Джонсону удлиненный квадратный купол. |  Есть два варианта ориентации другого перекрещенного квадратного купола. Один совмещает соответствующие грани (треугольники с треугольниками, квадраты с квадратами) и дает невыпуклый большой ромбокубооктаэдр. Эта конструкция имеет D4ч симметрии, хотя невыпуклый большой ромбокубооктаэдр имеет полный октаэдрическая симметрия. |  Другой выбор выравнивает несовпадающие грани (треугольники с квадратами) и создает псевдо-большой ромбокубооктаэдр (или псевдоквазиромбокубооктаэдр). Эта конструкция имеет D4d симметрия. |
Псевдо-большой ромбокубооктаэдр имеет единственный «пояс» квадратов вокруг своего экватора, и его можно построить, скрутив один из скрещенные квадратные купола на невыпуклом большом ромбокубооктаэдре на 45 градусов. Это аналог псевдоромбокубооктаэдра.
Двойники псевдоднородных многогранников
В двойники псевдоднородных многогранников имеют все грани конгруэнтный, но не переходные: их лица не все лежат в одном орбита симметрии и поэтому они не равногранный. Это следствие того, что псевдоднородные многогранники имеют одинаковые конфигурация вершины в каждой вершине, но не вершинно-транзитивный. Это демонстрируется разными цветами, используемыми для граней на изображениях двойных псевдооднородных многогранников в этой статье, обозначающих разные типы граней.
Псевдо-дельтовидный икоситетраэдр
Псевдо-большой дельтовидный икоситетраэдр
Рекомендации
- ^ Грюнбаум, Бранко (2009), «Постоянная ошибка» (PDF), Elemente der Mathematik, 64 (3): 89–101, Дои:10.4171 / EM / 120, МИСТЕР 2520469. Перепечатано в Pitici, Mircea, ed. (2011). Лучшая работа по математике 2010 г.. Издательство Принстонского университета. С. 18–31..