Квадруполь - Quadrupole

А квадруполь или же четырехполюсник является одной из последовательности конфигураций таких вещей, как электрический заряд или ток, или гравитационная масса, которые могут существовать в идеальной форме, но обычно это просто часть мультипольное расширение более сложной структуры, отражающей различные порядки сложности.

Математическое определение

В тензор квадрупольного момента Q - второй ранг тензор - матрица 3 × 3. Есть несколько определений, но обычно они приводятся в бесследный форма (т.е. ${ displaystyle Q_ {xx} + Q_ {yy} + Q_ {zz} = 0}$ ). Тензор квадрупольного момента, таким образом, имеет 9 компонент, но из-за симметрии транспозиции и нулевой след собственности, в таком виде только 5 из них являются независимыми.

Для дискретной системы точечных зарядов или масс в случае гравитационный квадруполь, каждый с зарядом ${ displaystyle q_ {l}}$ , или масса ${ displaystyle m_ {l}}$ , и положение ${ displaystyle { vec {r_ {l}}} = left (r_ {xl}, r_ {yl}, r_ {zl} right)}$ относительно начала системы координат компоненты Q-матрицы определяются как:

{ displaystyle Q_ {ij} = sum _ {l} q_ {l} left (3r_ {il} r_ {jl} - left | { vec {r_ {l}}} right | ^ { 2} delta _ {ij} right)}

.

Индексы ${ displaystyle i, j}$ пробежать Декартовы координаты ${ displaystyle x, y, z}$ и ${ displaystyle delta _ {ij}}$ это Дельта Кронекера. Это означает, что ${ displaystyle x, y, z}$ должны быть равны с точностью до знака расстояниям от точки до ${ displaystyle n}$ взаимно перпендикулярный гиперплоскости для дельты Кронекера равной 1.

В бесследной форме квадрупольный момент иногда выражается как:

{ displaystyle Q_ {ij} = sum _ {l} q_ {l} r_ {il} r_ {jl}}

с этой формой, которая используется в литературе относительно быстрый мультипольный метод. Преобразование между этими двумя формами может быть легко выполнено с помощью оператора устранения трассировки.^[1]

Для непрерывной системы с плотностью заряда или массовой плотностью ${ Displaystyle rho (х, у, г)}$ , компоненты Q определяются интегралом по декартову пространству р:^[2]

{ Displaystyle Q_ {ij} = int , rho ( mathbf {r}) left (3r_ {i} r_ {j} - left | { vec {r}} right | ^ { 2} delta _ {ij} right) , d ^ {3} mathbf {r}}

Как и в случае любого мультипольного момента, если момент более низкого порядка, монополь или же диполь в этом случае отличен от нуля, то значение квадрупольного момента зависит от выбора начало координат. Например, диполь двух точечных зарядов разного знака и одинаковой силы, которые не имеют монопольного момента, могут иметь ненулевой квадрупольный момент, если начало координат смещено от центра конфигурации точно между двумя зарядами; или квадрупольный момент может быть уменьшен до нуля с началом координат в центре. Напротив, если монопольный и дипольный моменты обращаются в нуль, а квадрупольный момент - нет, например четыре заряда одинаковой силы, расположенные в квадрате с чередованием знаков, то квадрупольный момент не зависит от координат.

Если каждый заряд является источником " ${ displaystyle 1 / r}$ потенциальное поле, подобное электрический или же гравитационное поле, вклад в потенциал от квадрупольного момента:

{ displaystyle V _ { text {q}} ( mathbf {R}) = { frac {k} {| mathbf {R} | ^ {3}}} sum _ {i, j} { frac {1} {2}} Q_ {ij} , { hat {R}} _ {i} { hat {R}} _ {j} ,}

куда р вектор с началом в системе зарядов и Р - единичный вектор в направлении р. Здесь, ${ displaystyle k}$ - константа, которая зависит от типа поля и используемых единиц. Факторы ${ displaystyle { hat {R}} _ {i}, { hat {R}} _ {j}}$ - компоненты единичного вектора от интересующей точки до положения квадрупольного момента.

Электрический квадруполь

Контурный участок эквипотенциальные поверхности электрического квадрупольного поля.

Самый простой пример электрического квадруполя состоит из чередующихся положительных и отрицательных зарядов, расположенных по углам квадрата. Монопольный момент (только полный заряд) этой конструкции равен нулю. Точно так же дипольный момент равен нулю, независимо от выбранного начала координат. Но квадрупольный момент расположения на схеме не может быть сведен к нулю, независимо от того, где мы размещаем начало координат. В электрический потенциал квадруполя электрического заряда определяется выражением^[3]

{ displaystyle V _ { text {q}} ( mathbf {R}) = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0}}} { frac {1} {| mathbf {R} | ^ {3}}} sum _ {i, j} { frac {1} {2}} Q_ {ij} , { hat {R}} _ {i} { hat {R}} _ {j} ,}

куда ${ displaystyle epsilon _ {0}}$ это электрическая проницаемость, и ${ displaystyle Q_ {ij}}$ следует определению выше.

Обобщение: высшие мультиполи

Крайнее обобщение ("точка октополь ") будет: восемь чередующихся точечных зарядов в восьми углах параллелепипед, например куба с длиной ребра а. «Октопольный момент» такой схемы соответствовал бы в «октопольном пределе» ${ displaystyle lim _ {a to 0; , a ^ {3} cdot Q to { text {const.}}}}$ , к ненулевому диагональному тензору третьего порядка. Еще более высокие мультиполи, например порядка 2^л, будет получено диполярным (квадрупольным, октополярным, ...) расположением точечных диполей (квадруполей, октополей, ...), а не точечных монополей более низкого порядка, например 2^{l − 1}.

Магнитный квадруполь

Катушки, создающие квадрупольное поле.

Схема квадрупольный магнит ("четырехполюсный").

Все известные магнитные источники дают дипольные поля. Однако можно сделать магнитный квадруполь, разместив четыре одинаковых стержневых магнита перпендикулярно друг другу, так чтобы северный полюс одного был рядом с югом другого. Такая конфигурация компенсирует дипольный момент и дает квадрупольный момент, и его поле будет уменьшаться на больших расстояниях быстрее, чем у диполя.

Пример магнитного квадруполя с постоянными магнитами изображен справа. Электромагниты аналогичного концептуального дизайна (называемого квадрупольные магниты ) обычно используются для фокусировки пучки заряженных частиц в ускорители частиц и линий транспортировки пучка, метод, известный как сильная фокусировка. Есть четыре стальных полюса, два противоположных магнитных северных полюса и два противоположных магнитных южных полюса. Сталь намагничивается большим электрический ток которая течет в бухтах трубок, обернутых вокруг полюсов. Кроме того, квадруполь-дипольное пересечение можно найти, умножив спин неспаренного нуклона на его родительский атом.

Изменяющийся магнитный квадрупольный момент производит электромагнитное излучение.

Гравитационный квадруполь

Квадруполь массы аналогичен квадруполю электрического заряда, где плотность заряда просто заменяется плотностью массы и добавляется отрицательный знак, потому что массы всегда положительны, а сила притягивает. Тогда гравитационный потенциал выражается как:

{ displaystyle V _ { text {q}} ( mathbf {R}) = - { frac {G} {2 | mathbf {R} | ^ {3}}} sum _ {i, j} Q_ {ij} , { hat {R}} _ {i} { hat {R}} _ {j} .}

Например, поскольку Земля вращается, она сплюснута (сплющена на полюсах). Это дает ему ненулевой квадрупольный момент. В то время как вклад в гравитационное поле Земли от этого квадруполя чрезвычайно важен для искусственных спутников, близких к Земле, он менее важен для Луны, потому что ${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {R} | ^ {3}}}}$ срок быстро падает.

Массовый квадрупольный момент также важен в общая теория относительности потому что, если он изменяется со временем, он может производить гравитационное излучение, подобное электромагнитному излучению, создаваемому колебательными электрическими или магнитными диполями и более высокими мультиполями. Однако только квадрупольный и более высокие моменты могут излучать гравитацию. Монополь массы представляет собой общую массу-энергию в системе, которая сохраняется, поэтому он не излучает излучения. Точно так же массовый диполь соответствует центру масс системы, а его первая производная представляет собой импульс, который также является сохраняющейся величиной, поэтому массовый диполь также не излучает. Однако массовый квадруполь может изменяться во времени и вносит вклад в гравитационное излучение самого низкого порядка.^[4]

Простейший и наиболее важный пример излучающей системы - это пара массовых точек с равными массами, вращающихся друг вокруг друга по круговой орбите, приближение, например, к частный случай двоичного черные дыры. Поскольку дипольный момент постоянен, мы можем для удобства разместить начало координат прямо между двумя точками. Тогда дипольный момент будет равен нулю, и если мы также масштабируем координаты так, чтобы точки находились на единичном расстоянии от центра в противоположном направлении, квадрупольный момент системы тогда просто будет равен

{ displaystyle Q_ {ij} = M left (3x_ {i} x_ {j} - | mathbf {x} | ^ {2} delta _ {ij} right)}

куда M масса каждой точки, а ${ displaystyle x_ {i}}$ являются компонентами (единичного) вектора положения одной из точек. Когда они вращаются, это Икс-вектор будет вращаться, что означает, что у него будет сначала ненулевое значение, а также вторая производная по времени (это, конечно, верно независимо от выбора системы координат). Следовательно, система будет излучать гравитационные волны. Энергия, потерянная таким образом, была впервые сделана в период изменений Двойной пульсар Халса – Тейлора, пульсар на орбите с другой нейтронной звездой аналогичной массы.

Подобно тому, как мультиполи электрического заряда и тока вносят вклад в электромагнитное поле, мультиполи массы и тока массы вносят вклад в гравитационное поле в общей теории относительности, вызывая так называемое гравитомагнитный последствия. Изменение мультиполей массового тока также может испускать гравитационное излучение. Однако вклад текущих мультиполей обычно намного меньше, чем вклад массового квадруполя.

Смотрите также

внешняя ссылка

Многополюсное расширение

[1] Эпплквист, Дж. (1989). «Бесследные декартовы тензорные формы для сферических гармонических функций: новые теоремы и приложения к электростатике диэлектрических сред». Журнал физики A: математические и общие. 22 (20): 4303–4330. Bibcode:1989JPhA ... 22.4303A. Дои:10.1088/0305-4470/22/20/011.

[wolf_eqm-2] Вайсштейн, Эрик. «Электрический квадрупольный момент». Мир физики Эрика Вайсштейна. Wolfram Research. Получено 8 мая, 2012.

[3] Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-43132-X.

[4] Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольные расширения гравитационного излучения» (PDF). Обзоры современной физики. 52 (2): 299–339. Bibcode:1980РвМП ... 52..299Т. Дои:10.1103 / RevModPhys.52.299.

[1]

[2]

[3]

[4]