Набор уникальности - Set of uniqueness

В математика, а набор уникальности это концепция, относящаяся к тригонометрическим разложениям, которые не обязательно Ряд Фурье. Их исследование относительно чистый филиал гармонический анализ.

Определение

Подмножество E круга называется набор уникальности, или U-набор, если есть тригонометрическое разложение

{ Displaystyle сумма _ {п = - infty} ^ { infty} с (п) е ^ {int}}

который сходится к нулю при ${ displaystyle t notin E}$ тождественно нулю; то есть такой, что

c(п) = 0 для всех п.

Иначе E это набор кратности (иногда называемый M-набор или Меньшовский набор). Аналогичные определения применимы к реальная линия, и в более высоких измерениях. В последнем случае необходимо указать порядок суммирования, например «набор уникальности по отношению к суммированию по шарам».

Чтобы понять важность определения, важно выйти из Фурье образ мышления. В анализе Фурье нет вопроса об однозначности, поскольку коэффициенты c(п) получаются интегрированием функции. Следовательно, в анализе Фурье порядок действий

Начните с функции ж.
Рассчитайте коэффициенты Фурье, используя

{ Displaystyle с (п) = int _ {0} ^ {2 pi} f (t) e ^ {- int} , dt}

Спросите: сходится ли сумма к ж? В каком смысле?

В теории уникальности порядок другой:

Начнем с некоторых коэффициентов c(п), для которых сумма сходится в некотором смысле
Спросите: означает ли это, что они являются коэффициентами Фурье функции?

Фактически, обычно достаточно интересно (как в приведенном выше определении) предположить, что сумма сходится к нулю, и спросить, означает ли это, что все c(п) должен быть равен нулю. Как обычно в анализ, самые интересные вопросы возникают при обсуждении поточечная сходимость. Отсюда вышеприведенное определение, которое возникло, когда стало ясно, что ни конвергенция везде ни конвергенция почти всюду дать удовлетворительный ответ.

Раннее исследование

В пустой набор это набор уникальности. Это просто причудливый способ сказать, что если тригонометрический ряд сходится к нулю повсюду тогда это банально. Это было доказано Риман, используя тонкую технику двойной формальной интеграции; и показывая, что полученная сумма имеет некоторую обобщенную вторую производную, используя Операторы Теплица. Позже, Кантор обобщил методы Римана, чтобы показать, что любой счетный, закрытый набор представляет собой набор уникальности, открытие, которое привело его к разработке теория множеств. Пол Коэн, еще один великий новатор в теории множеств, начал свою карьеру с диссертации о множествах уникальности.

Поскольку теория Интеграция Лебега разработано, предполагалось, что любой набор нулевых мера будет набором уникальности - в одном измерении принцип локальности для Ряд Фурье показывает, что любой набор положительной меры является множеством множественности (в более высоких измерениях это все еще открытый вопрос). Это было опровергнуто Д. Э. Меньшов который в 1916 году построил пример множества множественности с нулевой мерой.

Трансформации

А перевод и расширение набора уникальности - это набор уникальности. Союз счетной семьи закрыто Наборы уникальности - это набор уникальности. Существует пример двух наборов уникальности, объединение которых не является набором уникальности, но наборы в этом примере не являются Борель. Остается открытым вопрос, является ли объединение любых двух борелевских множеств уникальности множеством уникальности.

Особые распределения

Замкнутое множество является множеством единственности тогда и только тогда, когда существует распределение S поддержанный на множестве (поэтому, в частности, оно должно быть особенным) такое, что

{ Displaystyle lim _ {п к infty} { widehat {S}} (п) = 0}

( ${ Displaystyle { шляпа {S}} (п)}$ вот коэффициенты Фурье). Во всех ранних примерах множеств уникальности рассматриваемое распределение было фактически мерой. Однако в 1954 году Илья Пятецкий-Шапиро построили пример набора уникальности, который не поддерживает никаких мер с коэффициентами Фурье, стремящимися к нулю. Другими словами, необходимо обобщение распределения.

Сложность конструкции

Первое доказательство того, что наборы уникальности имеют сложную структуру, было получено в результате изучения Канторовские наборы. Салем и Зигмунд показал, что канторовское множество с коэффициентом рассечения ξ является множеством единственности тогда и только тогда, когда 1 / ξ является Номер Писо, это алгебраическое целое число с тем свойством, что все его конъюгирует (если есть) меньше 1. Это была первая демонстрация того, что свойство быть набором уникальности связано с арифметика свойства, а не просто понятие размера (Нина Бари доказал случай рационального ξ - канторово множество является множеством единственности тогда и только тогда, когда 1 / ξ является целым числом - несколькими годами ранее).

С 50-х годов была проделана большая работа по формализации этой сложности. Семейство множеств единственности, рассматриваемое как множество внутри пространства компактов (см. Расстояние Хаусдорфа ), находился внутри аналитическая иерархия. Решающую роль в этом исследовании играют индекс набора, который является порядковый между 1 и ω₁, впервые определенную Пятецким-Шапиро. В настоящее время исследование множеств уникальности является такой же отраслью описательная теория множеств как гармонический анализ. См. Книгу Кехрис-Луво, на которую ссылаются ниже.