Специализация (предзаказ) - Specialization (pre)order

В филиале математика известный как топология, то специализация (или же канонический) Предварительный заказ это естественный Предварительный заказ на множестве точек топологическое пространство. Для большинства пространств, которые рассматриваются на практике, а именно для всех тех, которые удовлетворяют требованиям Т₀ аксиома разделения, этот предзаказ - даже частичный заказ (называется порядок специализации). С другой стороны, для Т₁ пробелы порядок становится тривиальным и малоинтересным.

Порядок специализации часто рассматривается в приложениях в Информатика, где T₀ пробелы встречаются в денотационная семантика. Порядок специализации также важен для определения подходящих топологий на частично упорядоченных наборах, как это сделано в теория порядка.

Определение и мотивация

Рассмотрим любое топологическое пространство Икс. В предварительный заказ специализации ≤ на Икс связывает два пункта Икс когда лежишь в закрытие другого. Однако разные авторы расходятся во мнениях относительно того, в каком «направлении» должен идти порядок. Что согласовано^{[нужна цитата ]} это если

Икс содержится в cl {у},

(где cl {у} обозначает закрытие одноэлементный набор {у}, т.е. пересечение из всех закрытые наборы содержащий {у}), мы говорим, что Икс это специализация из у и это у это обобщение из Икс; это обычно пишется у ⤳ х.

К сожалению, свойство "Икс это специализация у"альтернативно записывается как"Икс ≤ у" и, как "у ≤ Икс"разных авторов (см. соответственно^[1] и ^[2]).

Оба определения имеют интуитивное обоснование: в случае первого мы имеем

Икс ≤ у если и только если cl {Икс} ⊆ cl {у}.

Однако в случае, когда наше пространство Икс это простой спектр Spec R коммутативного кольца р (что является мотивационной ситуацией в приложениях, связанных с алгебраическая геометрия ), то согласно нашему второму определению порядка имеем

у ≤ Икс если и только если у ⊆ Икс как первичные идеалы кольца р.

В целях согласованности в оставшейся части этой статьи мы будем использовать первое определение: "Икс это специализация у"быть написано как Икс ≤ у. Затем мы видим,

Икс ≤ у если и только если Икс содержится во всех закрытые наборы которые содержат у.

Икс ≤ у если и только если у содержится во всех открытые наборы которые содержат Икс.

Эти повторения помогают объяснить, почему говорят о «специализации»: у более общий, чем Икс, поскольку он содержится в более открытых наборах. Это особенно интуитивно понятно, если рассматривать закрытые наборы как свойства, которые точка Икс может иметь или не иметь. Чем больше замкнутых множеств содержат точку, тем больше у нее свойств и тем более она особенная. Использование последовательный с классическими логическими представлениями о род и разновидность; а также с традиционным использованием общие точки в алгебраическая геометрия, в котором замкнутые точки являются наиболее конкретными, а общая точка пространства - это точка, содержащаяся в каждом непустом открытом подмножестве. Специализация как идея применяется и в теория оценки.

Более конкретная интуиция верхних элементов обычно проявляется в теория предметной области, раздел теории порядка, имеющий широкое применение в информатике.

Верхний и нижний подходы

Позволять Икс - топологическое пространство и ≤ - предпорядок специализации на Икс. Каждый открытый набор является верхний набор относительно ≤ и каждый закрытый набор это нижний набор. Обратное обычно неверно. Фактически топологическое пространство - это Александров-дискретное пространство тогда и только тогда, когда каждый верхний набор также открыт (или, что эквивалентно, каждый нижний набор также закрыт).

Позволять А быть подмножеством Икс. Наименьший верхний набор, содержащий А обозначается ↑Аи самый маленький нижний набор, содержащий А обозначается ↓А. В случае А = {Икс} - одноэлементный, используется обозначение ↑Икс и ↓Икс. За Икс ∈ Икс надо:

↑Икс = {у ∈ Икс : Икс ≤ у} = ∩ {открытых множеств, содержащих Икс}.
↓Икс = {у ∈ Икс : у ≤ Икс} = ∩ {замкнутые множества, содержащие Икс} = cl {Икс}.

Нижний комплект ↓Икс всегда закрыто; однако верхний набор ↑Икс не обязательно быть открытым или закрытым. Замкнутые точки топологического пространства Икс точно минимальные элементы из Икс относительно ≤.

Примеры

в Пространство Серпинского {0,1} с открытыми множествами {∅, {1}, {0,1}} порядок специализации естественный (0 ≤ 0, 0 ≤ 1 и 1 ≤ 1).
Если п, q являются элементами Spec (р) ( спектр из коммутативное кольцо р) тогда п ≤ q если и только если q ⊆ п (в качестве главные идеалы ). Таким образом, замкнутые точки Spec (р) в точности максимальные идеалы.

Важные свойства

Как следует из названия, предварительный заказ специализации является предварительным, т.е. рефлексивный и переходный.

В отношение эквивалентности определяется предварительным заказом специализации как раз топологическая неразличимость. То есть, Икс и у топологически неразличимы тогда и только тогда, когда Икс ≤ у и у ≤ Икс. Следовательно антисимметрия of ≤ - это в точности T₀ аксиома разделения: если Икс и у неотличимы тогда Икс = у. В этом случае можно говорить о порядок специализации.

С другой стороны, симметрия предзаказа специализации эквивалентен р₀ аксиома разделения: Икс ≤ у если и только если Икс и у топологически неразличимы. Отсюда следует, что если базовая топология T₁, то порядок специализации дискретный, т.е. Икс ≤ у если и только если Икс = у. Следовательно, порядок специализации малоинтересен для T₁ топологии, особенно для всех Хаусдорфовы пространства.

Любой непрерывная функция между двумя топологическими пространствами монотонный относительно предпорядков специализации этих пространств. Обратное, однако, в целом неверно. На языке теория категорий, тогда мы имеем функтор от категория топологических пространств к категория предварительно заказанных наборов который присваивает топологическому пространству предпорядок специализации. Этот функтор имеет левый смежный который помещает Топология Александрова на предварительно заказанном наборе.

Есть пробелы более специфичные, чем T₀ пространства, для которых этот порядок интересен: трезвые пространства. Их отношение к порядку специализации более тонкое:

Для любого трезвого пространства Икс с порядком специализации ≤ имеем

(Икс, ≤) является направленный полный частичный заказ, т.е. каждый направленное подмножество S из (Икс, ≤) имеет супремум Как дела S,
для каждого направленного подмножества S из (Икс, ≤) и каждое открытое множество О, если да S в О, тогда S и О имеют непустой пересечение.

Второе свойство можно описать, сказав, что открытые множества недоступен по направленной супреме. Топология порядок последовательный относительно некоторого порядка ≤, если он индуцирует ≤ в качестве своего порядка специализации и обладает указанным выше свойством недоступности относительно (существующих) супремумов направленных множеств в ≤.

Топологии по заказам

Порядок специализации дает инструмент для получения предварительного заказа из каждой топологии. Естественно спросить и об обратном: каждый ли предзаказ получается как предзаказ специализации какой-то топологии?

В самом деле, ответ на этот вопрос положительный, и, как правило, существует множество топологий на множестве Икс которые индуцируют данный порядок ≤ как порядок их специализации. В Александрова топология порядка ≤ играет особую роль: это тончайшая топология, которая индуцирует ≤. Другая крайность, самая грубая топология, индуцирующая ≤, - это верхняя топология, наименьшая топология, внутри которой все дополнения множеств {у в Икс | у ≤ Икс} (для некоторых Икс в Икс) открыты.

Между этими двумя крайностями также есть интересные топологии. Наилучшей трезвой топологией, согласованной в указанном выше смысле для данного порядка ≤, является Топология Скотта. Однако верхняя топология по-прежнему является самой грубой согласованной топологией трезвого порядка. Фактически, его открытые множества недоступны даже для любой suprema. Следовательно, любой трезвое пространство с порядком специализации ≤ тоньше верхней топологии и грубее топологии Скотта. Тем не менее, такое пространство может не существовать, то есть существуют частичные порядки, для которых не существует согласованной топологии трезвого порядка. В частности, топология Скотта не обязательно трезвая.