Сложенная кривая - Википедия - Stacky curve

В математике сложная кривая это объект в алгебраическая геометрия это примерно алгебраическая кривая с потенциально "дробными точками", называемыми точки накопления. Сложенная кривая - это тип стек используется в обучении Теория Громова – Виттена., перечислительная геометрия, и кольца модульных форм.

Стеклянные кривые глубоко связаны с одномерными орбифолды и поэтому иногда называют орбифолд кривые или орбикурвы.

Определение

Сложная кривая ${ Displaystyle { mathfrak {X}}}$ над полем k это гладкий; плавный правильный геометрически связанный Стек Делин-Мамфорд из измерение 1 больше k который содержит плотную открытую подсхему.^[1][2][3]

Свойства

Стековая кривая однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим грубым пространством Икс (гладкий квазипроективный изгибаться k) конечный набор точек Икс_я (его точки стека) и целые числа п_я (порядок его ветвления) больше 1.^[3] В канонический делитель из ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ является линейно эквивалентный в сумму канонического делителя Икс и дивизор ветвления р:^[1]

${ Displaystyle К _ { mathfrak {X}} sim K_ {X} + R.}$

Сдача г быть род грубого пространства Икс, степень канонический делитель из ${ Displaystyle { mathfrak {X}}}$ следовательно является:^[1]

${ displaystyle d = deg K _ { mathfrak {X}} = 2-2g- sum _ {i = 1} ^ {r} { frac {n_ {i} -1} {n_ {i}}} .}$

Стековая кривая называется сферический если d положительный, Евклидово если d равен нулю, и гиперболический если d отрицательный.^[3]

Хотя соответствующее заявление Теорема Римана – Роха не выполняется для многослойных кривых,^[1] есть обобщение Теорема существования Римана это дает эквивалентность категорий между категория наборных кривых над сложные числа и категория сложных орбифолдных кривых.^[1][2][4]

Приложения

Обобщение GAGA для стекированных кривых используется при выводе алгебраическая структурная теория колец модулярных форм.^[2]

Изучение стековых кривых широко используется в эквивариантной теории Громова – Виттена и перечислительной геометрии.^[1][5]

использованная литература