Кольцо модульных форм - Википедия - Ring of modular forms

В математике кольцо модульных форм связано с подгруппа Γ из специальная линейная группа SL (2, Z) это градуированное кольцо генерируется модульные формы из Γ. Изучение колец модулярных форм описывает алгебраическую структуру пространства модулярных форм.

Определение

Позволять Γ быть подгруппой SL (2, Z) это конечно показатель и разреши M_k(Γ) быть векторное пространство модульных форм веса k. Кольцо модульных форм Γ это градуированное кольцо ${ Displaystyle M ( Gamma) = bigoplus _ {k geq 0} M_ {k} ( Gamma)}$.^[1]

пример

Кольцо модульных форм полного модульная группа SL (2, Z) является свободно генерируемый посредством Серия Эйзенштейна E₄ и E₆. Другими словами, M_k(Γ) изоморфен как ${ Displaystyle mathbb {C}}$-алгебра к ${ displaystyle mathbb {C} [E_ {4}, E_ {6}]}$, какой кольцо многочленов двух переменных по сложные числа.^[1]

Свойства

Кольцо модульных форм представляет собой градуированное Алгебра Ли поскольку скобка Ли ${ displaystyle [f, g] = kfg '- ell f'g}$ модульных форм ж и г соответствующего веса k и ℓ модульная форма веса к + ℓ + 2.^[1] Скобку можно определить для п-я производная модулярных форм и такая скобка называется Скобка Ранкина – Коэна.^[1]

Подгруппы конгруэнции SL (2, Z)

В 1973 г. Пьер Делинь и Майкл Рапопорт показал, что кольцо модульных форм M (Γ) является конечно порожденный когда Γ это подгруппа конгруэнции из SL (2, Z).^[2]

В 2003 году Лев Борисов и Пол Ганнеллс показали, что кольцо модульных форм M (Γ) является генерируется в весе не более 3, когда ${ displaystyle Gamma}$ подгруппа конгруэнции ${ displaystyle Gamma _ {1} (N)}$ высшего уровня N в SL (2, Z) используя теорию торические модульные формы.^[3] В 2014 году Надим Растом продлил результат Борисова и Ганнеллса на ${ displaystyle Gamma _ {1} (N)}$ на всех уровнях N а также продемонстрировали, что кольцо модулярных форм для конгруэнтной подгруппы ${ displaystyle Gamma _ {0} (N)}$ генерируется весом не более 6 для некоторых уровней N.^[4]

В 2015 году Джон Войт и Дэвид Зурейк-Браун обобщили эти результаты: они доказали, что градуированное кольцо модулярных форм четного веса для любой конгруэнтной подгруппы Γ из SL (2, Z) имеет вес не более 6 с связи имеет вес не более 12.^[5] Основываясь на этой работе, в 2016 году Аарон Ландесман, Питер Рум и Робин Чжан показали, что те же оценки справедливы для полного кольца (всех весов) с улучшенными оценками 5 и 10, когда Γ имеет модульную форму с ненулевым нечетным весом.^[6]

Общие фуксовы группы

А Фуксова группа Γ соответствует орбифолд полученный из частного ${ displaystyle Gamma backslash mathbb {H}}$ из верхняя полуплоскость ${ displaystyle mathbb {H}}$. Путем сложного обобщения Теорема существования Римана, существует соответствие между кольцом модулярных форм Γ и конкретный секционное кольцо тесно связан с каноническое кольцо из сложная кривая.^[5]

Существует общая формула для весов образующих и отношений колец модулярных форм, основанная на работах Войта и Зурейка-Брауна и работ Ландесмана, Рума и Чжана. ${ displaystyle e_ {i}}$ - порядки стабилизатора точек стопки кривой (эквивалентно, точки возврата орбифолда ${ displaystyle Gamma backslash mathbb {H}}$) связаны с Γ. Если Γ не имеет модулярных форм ненулевого нечетного веса, то кольцо модулярных форм порождено весом не более ${ displaystyle 6 max (1, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$ и имеет отношения, генерируемые по весу не более ${ displaystyle 12 max (1, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$.^[5] Если Γ имеет модулярную форму с ненулевым нечетным весом, то кольцо модулярных форм порождено весом не более ${ displaystyle max (5, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$ и имеет отношения, генерируемые по весу не более ${ displaystyle 2 max (5, e_ {1}, e_ {2}, ldots, e_ {r})}$.^[6]

Приложения

В теория струн и суперсимметричная калибровочная теория, алгебраическая структура кольца модулярных форм может быть использована для изучения структуры Вакуум Хиггса четырехмерного калибровочные теории с N = 1 суперсимметрия.^[7] Стабилизаторы суперпотенциалы в N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса - кольца модулярных форм подгруппы конгруэнции Γ (2) из SL (2, Z).^[7][8]

использованная литература