Прореживание блоков с течением времени - Time-evolving block decimation

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Прореживание блоков с изменяющимся временем»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В прореживание блоков с изменяющимся временем (TEBD) алгоритм численная схема, используемая для моделирования одномерного квант системы многих тел, характеризующиеся взаимодействием не более ближайших соседей. Он получил название «блочная децимация с эволюцией во времени», потому что он динамически идентифицирует соответствующие низкоразмерные гильбертовы подпространства экспоненциально большего оригинала. Гильбертово пространство. Алгоритм, основанный на формализме матричных состояний продукта, очень эффективен, когда количество запутанность в системе ограничено, требование выполняется большим классом квантовых систем многих тел в одном измерении.

Введение

эта статья написано как личное размышление, личное эссе или аргументированное эссе который излагает личные чувства редактора Википедии или представляет оригинальный аргумент по теме. Пожалуйста помогите улучшить это переписав его в энциклопедический стиль. (Октябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В настоящее время наблюдается значительный интерес в области квантовой теории к вычислительным методам, хорошо подходящим для физики систем многих тел. Учитывая трудности, присущие моделированию общих квантовых систем многих тел, экспоненциальный рост в параметрах, зависящих от размера системы и, соответственно, высоких вычислительных затрат, одним из решений может быть поиск численных методов, которые имеют дело с частными случаями, когда можно извлечь пользу из физики системы. Необработанный подход, напрямую касающийся всех параметров, используемых для полной характеристики квантовой системы многих тел, серьезно затрудняется из-за чрезмерно экспоненциального наращивания с размером системы количества переменных, необходимых для моделирования, что в лучшем случае приводит к к неоправданно долгому времени вычислений и расширенному использованию памяти. Чтобы обойти эту проблему, со временем был разработан и применен на практике ряд различных методов, одним из самых успешных из которых является квантовый метод Монте-Карло (QMC). Так же ренормгруппа матрицы плотности (DMRG), наряду с QMC, является очень надежным методом с расширяющимся сообществом пользователей и растущим числом приложений для физических систем.

Когда первый квантовый компьютер подключен и функционирует, перспективы для области вычислительной физики будут выглядеть довольно многообещающими, но до этого дня нужно ограничиться приземленными инструментами, предлагаемыми классическими компьютерами. В то время как физики-экспериментаторы прилагают много усилий, пытаясь построить первый квантовый компьютер, физики-теоретики ведут поиски в области квантовая информация теория (QIT), для настоящих квантовых алгоритмов, подходящая для задач, которые плохо работают при попытке решить на классическом компьютере, но довольно быстро и успешно на квантовом. Поиск таких алгоритмов продолжается, самым известным (и почти единственным найденным) является Алгоритм Шора, за факторинг большие числа и Алгоритм поиска Гровера.

В области QIT необходимо определить основные ресурсы, необходимые для подлинных квантовых вычислений. Такой ресурс может быть ответственным за выигрыш в ускорении в квантовом режиме по сравнению с классическим, их идентификация означает также идентификацию систем, которые можно моделировать достаточно эффективным образом на классическом компьютере. Такой ресурс квантовая запутанность; следовательно, можно установить четкую нижнюю границу запутанности, необходимой для ускорения квантовых вычислений.

Гифре Видаль, затем в Институте квантовой информации, Калтех, недавно предложила схему, полезную для моделирования определенной категории квантовых^[1] системы. Он утверждает, что «любое квантовое вычисление с чистыми состояниями может быть эффективно смоделировано с помощью классического компьютера при условии, что степень вовлеченности достаточно ограничена».Это случается с универсальными Гамильтонианы отображение локальных взаимодействий, например, Хаббард -подобные гамильтонианы. Этот метод демонстрирует полиномиальное поведение низкой степени в увеличении времени вычислений по отношению к степени запутанности, присутствующей в системе. Алгоритм основан на схеме, которая использует тот факт, что в этих одномерных системах собственные значения приведенных матрица плотности на двудольном расщеплении системы экспоненциально затухают, что позволяет нам работать в пространстве с измененными размерами, охватываемом собственными векторами, соответствующими собственные значения мы выбрали.

Можно также оценить количество вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования квантовой системы на классическом компьютере, зная, как запутанность, содержащаяся в системе, масштабируется с размером системы. Классически (и квантово также) выполнимое моделирование - это модели, в которых участвуют системы только слегка запутанные, тогда как сильно запутанные модели, с другой стороны, являются хорошими кандидатами только для настоящих квантовых вычислений.

Численный метод эффективен при моделировании динамики в реальном времени или расчетах основные состояния используя эволюцию во мнимом времени или изэнтропический интерполяции между целевым гамильтонианом и гамильтонианом с уже известным основным состоянием. Вычислительные шкалы времени линейно с размером системы, следовательно, системы многих частиц в 1D могут быть исследованы.

Полезная особенность алгоритма TEBD заключается в том, что его можно надежно использовать для эволюция во времени моделирование зависящих от времени гамильтонианов, описывающих системы, которые могут быть реализованы с холодный атомы в оптические решетки, или в системах, далеких от равновесия в квантовом переносе. С этой точки зрения TEBD имел определенное превосходство над DMRG, очень мощным методом, но до недавнего времени не очень хорошо подходящим для моделирования эволюции во времени. С формализмом матричных состояний продукта, лежащим в основе математики DMRG, схема TEBD была принята сообществом DMRG, что привело к рождению зависимой от времени DMRG. [2]^{[постоянная мертвая ссылка ]}, для краткости т-ДМРГ.

Примерно в то же время другие группы разработали аналогичные подходы, в которых квантовая информация играет преобладающую роль, как, например, в реализациях DMRG для периодических граничных условий. [3], и для изучения динамики смешанного состояния в одномерных квантовых решетчатых системах.^[2][3] Эти последние подходы фактически предоставляют формализм, который является более общим, чем исходный подход TEBD, поскольку он также позволяет иметь дело с эволюциями с помощью операторов матричного произведения; это позволяет моделировать нетривиальные не бесконечно малые эволюции, в отличие от случая TEBD, и является важным ингредиентом для работы с многомерными аналогами состояний матричного произведения.

Разложение государства

Введение в декомпозицию состояния

Рассмотрим цепочку N кубиты, описываемый функцией ${displaystyle | Пси-угол в H ^ {{otimes} N}}$. Самый естественный способ описания ${displaystyle | Psi angle}$ будет использовать местный ${displaystyle M ^ {N}}$-размерная основа ${displaystyle | i_ {1}, i_ {2}, .., i_ {N-1}, i_ {N} angle}$:

${displaystyle | Psi angle = сумма пределов _ {i = 1} ^ {M} c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}} | {i_ {1}, i_ {2}, .., i_ {N-1}, i_ {N}} угол}$

где M это измерение на месте.

Уловка TEBD состоит в том, чтобы переписать коэффициенты ${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$:

${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}} = ограничения суммы _ {alpha _ {1}, .., alpha _ {N-1} = 0} ^ {chi} Gamma _ { альфа _ {1}} ^ {[1] i_ {1}} лямбда _ {альфа _ {1}} ^ {[1]} Гамма _ {альфа _ {1} альфа _ {2}} ^ {[2] i_ {2}} lambda _ {alpha _ {2}} ^ {[2]} Gamma _ {alpha _ {2} alpha _ {3}} ^ {[3] i_ {3}} lambda _ {alpha _ { 3}} ^ {[3]} cdot ..cdot Gamma _ {alpha _ {N-2} alpha _ {N-1}} ^ {[{N-1}] i_ {N-1}} лямбда _ { альфа _ {N-1}} ^ {[N-1]} Гамма _ {альфа _ {N-1}} ^ {[N] i_ {N}}}$

Эта форма, известная как Матрица состояния продукта, значительно упрощает расчеты.

Чтобы понять почему, можно посмотреть на Разложение Шмидта государства, использующего разложение по сингулярным числам проще выразить состояние с ограниченной запутанностью.

Разложение Шмидта

Рассмотрим состояние двудольной системы ${displaystyle vert Пси-угол в {H_ {A} otimes H_ {B}}}$. Каждое такое состояние ${displaystyle | {Psi} angle}$ могут быть представлены на правильно выбранной основе как:

${displaystyle | {Psi} угол = предел суммы _ {i = 1} ^ {M_ {A | B}} a_ {i} | {Phi _ {i} ^ {A} Phi _ {i} ^ {B}} угол }$

где ${displaystyle | {Phi _ {i} ^ {A} Phi _ {i} ^ {B}} angle = | {Phi _ {i} ^ {A}} угол временами | {Phi _ {i} ^ {B} }угол }$ формируются векторами ${displaystyle | {Phi _ {i} ^ {A}} angle}$ которые составляют ортонормированный базис в ${displaystyle H_ {A}}$ и, соответственно, векторы ${displaystyle | {Phi _ {i} ^ {B}} angle}$, которые образуют ортонормированный базис в ${displaystyle {H_ {B}}}$, с коэффициентами ${displaystyle a_ {i}}$ быть реальным и позитивным, ${ограничения суммы displaystyle _ {i = 1} ^ {M_ {A | B}} a_ {i} ^ {2} = 1}$. Это называется разложением Шмидта (SD) состояния. Обычно суммирование сводится к ${displaystyle M_ {A | B} = min (dim ({H_ {A}}), dim ({H_ {B}}))}$. Ранг Шмидта двудольного расщепления задается числом ненулевых коэффициентов Шмидта. Если ранг Шмидта равен единице, разделение характеризуется состоянием продукта. Векторы SD определены с точностью до фазы, а собственные значения и ранг Шмидта уникальны.

Например, двухкубитное состояние:

${displaystyle | {Psi} angle = {frac {1} {2 {sqrt {2}}}} left (| {00} angle + {sqrt {3}} | {01} angle + {sqrt {3}} | {10} угол + | {11} угол ight)}$

имеет следующие SD:

${displaystyle | {Psi} angle = {frac {{sqrt {3}} + 1} {2 {sqrt {2}}}} | {phi _ {1} ^ {A} phi _ {1} ^ {B} } angle + {frac {{sqrt {3}} - 1} {2 {sqrt {2}}}} | {phi _ {2} ^ {A} phi _ {2} ^ {B}} angle}$

с

${displaystyle | {phi _ {1} ^ {A}} angle = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {0_ {A}} angle + | {1_ {A}} angle), | { phi _ {1} ^ {B}} angle = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {0_ {B}} angle + | {1_ {B}} angle), | {phi _ {2 } ^ {A}} угол = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {0_ {A}} угол - | {1_ {A}} угол), | {phi _ {2} ^ {B }} angle = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {1_ {B}} angle - | {0_ {B}} angle)}$

С другой стороны, государство:

${displaystyle | {Phi} angle = {frac {1} {sqrt {3}}} | {00} angle + {frac {1} {sqrt {6}}}} | {01} angle - {frac {i} { sqrt {3}}} | {10} угол - {frac {i} {sqrt {6}}} | {11} угол}$

состояние продукта:

${displaystyle | {Phi} angle = {(} {frac {1} {sqrt {3}}} | {0_ {A}} angle - {frac {i} {sqrt {3}}} | {1_ {A}) } angle {)} otimes {(} | {0_ {B}} angle + {frac {1} {sqrt {2}}} | {1_ {B}} angle {)}}$

Построение декомпозиции государства

На данный момент мы, вероятно, знаем достаточно, чтобы попытаться увидеть, как мы явно строим декомпозицию (назовем это D).

Рассмотрим двудольное расщепление ${displaystyle [1]: [2..N]}$. У SD есть коэффициенты ${displaystyle lambda _ {{alpha} _ {1}} ^ {[1]}}$ и собственные векторы ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[1]}} угол | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} угол}$. Расширяя ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[1]}} angle}$в локальной базе, можно написать:

${displaystyle | {Psi} угол = пределы суммы _ {i_ {1}, {alpha _ {1} = 1}} ^ {M, chi} Гамма _ {alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1 }} лямбда _ {альфа _ {1}} ^ {[1]} | {i_ {1}} угол | {Фи _ {альфа _ {1}} ^ {[2..N]}} угол}$

Процесс можно разбить на три этапа, повторяемых для каждой облигации (и, соответственно, SD) в цепочке:

Шаг 1: выразить ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} angle}$находится в локальной основе для кубита 2:

${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} угол = сумма _ {i_ {2}} | {i_ {2}} угол | {au _ {alpha _ {1 } i_ {2}} ^ {[3..N]}} угол}$

Векторы ${displaystyle | {au _ {alpha _ {1} i_ {2}} ^ {[3..N]}} angle}$ не обязательно нормализованный.

Шаг 2: написать каждый вектор ${displaystyle | {au _ {alpha _ {1} i_ {2}} ^ {[3..N]}} angle}$ с точки зрения в большинстве (Курсив Видаля) ${displaystyle chi}$ Векторы Шмидта ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {2}} ^ {[3..N]}} angle}$ и, соответственно, коэффициенты ${displaystyle lambda _ {{alpha} _ {2}} ^ {[2]}}$:

${displaystyle | au _ {alpha _ {1} i_ {2}} ^ {[3..N]} angle = sum _ {alpha _ {2}} Gamma _ {alpha _ {1} alpha _ {2}} ^ {[ 2] i_ {2}} лямбда _ {{альфа} _ {2}} ^ {[2]} | {Фи _ {альфа _ {2}} ^ {[3..N]}} угол}$

Шаг 3: сделаем замены и получим:

${displaystyle | {Psi} angle = sum _ {i_ {1}, i_ {2}, alpha _ {1}, alpha _ {2}} Gamma _ {alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1 }} лямбда _ {альфа _ {1}} ^ {[1]} Гамма _ {альфа _ {1} альфа _ {2}} ^ {[2] i_ {2}} лямбда _ {{альфа} _ {2 }} ^ {[2]} | {i_ {1} i_ {2}} угол | {Phi _ {alpha _ {2}} ^ {[3..N]}} угол}$

Повторяя шаги с 1 по 3, можно построить всю декомпозицию состояния D. Последний ${displaystyle Gamma}$являются частным случаем, как и первые, выражающие правые векторы Шмидта на ${displaystyle (N-1) ^ {th}}$ облигации на местной основе на ${displaystyle N ^ {th}}$ место решетки. Как показано в,^[1] легко получить разложение Шмидта при ${displaystyle k ^ {th}}$ облигация, т.е. ${displaystyle [1..k]: [k + 1..N]}$, от D.

Собственные значения Шмидта явно указаны в D:

${displaystyle | {Psi} angle = sum _ {alpha _ {k}} lambda _ {{alpha} _ {k}} ^ {[k]} | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[1. .k]}} угол | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[k + 1..N]}} angle}$

Собственные векторы Шмидта просто:

${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[1..k]}} angle = sum _ {alpha _ {1}, alpha _ {2} .. alpha _ {k-1}} Гамма _ {alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1}} lambda _ {alpha _ {1}} ^ {[1]} cdot cdot Gamma _ {alpha _ {k-1} alpha _ {k} } ^ {[k] i_ {k}} | {i_ {1} i_ {2} .. i_ {k}} угол}$

и

${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[k + 1..N]}} угол = сумма _ {alpha _ {k + 1}, alpha _ {k + 2} .. alpha _ { N}} Гамма _ {альфа _ {k} альфа _ {k + 1}} ^ {[k + 1] i_ {k + 1}} лямбда _ {альфа _ {k + 1}} ^ {[k + 1 ]} cdot cdot lambda _ {alpha _ {N-1}} ^ {N-1} Gamma _ {alpha _ {N-1}} ^ {[N] i_ {N}} | {i_ {k + 1} i_ {k + 2} .. i_ {N}} угол}$

Обоснование

Теперь, глядя на D, вместо того ${displaystyle M ^ {N}}$ начальные сроки, есть ${displaystyle {chi} ^ {2} {cdot} M (N-2) +2 {chi} M + (N-1) chi}$. Видимо это просто причудливый способ переписать коэффициенты ${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$, но на самом деле это еще не все. При условии, что N четно, ранг Шмидта ${displaystyle chi}$ для двудольного разреза в середине цепочки может иметь максимальное значение ${displaystyle M ^ {N / 2}}$; в этом случае мы получаем как минимум ${displaystyle M ^ {N + 1} {cdot} (N-2)}$ коэффициенты, учитывая только ${displaystyle {chi} ^ {2}}$ единицы, чуть больше первоначального ${displaystyle M ^ {N}}$! Правда в том, что разложение D полезен при работе с системами, которые демонстрируют низкую степень запутанности, что, к счастью, имеет место со многими одномерными системами, где коэффициенты Шмидта основного состояния убывают экспоненциальным образом с ${displaystyle alpha}$:

${displaystyle lambda _ {{alpha} _ {l}} ^ {[l]} {sim} e ^ {- Kalpha _ {l}}, K> 0.}$

Следовательно, можно учесть только некоторые из коэффициентов Шмидта (а именно самые большие), отбросив остальные и, следовательно, снова нормализовав состояние:

${displaystyle | {Psi} angle = {frac {1} {sqrt {sum limits _ {{alpha _ {l}} = 1} ^ {{chi} _ {c}} {| lambda _ {{alpha} _ { l}} ^ {[l]} |} ^ {2}}}} Пределы суммы cdot _ {{{alpha} _ {l}} = 1} ^ {{chi} _ {c}} lambda _ {{alpha } _ {l}} ^ {[l]} | {Phi _ {alpha _ {l}} ^ {[1..l]}} угол | {Phi _ {alpha _ {l}} ^ {[l + 1..N]}} угол,}$

где ${displaystyle chi _ {c}}$ - количество сохраняемых коэффициентов Шмидта.

Давайте отойдем от этой абстрактной картины и освежимся конкретным примером, чтобы подчеркнуть преимущества такой декомпозиции. Рассмотрим, например, случай с 50 фермионы в ферромагнитный цепь, для простоты. Размер 12, скажем, для ${displaystyle chi _ {c}}$ было бы разумным выбором, сохраняя отброшенные собственные значения на ${displaystyle 0.0001}$% от общего количества, как показывают численные исследования,^[4] значение примерно ${displaystyle 2 ^ {14}}$ коэффициентов по сравнению с исходным ${displaystyle 2 ^ {50}}$ ед.

Даже если собственные значения Шмидта не имеют этого экспоненциального убывания, но показывают алгебраическое убывание, мы все равно можем использовать D описать наше состояние ${displaystyle psi}$. Количество коэффициентов для точного описания ${displaystyle psi}$ может быть значительно больше, но все же находится в пределах досягаемости возможного численного моделирования.

Обновление разложения

Теперь можно перейти к исследованию поведения разложения D при воздействии на один кубит ворота (OQG) и двухкубитные вентили (TQG), действующие на соседние кубиты. Вместо обновления всех ${displaystyle M ^ {N}}$ коэффициенты ${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$, ограничимся рядом операций, увеличивающих ${displaystyle chi}$ как многочлен низкой степени, тем самым экономя вычислительное время.

Однокубитовые вентили, действующие на кубит k

OQG влияют только на кубит, на который они действуют, обновление состояния ${displaystyle | {psi} angle}$ после унитарный оператор на кубите k не изменяет собственные значения или векторы Шмидта слева, следовательно, ${displaystyle Gamma ^ {[k-1]}}$'s, или справа, отсюда ${displaystyle Gamma ^ {[k + 1]}}$с. Единственный ${displaystyle Gamma}$будут обновлены ${displaystyle Gamma ^ {[k]}}$(требуется не более ${displaystyle {O} (M ^ {2} cdot chi ^ {2})}$ операции), как

${displaystyle Gamma _ {alpha _ {k-1} alpha _ {k}} ^ {'[k] i_ {k}} = sum _ {j} U_ {j_ {k}} ^ {i_ {k}} Gamma _ {alpha _ {k-1} alpha _ {k}} ^ {[k] j_ {k}}.}$

Двухкубитные вентили, действующие на кубиты к, к + 1

Изменения, необходимые для обновления ${displaystyle Gamma}$и ${displaystyle lambda}$s, следуя унитарная операция V на кубитах к, к + 1, касается только ${displaystyle Gamma ^ {[k]}}$, и ${displaystyle Gamma ^ {[k + 1]}}$.Они состоят из ряда ${displaystyle {O} ({Mcdot chi} ^ {3})}$ основные операции.

Следуя оригинальному подходу Видаля, ${displaystyle | {psi} angle}$ можно рассматривать как принадлежащие только четырем подсистемам:

${displaystyle {{H} = J {otimes} H_ {C} {otimes} H_ {D} {otimes} K}.,}$

В подпространство J натянута на собственные векторы приведенной матрицы плотности ${displaystyle ho ^ {J} = Tr_ {CDK} | langle langle psi |}$:

${displaystyle ho ^ {[1 .. {k-1}]} = sum _ {alpha} {(lambda _ {alpha} ^ {[k-1]})} ^ {2} | {Phi _ {alpha} ^ {[1 .. {k-1}]}} угол langle {Phi _ {alpha} ^ {[1 .. {k-1}]}} | = sum _ {alpha} {(lambda _ {alpha} ^ {[k-1]}) ^ {2}} | {альфа} угол langle {альфа} |.}$

Аналогично подпространство K натянута на собственные векторы приведенной матрицы плотности:

${displaystyle ho ^ {[{k + 2} .. {N}]} = sum _ {gamma} {(lambda _ {gamma} ^ {[k + 1]}) ^ {2}} | {Phi _ { гамма} ^ {[{k + 2} .. N]}} угол langle {Phi _ {gamma} ^ {[{k + 2} .. N]}} | = sum _ {gamma} {(lambda _ { гамма} ^ {[k + 1]}) ^ {2}} | {гамма} угол langle {гамма} |.}$

Подпространства ${displaystyle H_ {C}}$ и ${displaystyle H_ {D}}$ принадлежат кубитам k и k + 1. С помощью этого базиса и разложения D, ${displaystyle | {psi} angle}$ можно записать как:

${displaystyle | {psi} угол = пределы суммы _ {альфа, эта, гамма = 1} ^ {chi} ограничения суммы _ {i, j = 1} ^ {M} лямбда _ {альфа} ^ {[C-1] } Гамма _ {альфа эта} ^ {[C] i} лямбда _ {эта} ^ {[C]} Гамма _ {эта гамма} ^ {[D] j} лямбда _ {гамма} ^ {[D]} | {{alpha} ij {gamma}} угол}$

Используя те же рассуждения, что и для OQG, применение TQG V кубитам k, k +1 нужно только обновить

${displaystyle Gamma ^ {[C]}}$, ${displaystyle lambda}$ и ${displaystyle Gamma ^ {[D]}.}$

Мы можем написать ${displaystyle | {psi '} angle = V | {psi} angle}$ в качестве:

${displaystyle | {psi '} угол = пределы суммы _ {alpha, gamma = 1} ^ {chi} ограничения суммы _ {i, j = 1} ^ {M} lambda _ {alpha} Theta _ {alpha gamma} ^ { ij} lambda _ {gamma} | {{alpha} ijgamma} angle}$

где

${displaystyle Theta _ {альфа-гамма} ^ {ij} = пределы суммы _ {eta = 1} ^ {chi} ограничения суммы _ {m, n = 1} ^ {M} V_ {mn} ^ {ij} Gamma _ { альфа эта} ^ {[C] m} лямбда _ {эта} Гамма _ {эта гамма} ^ {[D] n}.}$

Чтобы узнать новое разложение, новый ${displaystyle lambda}$находится под залогом k и соответствующие им собственные векторы Шмидта должны быть вычислены и выражены через ${displaystyle {Gamma}}$разложения D. Приведенная матрица плотности ${displaystyle ho ^ {'[DK]}}$ следовательно является диагонализованный:

${displaystyle ho ^ {'[DK]} = Tr_ {JC} | {psi'} угол langle {psi '} | = sum _ {j, j', gamma, gamma '} ho _ {gamma gamma'} ^ { jj '} | {jgamma} угол langle {j'gamma'} |.}$

Квадратные корни из его собственных значений - это новые ${displaystyle lambda}$Выражение собственных векторов диагонализованной матрицы в базисе:${displaystyle {| {jgamma} angle}}$ то ${displaystyle Gamma ^ {[{D]}}}$также получаются:

${displaystyle | {Phi ^ {'[{DK}]}} угол = сумма _ {j, gamma} Gamma _ {eta gamma} ^ {' [{D}] j} lambda _ {gamma} | {jgamma} угол .}$

Из левых собственных векторов

${displaystyle lambda _ {eta} ^ {'} | {Phi _ {eta} ^ {' [{JC}]}} угол = langle {Phi _ {eta} ^ {'[{DK}]}} | {psi '} angle = sum _ {i, j, alpha, gamma} (Gamma _ {eta gamma} ^ {' [{D}] j}) ^ {*} Theta _ {alpha gamma} ^ {ij} (lambda _ {gamma}) ^ {2} lambda _ {alpha} | {{alpha} i} angle}$

после их выражения в основе ${displaystyle {| {ialpha} angle}}$, то ${displaystyle Gamma ^ {[{C}]}}$это:

${displaystyle | {Phi ^ {'[{JC}]}} angle = sum _ {i, alpha} Gamma _ {alpha eta} ^ {' [{C}] i} lambda _ {alpha} | {{alpha} i} угол.}$

Вычислительная стоимость

Размер самого большого тензоры в D имеет порядок ${displaystyle {O} (M {cdot} {chi} ^ {2})}$; при строительстве ${displaystyle Theta _ {alpha gamma} ^ {ij}}$ производится суммирование по ${displaystyle eta}$, ${displaystyle {it {m}}}$ и ${displaystyle {it {n}}}$ для каждого ${displaystyle gamma, alpha, {it {i, j}}}$, в сумме ${displaystyle {O} (M ^ {4} {cdot} {chi} ^ {3})}$ операции. То же самое и для формирования элементов ${displaystyle ho _ {gamma gamma '} ^ {jj'}}$, или для вычисления левых собственных векторов ${displaystyle lambda _ {eta} ^ {'} | {Phi _ {eta} ^ {' [{it {JC}}]}} угол}$, максимум ${displaystyle {it {O}} (M ^ {3} {cdot} {chi} ^ {3})}$соответственно ${displaystyle {it {O}} (M ^ {2} {cdot} {chi} ^ {3})}$ основные операции. В случае кубитов ${displaystyle {it {M}} = 2}$, следовательно, его роль не очень важна для порядка величины количества основных операций, но в случае, когда размерность на месте больше двух, она имеет довольно решающий вклад.

Численное моделирование

Численное моделирование нацелено на (возможно, зависящие от времени) гамильтонианы системы ${displaystyle {it {N}}}$ частицы, расположенные в линию, которые составлены из произвольных OQG и TQG:

${displaystyle H_ {N} = пределы суммы _ {l = 1} ^ {N} K_ {1} ^ {[l]} + ограничения суммы _ {l = 1} ^ {N} K_ {2} ^ {[l , l + 1]}.}$

Полезно разложить ${displaystyle H_ {N}}$ как сумма двух, возможно, не коммутирующих членов, ${displaystyle H_ {N} = F + G}$, где

${displaystyle Fequiv sum _ {even l} (K_ {1} ^ {l} + K_ {2} ^ {l, l + 1}) = sum _ {even l} F ^ {[l]},}$

${displaystyle Gequiv sum _ {odd l} (K_ {1} ^ {l} + K_ {2} ^ {l, l + 1}) = sum _ {odd l} G ^ {[l]}.}$

Любые взаимные условия заменяются: ${displaystyle [F ^ {[l]}, F ^ {[l ']}] = 0}$, ${displaystyle [G ^ {[l]}, G ^ {[l ']}] = 0}$Это сделано для того, чтобы расширение Suzuki-Trotter (ST)^[5] экспоненциального оператора, названного в честь Масуо Судзуки и Хейл Троттер.

Расширение Suzuki-Trotter

Разложение Сузуки-Троттера первого порядка (ST1) представляет собой общий способ записи экспоненциальных операторов:

${displaystyle e ^ {(A + B)} = lim _ {nightarrow infty} {Bigl (} e ^ {frac {A} {n}} e ^ {frac {B} {n}} {Bigr)} ^ { n}}$

или, что то же самое

${displaystyle e ^ {{delta} (A + B)} = lim _ {delta ightarrow 0} [e ^ {{delta} A} e ^ {{delta} B}] + {it {O}} (delta ^ {2}).}$

Поправочный член обращается в нуль в пределе ${displaystyle delta ightarrow 0}$

Для моделирования квантовой динамики полезно использовать операторы, которые унитарный, сохраняя норму (в отличие от разложений в степенной ряд), и здесь на помощь приходит разложение Троттера-Судзуки. В задачах квантовой динамики унитарность операторов в ST-разложении оказывается весьма практичной, поскольку ошибка имеет тенденцию концентрироваться в общем фаза, что позволяет нам точно вычислять математические ожидания и сохраняемые величины. Поскольку ST сохраняет объем фазового пространства, его также называют симплектическим интегратором.

Уловка ST2 заключается в написании унитарных операторов ${displaystyle e ^ {- iHt}}$ в качестве:

${displaystyle e ^ {- iH_ {N} T} = [e ^ {- iH_ {N} delta}] ^ {T / {delta}} = [e ^ {{frac {delta} {2}} F} e ^ {{delta} G} e ^ {{frac {delta} {2}} F}] ^ {n}}$

где ${displaystyle n = {frac {T} {delta}}}$. Число ${displaystyle {it {n}}}$ называется числом Троттера.

Моделирование временной эволюции

Операторы ${displaystyle e ^ {{frac {delta} {2}} F}}$, ${displaystyle e ^ {{delta} G}}$ легко выразить, как:

${displaystyle e ^ {{frac {delta} {2}} F} = prod _ {even l} e ^ {{frac {delta} {2}} F ^ {[l]}}}$

${displaystyle e ^ {{delta} G} = prod _ {odd l} e ^ {{delta} G ^ {[l]}}}$

поскольку любые два оператора ${displaystyle F ^ {[l]}}$,${displaystyle F ^ {[l ']}}$ (соответственно, ${displaystyle G ^ {[l]}}$,${displaystyle G ^ {[l ']}}$) добираться до ${displaystyle l {eq} l '}$ и ST-разложение первого порядка сохраняет только произведение экспонент, и в этом случае приближение становится точным.

Эволюция во времени может быть произведена согласно

${displaystyle | {{ilde {psi}} _ {t + delta}} angle = e ^ {- i {frac {delta} {2}} F} e ^ {{- idelta} G} e ^ {{frac { -idelta} {2}} F} | {{ilde {psi}} _ {t}} угол.}$

За каждый «временной шаг» ${displaystyle delta}$, ${displaystyle e ^ {- i {frac {delta} {2}} F ^ {[l]}}}$ применяются последовательно ко всем нечетным сайтам, то ${displaystyle e ^ {{- idelta} G ^ {[l]}}}$ к четным, и ${displaystyle e ^ {- i {frac {delta} {2}} F ^ {[l]}}}$ снова к нечетным; это в основном последовательность TQG, и выше было объяснено, как обновить декомпозицию ${displaystyle {it {D}}}$ при их применении.

Наша цель - сделать так, чтобы временная эволюция состояния ${displaystyle | {psi _ {0}} angle}$ на время T, в сторону состояния ${displaystyle | {psi _ {T}} angle}$ используя n-частичный гамильтониан ${displaystyle H_ {n}}$.

Построение разложения, если это вообще возможно, затруднительно. ${displaystyle {it {D}}}$ для произвольного n-частичного состояния, поскольку это означало бы, что нужно вычислить разложение Шмидта для каждой связи, расположить собственные значения Шмидта в порядке убывания и выбрать первое ${displaystyle chi _ {c}}$ и соответствующие собственные векторы Шмидта. Имейте в виду, что это означало бы диагонализацию довольно щедрых матриц уменьшенной плотности, что, в зависимости от системы, которую нужно моделировать, может оказаться задачей за пределами нашей досягаемости и терпения. Вместо этого можно попытаться сделать следующее:

я) построить разложение ${displaystyle {it {D}}}$ для простого начального состояния, скажем, некоторого состояния продукта ${displaystyle | {psi _ {P}} angle}$, для которого разложение несложно.

II) относиться ${displaystyle | {psi _ {0}} angle}$ в основное состояние ${displaystyle | {psi _ {gr}} angle}$ гамильтониана ${displaystyle {ilde {H}}}$ с помощью достаточно локального преобразования Q (например, такого, которое может быть выражено как произведение TQG) ${displaystyle | {psi _ {0}} angle = Q | {psi _ {gr}} angle}$

iii) совершить эволюцию в мнимом времени в направлении основного состояния гамильтониана ${displaystyle {ilde {H}}}$, ${displaystyle | {psi _ {gr}} angle}$ согласно с:

${displaystyle | {psi _ {gr}} angle = lim _ {au ightarrow infty} {frac {e ^ {- {ilde {H}} au} | {psi _ {P}} angle} {|| e ^ { - {ilde {H}} au} | {psi _ {P}} angle ||}},}$

или, в качестве альтернативы, смоделировать изоэнтропическую эволюцию, используя зависящий от времени гамильтониан, который интерполирует между гамильтонианом ${displaystyle H_ {1}}$, который имеет состояние продукта ${displaystyle | {psi _ {P}} angle}$ в качестве основного состояния, а гамильтониан ${displaystyle {ilde {H}}}$; эволюция должна происходить достаточно медленно, чтобы система всегда находилась в основном состоянии или, по крайней мере, очень близко к нему.

iv)наконец, сделайте временную эволюцию состояния ${displaystyle | {psi _ {0}} angle}$ в направлении ${displaystyle | {psi _ {T}} angle}$ используя гамильтониан ${displaystyle H_ {n}}$:

${displaystyle | {psi _ {T}} angle = e ^ {- iH_ {n} T} | {psi _ {0}} angle}$

Источники ошибок

Ошибки в моделировании являются результатом приближения Сузуки-Троттера и соответствующего усечения гильбертова пространства.

Ошибки из расширения Suzuki-Trotter

В случае приближения Троттера ${displaystyle {it {p ^ {th}}}}$ порядок, ошибка порядка ${displaystyle {delta} ^ {p + 1}}$. Принимая во внимание ${displaystyle n = {frac {T} {delta}}}$ шагов, ошибка по истечении времени T:

${displaystyle epsilon = {frac {T} {delta}} delta ^ {p + 1} = Tdelta ^ {p}}$

Неаппроксимированное состояние ${displaystyle | {{ilde {psi}} _ {Tr}} angle}$ является:

${displaystyle | {{ilde {psi}} _ {Tr}} angle = {sqrt {1- {epsilon} ^ {2}}} | {psi _ {Tr}} angle + {epsilon} | {psi _ {Tr } ^ {ot}} угол}$

где ${displaystyle | {psi _ {Tr}} angle}$ это состояние, сохраненное после расширения Троттера и ${displaystyle | {psi _ {Tr} ^ {ot}} angle}$ учитывает часть, которой пренебрегают при расширении.

Общая ошибка масштабируется со временем ${displaystyle {it {T}}}$ в качестве:

${displaystyle epsilon ({it {T}}) = 1- | langle {ilde {psi _ {Tr}}} | {psi _ {Tr}} угол | ^ {2} = 1-1 + epsilon ^ {2} = эпсилон ^ {2}}$

Ошибка Троттера независимый размера цепи.

Ошибки, связанные с усечением гильбертова пространства

Учитывая ошибки, возникающие из-за усечения гильбертова пространства, содержащегося в разложении D, они двоякие.

Во-первых, как мы видели выше, самые маленькие вклады в спектр Шмидта не учитываются, а состояние достоверно представлено до:

${displaystyle epsilon ({it {D}}) = ограничение на 1 продукт _ {n = 1} ^ {N-1} (1-epsilon _ {n})}$

где ${displaystyle epsilon _ {n} = предельные суммы _ {альфа = хи _ {с}} ^ {хи} (лямбда _ {альфа} ^ {[п]}) ^ {2}}$ представляет собой сумму всех отброшенных собственных значений приведенной матрицы плотности на связи ${displaystyle {it {n}}}$.Штат ${displaystyle | {psi} angle}$ есть, по данной облигации ${displaystyle {it {n}}}$, описываемый разложением Шмидта:

${displaystyle | {psi} angle = {sqrt {1-epsilon _ {n}}} | {psi _ {D}} angle + {sqrt {epsilon _ {n}}} | {psi _ {D} ^ {ot }}угол }$

где

${displaystyle | {psi _ {D}} angle = {frac {1} {sqrt {1-epsilon _ {n}}}} ограничения суммы _ {{{alpha} _ {n}} = 1} ^ {{chi } _ {c}} лямбда _ {{alpha} _ {n}} ^ {[n]} | {Phi _ {alpha _ {n}} ^ {[1..n]}} угол | {Phi _ { альфа _ {n}} ^ {[n + 1..N]}} угол}$

состояние сохраняется после усечения и

${displaystyle | {psi _ {D} ^ {ot}} angle = {frac {1} {sqrt {epsilon _ {n}}}} ограничения суммы _ {{{alpha} _ {n}} = {chi} _ {c}} ^ {chi} лямбда _ {{alpha} _ {n}} ^ {[n]} | {Phi _ {alpha _ {n}} ^ {[1..n]}} угол | {Phi _ {альфа _ {n}} ^ {[n + 1..N]}} угол}$

- это состояние, образованное собственными функциями, соответствующими наименьшим несущественным коэффициентам Шмидта, которыми пренебрегаем. ${displaystyle langle psi _ {D} ^ {ot} | psi _ {D} angle = 0}$ потому что они натянуты на векторы, соответствующие ортогональным пространствам. Используя тот же аргумент, что и для расширения Trotter, ошибка после усечения:

${displaystyle epsilon _ {n} = 1- | langle {psi} | psi _ {D} угол | ^ {2} = пределы суммы _ {alpha = chi _ {c}} ^ {chi} (lambda _ {alpha} ^ {[n]}) ^ {2}}$

После перехода к следующей облигации состояние аналогично:

${displaystyle | {psi _ {D}} угол = {sqrt {1-epsilon _ {n + 1}}} | {{{psi} '} _ {D}} угол + {sqrt {epsilon _ {n + 1 }}} | {{psi '} _ {D} ^ {ot}} angle}$

Ошибка после второго усечения:

${displaystyle epsilon = 1- | langle {psi} | psi '_ {D} angle | ^ {2} = 1- (1-epsilon _ {n + 1}) | langle {psi} | psi _ {D} угол | ^ {2} = 1- (1-эпсилон _ {n + 1}) (1-эпсилон _ {n})}$

и так далее, когда мы переходим от облигации к облигации.

Второй источник ошибок заключен в разложение ${displaystyle {it {D}}}$ более тонкий и требует небольшого расчета.

Как мы вычислили ранее, константа нормализации после усечения на связи ${displaystyle {it {l}}}$ ${displaystyle ([1..l]: [l + 1..N])}$ является:

${displaystyle R = {ограничения суммы _ {{alpha _ {l}} = 1} ^ {{chi} _ {c}} {| lambda _ {{alpha} _ {l}} ^ {[l]} |} ^ {2}} = {1-эпсилон _ {l}}}$

Теперь давайте перейдем к облигации ${displaystyle {it {l}} - 1}$ и вычислим норму правых векторов Шмидта ${displaystyle || {Phi _ {alpha _ {l-1}} ^ {[l-1..N]}} ||}$; с учетом полной размерности Шмидта норма составляет:

${displaystyle n_ {1} = 1 = ограничения суммы _ {alpha _ {l} = 1} ^ {chi _ {c}} (c_ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} (лямбда _ {альфа _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2} + ограничения суммы _ {альфа _ {l} = chi _ {c}} ^ {chi} (c_ {alpha _ {l- 1} альфа _ {l}}) ^ {2} (лямбда _ {альфа _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2} = S_ {1} + S_ {2}}$,

где ${displaystyle (c_ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} = ограничения суммы _ {i_ {l} = 1} ^ {d} (Гамма _ {альфа _ {l-1} альфа _ {l}} ^ {[l] i_ {l}}) ^ {*} Гамма _ {альфа _ {l-1} альфа _ {l}} ^ {[l] i_ {l}}}$.

С учетом усеченного пространства норма:

${displaystyle n_ {2} = ограничения суммы _ {alpha _ {l} = 1} ^ {chi _ {c}} (c_ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} cdot ( {lambda '} _ {alpha _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2} = ограничения суммы _ {alpha _ {l} = 1} ^ {chi _ {c}} (c_ {alpha _ { l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} {frac {(lambda _ {alpha _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2}} {R}} = {frac {S_ { 1}} {R}}}$

Принимая разницу, ${displaystyle epsilon = n_ {2} -n_ {1} = n_ {2} -1}$, мы получаем:

${displaystyle epsilon = {frac {S_ {1}} {R}} - 1leq {frac {1-R} {R}} = {frac {epsilon _ {l}} {1-epsilon _ {l}}} { ightarrow} 0 как {epsilon _ {l} {ightarrow} {0}}}$

Следовательно, при построении приведенной матрицы плотности след матрицы умножается на коэффициент:

${displaystyle | langle {psi _ {D}} | psi _ {D} angle | ^ {2} = 1- {frac {epsilon _ {l}} {1-epsilon _ {l}}} = {frac {1 -2 эпсилон _ {l}} {1-эпсилон _ {l}}}}$

Полная ошибка усечения

Общая ошибка усечения с учетом обоих источников ограничена сверху:

${displaystyle epsilon ({D}) = ограничения на 1 прод. _ {n = 1} ^ {N-1} (1-epsilon _ {n}) лимиты на прод. _ {n = 1} ^ {N-1} {frac {1-2 эпсилон _ {n}} {1-эпсилон _ {n}}} = ограничение на 1 продвижение _ {n = 1} ^ {N-1} (1-2 эпсилон _ {n})}$

При использовании расширения Троттера мы переходим не от облигации к облигации, а между облигациями с одинаковой четностью; кроме того, для ST2 мы проводим развертку четных единиц и двух - нечетных. Но, тем не менее, приведенный выше расчет остается в силе. Ошибка оценивается путем последовательного умножения на нормировочную константу, каждый раз, когда мы строим уменьшенную матрицу плотности и выбираем ее соответствующие собственные значения.

«Адаптивное» измерение Шмидта

Одна вещь, которая может сэкономить много времени вычислений без потери точности, - это использовать другое измерение Шмидта для каждой связи вместо фиксированного для всех облигаций, сохраняя, как обычно, только необходимое количество соответствующих коэффициентов. Например, если взять первую связь, в случае кубитов размерность Шмидта всего два. Следовательно, при первом связывании вместо бесполезной диагонализации, скажем, матриц 10 на 10 или 20 на 20, мы можем просто ограничиться обычными матрицами 2 на 2, что в целом ускорит алгоритм. Вместо этого мы можем установить порог для собственных значений SD, оставив только те, которые выше порога.

TEBD также предлагает возможность прямого распараллеливания за счет факторизации экспоненциального оператора временной эволюции с использованием разложения Сузуки-Троттера. А параллельный TEBD имеет ту же математику, что и его непараллельный аналог, единственная разница заключается в числовой реализации.

использованная литература