Инвариант Ямабе - Yamabe invariant

В математика, в области дифференциальная геометрия, то Инвариант Ямабе, также называемый сигма константа, является инвариантом действительного числа, связанным с гладкое многообразие что сохраняется под диффеоморфизмы. Впервые он был записан независимо О. Кобаяши и Р. Шен и берет свое название от Х. Ямабе.

Определение

Позволять ${displaystyle M}$ быть компактный гладкое многообразие (без границы) размерности ${displaystyle ngeq 2}$. Нормализованный Функционал Эйнштейна – Гильберта ${displaystyle {mathcal {E}}}$ присваивает каждому Риманова метрика ${displaystyle g}$ на ${displaystyle M}$ действительное число следующим образом:

${displaystyle {mathcal {E}} (g) = {frac {int _ {M} R_ {g}, dV_ {g}} {left (int _ {M}, dV_ {g} ight) ^ {frac {n -2} {n}}}},}$

куда ${displaystyle R_ {g}}$ это скалярная кривизна из ${displaystyle g}$ и ${displaystyle dV_ {g}}$ это объемная плотность связанный с метрикой ${displaystyle g}$. Показатель степени в знаменателе выбирается таким образом, чтобы функционал был масштабно-инвариантным: для каждой положительной действительной постоянной ${displaystyle c}$, это удовлетворяет ${displaystyle {mathcal {E}} (cg) = {mathcal {E}} (g)}$. Мы можем думать о ${displaystyle {mathcal {E}} (g)}$ как измерение средней скалярной кривизны ${displaystyle g}$ над ${displaystyle M}$. Ямабе предположил, что каждый конформный класс метрики содержит метрику постоянной скалярной кривизны (так называемая Проблема Ямабе ); это было доказано Ямабе, Trudinger, Обен, и Шен, что минимальное значение ${displaystyle {mathcal {E}} (g)}$ достигается в каждом конформном классе метрик, и, в частности, этот минимум достигается метрикой постоянной скалярной кривизны.

Мы определяем

${displaystyle Y (g) = inf _ {f} {mathcal {E}} (e ^ {2f} g),}$

где точная нижняя грань берется по гладким вещественным функциям ${displaystyle f}$ на ${displaystyle M}$. Эта нижняя грань конечна (не ${displaystyle -infty}$): Неравенство Гёльдера подразумевает ${displaystyle Y (g) geq -left (extstyle int _ {M} | R_ {g} | ^ {n / 2}, dV_ {g} ight) ^ {2 / n}}$. Номер ${displaystyle Y (g)}$ иногда называют конформной энергией Ямабе ${displaystyle g}$ (и постоянна на конформных классах).

Аргумент сравнения, приведенный Обеном, показывает, что для любой метрики ${displaystyle g}$, ${displaystyle Y (g)}$ ограничен сверху ${displaystyle {mathcal {E}} (g_ {0})}$, куда${displaystyle g_ {0}}$ стандартная метрика на ${displaystyle n}$-сфера ${displaystyle S ^ {n}}$. Отсюда следует, что если мы определим

${displaystyle sigma (M) = sup _ {g} Y (g),}$

где супремум берется по всем метрикам на ${displaystyle M}$, тогда ${displaystyle sigma (M) leq {mathcal {E}} (g_ {0})}$ (и, в частности, конечен). Настоящий номер ${displaystyle sigma (M)}$ называется инвариантом Ямабе ${displaystyle M}$.

Инвариант Ямабе в двух измерениях

В случае, если ${displaystyle n = 2}$, (так что M это закрытая поверхность ) функционал Эйнштейна – Гильберта имеет вид

${displaystyle {mathcal {E}} (g) = int _ {M} R_ {g}, dV_ {g} = int _ {M} 2K_ {g}, dV_ {g},}$

куда ${displaystyle K_ {g}}$ это Кривизна Гаусса из грамм. Однако по Теорема Гаусса – Бонне, интеграл кривизны Гаусса определяется выражением ${displaystyle 2pi chi (M)}$, куда ${displaystyle chi (M)}$ это Эйлерова характеристика из M. В частности, это число не зависит от выбора метрики. Поэтому для поверхностей заключаем, что

${displaystyle sigma (M) = 4pi chi (M).}$

Например, 2-сфера имеет инвариант Ямабе, равный ${displaystyle 8pi}$, а 2-тор имеет инвариант Ямабе, равный нулю.

Примеры

В конце 1990-х годов инвариант Ямабе был вычислен для больших классов 4-многообразий с помощью Клод ЛеБрун и его сотрудники. В частности, было показано, что большинство компактных комплексных поверхностей имеют отрицательный, точно вычислимый инвариант Ямабе и что любая метрика Келера – Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны реализует инвариант Ямабе в размерности 4. Также было показано, что инвариант Ямабе ${displaystyle CP ^ {2}}$ реализуется Метрика Фубини – Этюд, и поэтому меньше, чем у 4-сферы. Большинство из этих аргументов включают Теория Зайберга – Виттена, и поэтому характерны для измерения 4.

Важный результат Пита утверждает, что если ${displaystyle M}$ односвязен и имеет размерность ${displaystyle ngeq 5}$, тогда ${displaystyle sigma (M) geq 0}$. В свете решения Перельмана Гипотеза Пуанкаре, следует, что односвязная ${displaystyle n}$-многообразие может иметь отрицательный инвариант Ямабе, только если ${displaystyle n = 4}$. С другой стороны, как уже указывалось, односвязные ${displaystyle 4}$-многообразия действительно часто имеют отрицательные инварианты Ямабе.

Ниже представлена ​​таблица некоторых гладких многообразий размерности три с известным инвариантом Ямабе. В размерности 3 число ${displaystyle {mathcal {E}} (g_ {0})}$ равно ${displaystyle 6 (2pi ^ {2}) ^ {2/3}}$ и часто обозначается ${displaystyle sigma _ {1}}$.

${displaystyle M}$	${displaystyle sigma (M)}$	Примечания
${displaystyle S ^ {3}}$	${displaystyle sigma _ {1}}$	то 3-сфера
${displaystyle S ^ {2} imes S ^ {1}}$	${displaystyle sigma _ {1}}$	тривиальное расслоение на 2 сферы над ${displaystyle S ^ {1}}$[1]
${displaystyle S ^ {2} {stackrel {sim} {imes}} S ^ {1}}$	${displaystyle sigma _ {1}}$	единственное неориентируемое расслоение на 2 сферы над ${displaystyle S ^ {1}}$
${displaystyle mathbb {R} mathbb {P} ^ {3}}$	${displaystyle sigma _ {1} / 2 ^ {2/3}}$	вычислено Брэем и Невесом
${displaystyle mathbb {R} mathbb {P} ^ {2} imes S ^ {1}}$	${displaystyle sigma _ {1} / 2 ^ {2/3}}$	вычислено Бреем и Невесом
${displaystyle T ^ {3}}$	${displaystyle 0}$	то 3-тор

Согласно аргументу Андерсона, результаты Перельмана о Риччи поток следует, что метрика постоянной кривизны на любом гиперболическом трехмерном многообразии реализует инвариант Ямабе. Это дает нам бесконечно много примеров 3-многообразий, для которых инвариант отрицателен и точно вычислим.

Топологическое значение

Знак инварианта Ямабе ${displaystyle M}$ содержит важную топологическую информацию. Например, ${displaystyle sigma (M)}$ положительно, если и только если ${displaystyle M}$ допускает метрику положительной скалярной кривизны.^[2] Значение этого факта состоит в том, что о топологии многообразий с метриками положительной скалярной кривизны известно много.

Смотрите также

• Поток Ямабе
• Проблема Ямабе
• Теорема Обаты

Примечания

Рекомендации

• M.T. Андерсон, "Канонические метрики на 3-многообразиях и 4-многообразиях", Asian J. Math. 10 127–163 (2006).
• К. Акутагава, М. Исида и К. ЛеБрун, "Инвариант Перельмана, поток Риччи и инварианты Ямабе гладких многообразий", Arch. Математика. 88, 71–76 (2007).
• Х. Брей, А. Невес, "Классификация простых трехмерных многообразий с инвариантом Ямабе больше, чем ${displaystyle mathbb {RP} ^ {3}}$", Анна. математики. 159, 407–424 (2004).
• М.Дж. Гурски и К. ЛеБрун, "Инварианты Ямабе и ${displaystyle Spin ^ {c}}$ конструкции », Геом. Funct. Анальный. 8965–977 (1998).
• О. Кобаяши, "Скалярная кривизна метрики единичного объема", Математика. Анна. 279, 253–265, 1987.
• К. ЛеБрун, "Четырехмерные многообразия без метрик Эйнштейна", Математика. Res. Lett. 3 133–147 (1996).
• К. ЛеБрун, «Измерение Кодаира и проблема Ямабе», Comm. Анальный. Геом. 7 133–156 (1999).
• Дж. Питин, "Инвариант Ямабе односвязных многообразий", J. Reine Angew. Математика. 523 225–231 (2000).
• Р. Шон, "Вариационная теория функционала полной скалярной кривизны для римановых метрик и смежные вопросы", Темы вариационного исчисления, Lect. Notes Math. 1365, Springer, Berlin, 120–154, 1989.