Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили - Eisenbud–Levine–Khimshiashvili signature formula

В математике и особенно дифференциальная топология и теория сингулярности, то Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили дает способ вычисления Пуанкаре – Хопфа показатель из настоящий, аналитический векторное поле на алгебраически изолированной особенности.^[1][2] Он назван в честь Дэвид Эйзенбуд, Гарольд И. Левин, и Георгий Химшиашвили. Интуитивно понятно, что индекс векторного поля около нуля - это количество раз, когда векторное поле оборачивается вокруг сферы. Поскольку аналитические векторные поля имеют богатую алгебраическую структуру, методы коммутативная алгебра могут быть использованы для вычисления их индекса. Формула сигнатуры выражает индекс аналитического векторного поля через подпись определенного квадратичная форма.

Номенклатура

Рассмотрим п-мерное пространство р^п. Предположим, что р^п есть некоторые исправленные система координат, и написать Икс на точку в р^п, где Икс = (Икс₁, …, Икс_п).

Позволять Икс быть векторное поле на р^п. Для 1 ≤ k ≤ п существуют функции ƒ_k : р^п → р так что можно выразить Икс так как

${ displaystyle X = f_ {1} ({ mathbf {x}}) , { frac { partial} { partial x_ {1}}} + cdots + f_ {n} ({ mathbf {x }}) , { frac { partial} { partial x_ {n}}}.}$

Чтобы сказать это Икс является аналитическое векторное поле означает, что каждая из функций ƒ_k : р^п → р является аналитическая функция. Один говорит, что Икс является единственное число в какой-то момент п в р^п (или это п это особая точка из Икс) если Икс(п) = 0, т.е. Икс исчезает в п. С точки зрения функций ƒ_k : р^п → р это означает, что ƒ_k(п) = 0 для всех 1 ≤ k ≤ п. Особая точка п из Икс называется изолированные (или это п является изолированная особенность из Икс) если Икс(п) = 0 и существует открытый район U ⊆ р^п, содержащий п, так что Икс(q) ≠ 0 для всех q в U, отличный от п. Изолированная особенность Икс называется алгебраически изолированным, если при рассмотрении над сложный домен, он остается изолированным.^[3][4]

Поскольку индекс Пуанкаре – Хопфа в какой-то момент является чисто локальным инвариантом (ср. Теорема Пуанкаре – Хопфа ), можно ограничиться изучением микробы. Предположим, что каждое из ƒ_k сверху функция микробов, т.е. ƒ_k : (р^п,0) → (р,0). В свою очередь, можно позвонить Икс а вектор поля росток.

строительство

Позволять А_п,0 обозначить кольцо ростков аналитических функций (р^п,0) → (р,0). Предположим, что Икс является ростком векторного поля вида

${ displaystyle X = f_ {1} ({ mathbf {x}}) , { frac { partial} { partial x_ {1}}} + cdots + f_ {n} ({ mathbf {x }}) , { frac { partial} { partial x_ {n}}}}$

с алгебраически изолированной особенностью в 0. Где, как упоминалось выше, каждая из_k являются функциональными микробами (р^п,0) → (р,0). Обозначим через я_Икс то идеальный порожденный_k, т.е. я_Икс = (ƒ₁,…, Ƒ_п). Затем рассматривается локальная алгебра, B_Икс, предоставленный частное

${ Displaystyle B_ {X}: = A_ {n, 0} / I_ {X} ,.}$

Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили утверждает, что индекс векторного поля Икс в 0 задается подпись некоторого невырожденного билинейная форма (будет определено ниже) на локальной алгебре B_Икс.^[2][4][5]

Размер ${ displaystyle B_ {X}}$ конечно тогда и только тогда, когда комплексирование из Икс имеет изолированную особенность в 0 в C^п; т.е. Икс имеет алгебраически изолированную особенность в 0 в р^п.^[2] В таком случае, B_Икс будет конечномерным, действительная алгебра.

Определение билинейной формы

Используя аналитические компоненты Икс, один определяет другой аналитический росток F: (р^п,0) → (р^п,0) данный

${ Displaystyle F ({ mathbf {x}}): = (f_ {1} ({ mathbf {x}}), ldots, f_ {n} ({ mathbf {x}})),}$

для всех Икс ∈ р^п. Позволять J_F ∈ А_п,0 обозначить детерминант из Матрица якобиана из F с уважением к основа {∂/∂Икс₁, …, ∂/∂Икс_п}. Наконец, пусть [J_F] ∈ B_Икс обозначить класс эквивалентности из J_F, по модулю я_Икс. Использование ∗ для обозначения умножения в B_Икс можно определить невырожденную билинейную форму β следующим образом:^[2][4]

${ displaystyle beta: B_ {X} times B_ {X} { stackrel {*} { longrightarrow}} B_ {X} { stackrel { ell} { longrightarrow}} mathbb {R}; beta (g, h) = ell (g * h),}$

где ${ Displaystyle scriptstyle ell}$ является Любые линейная функция такая, что

${ Displaystyle ell left ( left [J_ {F} right] right)> 0.}$

Как уже упоминалось: подпись β - это в точности индекс Икс при 0.

пример

Рассмотрим случай п = 2 векторного поля на плоскости. Рассмотрим случай, когда Икс дан кем-то

${ displaystyle X: = (x ^ {3} -3xy ^ {2}) , { frac { partial} { partial x}} + (3x ^ {2} yy ^ {3}) , { frac { partial} { partial y}}.}$

Ясно Икс имеет алгебраически изолированную особенность в 0, поскольку Икс = 0 если и только если Икс = у = 0. Идеал я_Икс дан кем-то (Икс³ − 3ху², 3Икс²у − у³), и

${ displaystyle B_ {X} = A_ {2,0} / (x ^ {3} -3xy ^ {2}, 3x ^ {2} yy ^ {3}) cong mathbb {R} langle 1, x, y, x ^ {2}, xy, y ^ {2}, xy ^ {2}, y ^ {3}, y ^ {4} rangle.}$

Первым шагом для нахождения невырожденной билинейной формы β является вычисление таблицы умножения B_Икс; уменьшение каждой записи по модулю я_Икс. Откуда

∗	1	Икс	у	Икс2	ху	у2	ху2	у3	у4
1	1	Икс	у	Икс2	ху	у2	ху2	у3	у4
Икс	Икс	Икс2	ху	3ху3	у3/3	ху2	у4/3	0	0
у	у	ху	у2	у3/3	ху2	у3	0	у4	0
Икс2	Икс2	3ху2	у3/3	у4	0	у4/3	0	0	0
ху	ху	у3/3	ху2	0	у4/3	0	0	0	0
у2	у2	ху2	у3	у4/3	0	у4	0	0	0
ху2	ху2	у4/3	0	0	0	0	0	0	0
у3	у3	0	у4	0	0	0	0	0	0
у4	у4	0	0	0	0	0	0	0	0

Прямой расчет показывает, что J_F = 9(Икс⁴ + 2Икс²у² + у⁴), и так [J_F] = 24у⁴. Далее присваиваются значения для ${ displaystyle scriptstyle ell}$. Можно взять

${ Displaystyle ell (1) = ell (x) = ell (y) = ell (x ^ {2}) = ell (xy) = ell (y ^ {2}) = ell ( xy ^ {2}) = ell (y ^ {3}) = 0, { text {and}} ell (y ^ {4}) = 3.}$

Этот выбор был сделан так, что ${ Displaystyle scriptstyle ell left ( left [J_ {F} right] right) ,> , 0}$ как и требовалось по гипотезе, и чтобы в вычислениях участвовали целые числа, а не дроби. Применение этого к таблице умножения дает матричное представление билинейной формы β относительно данного базиса:

${ Displaystyle влево [{ начинают {массив} {ccccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 конец {массив}} вправо ]}$

В собственные значения этой матрицы −3, −3, −1, 1, 1, 2, 3, 3 и 4 Имеется 3 отрицательных собственных значения (#N = 3) и шесть положительных собственных значений (#п = 6); это означает, что сигнатура β является #п − #N = 6 − 3 = +3. Это следует из того Икс имеет индекс Пуанкаре – Хопфа +3 в начале координат.

Топологическая проверка

С этим конкретным выбором Икс можно проверить, что индекс Пуанкаре – Хопфа равен +3, прямым применением определения индекса Пуанкаре – Хопфа.^[6] Это случается очень редко, и поэтому был выбран пример.. Если взять полярные координаты на самолете, т.е. Икс = р соз (θ) и у = р грех (θ) тогда Икс³ − 3ху² = р³соз (3θ) и 3Икс²у − у³ = р³грех (3θ). Ограничить Икс в круг, центр 0, радиус 0 <ε ≪ 1, обозначаемый C_{0, ε}; и рассмотрим карту г : C_{0, ε} → C_0,1 данный

${ Displaystyle G двоеточие X longmapsto { frac {X} {|| X ||}}.}$

Индекс Пуанкаре – Хопфа Икс по определению топологическая степень карты г.^[6] Ограничение Икс в круг C_{0, ε}, при сколь угодно малом ε дает

${ Displaystyle Г ( тета) = ( соз (3 тета), грех (3 тета)), ,}$

это означает, что когда θ делает один оборот вокруг круга C_{0, ε} против часовой стрелки; Изображение г(θ) совершает три полных оборота против часовой стрелки вокруг единичной окружности C_0,1. Это означает, что топологическая степень г равен +3 и что индекс Пуанкаре – Хопфа Икс при 0 - +3.^[6]

использованная литература