Неравенство Гренвалла - Википедия - Grönwalls inequality

В математика, Неравенство Гренвалла (также называемый Лемма Грёнвалла или Неравенство Грёнволла – Беллмана) позволяет ограничить функцию, которая, как известно, удовлетворяет определенному дифференциал или же интегральное неравенство решением соответствующего дифференциала или интегральное уравнение. Лемма бывает двух видов: дифференциальной и интегральной. Для последнего существует несколько вариантов.

Неравенство Грёнволла - важный инструмент для получения различных оценок в теории обычный и стохастические дифференциальные уравнения. В частности, он обеспечивает теорема сравнения что можно использовать, чтобы доказать уникальность решения проблема начального значения; увидеть Теорема Пикара – Линделёфа.

Он назван в честь Томас Хакон Грёнвалл (1877–1932). Grönwall - это шведское написание его имени, но он написал свое имя как Gronwall в своих научных публикациях после эмиграции в Соединенные Штаты.

Дифференциальная форма была доказана Грёнваллом в 1919 году.[1]Интегральная форма доказана Ричард Беллман в 1943 г.[2]

Нелинейное обобщение неравенства Гренуолла – Беллмана известно как Неравенство Бихари – ЛаСалля. Другие варианты и обобщения можно найти у Pachpatte, B.G. (1998).[3]

Дифференциальная форма

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять β и ты иметь реальную ценность непрерывные функции определено на я. Еслиты является дифференцируемый в интерьер яо из я (интервал я без конечных точек а и возможно б) и удовлетворяет дифференциальному неравенству

тогда ты ограничена решением соответствующего дифференциала уравнение v ′(т) = β(т) v(т):

для всех тя.

Замечание: Предположений о знаках функций нет. β иты.

Доказательство

Определите функцию

Обратите внимание, что v удовлетворяет

с v(а) = 1 и v(т) > 0 для всех тя. Посредством правило частного

Таким образом, производная функции неположительна и функция ограничена сверху своим значением в начальной точке интервала :

что является неравенством Гренвалла.

Интегральная форма для непрерывных функций

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять α, β и ты быть действительными функциями, определенными ная. Предположить, что β и ты непрерывны и отрицательная часть α интегрируема на любом замкнутом и ограниченном подынтервале вя.

  • а) Еслиβ неотрицательно и если ты удовлетворяет интегральному неравенству
тогда
  • (б) Если, кроме того, функция α не убывает, то

Примечания:

  • Предположений о знаках функций нет. α иты.
  • По сравнению с дифференциальной формой дифференцируемость ты для интегральной формы не требуется.
  • Для версии неравенства Гренвалла, не требующей преемственности β и тыверсию смотрите в следующем разделе.

Доказательство

(а) Определить

С использованием правило продукта, то Правило цепи, производная от экспоненциальная функция и основная теорема исчисления, для производной получаем

где мы использовали предполагаемое интегральное неравенство для верхней оценки. С β и экспонента неотрицательны, это дает оценку сверху для производнойv. С v(а) = 0, интегрирование этого неравенства из а к т дает

Используя определение v(т) для первого шага, а затем это неравенство и функциональное уравнение экспоненты, получаем

Подстановка этого результата в предполагаемое интегральное неравенство дает неравенство Гренвалла.

(б) Если функция α не убывает, то часть (а), факт α(s) ≤ α(т), а из основной теоремы исчисления следует, что

Интегральная форма с локально конечными мерами

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять α и ты быть измеримые функции определено ная и разреши μ - непрерывная неотрицательная мера на Борелевская σ-алгебра из я удовлетворение μ([а, т]) < ∞ для всех тя (это, конечно, удовлетворяется, когда μ это локально конечная мера ). Предположить, что ты интегрируема относительно μ в том смысле, что

и это ты удовлетворяет интегральному неравенству

Если, кроме того,

  • функция α неотрицательно или
  • функция тμ([а, т]) непрерывно для тя и функция α интегрируема относительно μ в том смысле, что

тогда ты удовлетворяет неравенству Гренвалла

для всех тя, куда яс, т обозначает открытый интервал (s, т).

Замечания

  • Предположения о непрерывности функций отсутствуют. α и ты.
  • Интеграл в неравенстве Грёнвалла может давать значение бесконечности.
  • Если α - нулевая функция и ты неотрицательно, то из неравенства Грёнвалла следует, что ты - нулевая функция.
  • Интегрируемость ты относительно μ имеет важное значение для результата. Для контрпример, позволять μ обозначать Мера Лебега на единичный интервал [0, 1], определять ты(0) = 0 и ты(т) = 1/т за т(0, 1], и разреши α - нулевая функция.
  • Версия, приведенная в учебнике С. Этье и Т. Курцем.[4] делает более сильные предположения, что α неотрицательная константа и ты ограничена на ограниченных интервалах, но не предполагает, что мера μ локально конечно. По сравнению с приведенным ниже, их доказательство не обсуждает поведение остатка рп(т).

Особые случаи

  • Если мера μ имеет плотность β относительно меры Лебега, то неравенство Гренуолла можно переписать в виде
  • Если функция α неотрицательна, а плотность β из μ ограничено константой c, тогда
  • Если, кроме того, неотрицательная функция α не убывает, то

Схема доказательства

Доказательство разбито на три этапа. Идея состоит в том, чтобы подставить предполагаемое интегральное неравенство в себя п раз. Это делается в п. 1 с использованием математической индукции. В утверждении 2 мы переписываем меру симплекса в удобном виде, используя перестановочную инвариантность мер произведения. На третьем шаге мы переходим к пределу п до бесконечности, чтобы вывести искомый вариант неравенства Гренвалла.

Подробное доказательство

Утверждение 1. Повторение неравенства

Для каждого натурального числа п включая ноль,

с остатком

куда

является п-размерный симплекс и

Доказательство утверждения 1

Мы используем математическая индукция. За п = 0 это всего лишь предполагаемое интегральное неравенство, поскольку пустая сумма определяется как ноль.

Шаг индукции от п к п + 1: Подставляя предполагаемое интегральное неравенство для функции ты в остаток дает

с

С использованием Теорема Фубини – Тонелли чтобы поменять местами два интеграла, получим

Следовательно Утверждение 1 доказано для п + 1.

Утверждение 2: Измерение симплекса

Для каждого натурального числа п включая ноль и все s < т в я

с равенством в случае тμ([а, т]) непрерывно для тя.

Доказательство утверждения 2

За п = 0, утверждение верно по нашим определениям. Поэтому рассмотрим п ≥ 1 В следующих.

Позволять Sп обозначим множество всех перестановки индексов в {1, 2, . . . , п}. Для каждой перестановки σSп определять

Эти множества не пересекаются для разных перестановок и

Следовательно,

Поскольку все они имеют одинаковую меру относительно п-складчатое произведение μ, и поскольку есть п! перестановки вSп, следует заявленное неравенство.

Предположим теперь, что тμ([а, т]) непрерывно для тя. Тогда для разных индексов я, j ∈ {1, 2, . . . , п}, набор

содержится в гиперплоскость, следовательно, путем применения Теорема Фубини его мера по отношению к п-складчатое произведение μ равно нулю. С

заявленное равенство следует.

Доказательство неравенства Гренвалла

Для каждого натурального числа п, Утверждение 2 подразумевает на оставшуюся часть Утверждение 1 который

По предположению имеем μ(яа,т) < ∞. Следовательно, предположение об интегрируемости ты подразумевает, что

Утверждение 2 и представление серии экспоненты влечет оценку

для всех s < т вя. Если функцияα неотрицательно, то достаточно вставить эти результаты в Утверждение 1 для вывода указанного выше варианта неравенства Грёнволла для функцииты.

В случае тμ([а, т]) непрерывно для тя, Утверждение 2 дает

и интегрируемость функции α разрешает использовать теорема о доминируемой сходимости для вывода неравенства Гренвалла.

Рекомендации

  1. ^ Гронволл, Томас Х. (1919), «Замечание о производных по параметру решений системы дифференциальных уравнений», Анна. математики., 20 (2): 292–296, JFM  47.0399.02, JSTOR  1967124, МИСТЕР  1502565
  2. ^ Беллман, Ричард (1943), «Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений», Duke Math. Дж., 10 (4): 643–647, Дои:10.1215 / s0012-7094-43-01059-2, МИСТЕР  0009408, Zbl  0061.18502
  3. ^ Пачпатт, Б.Г. (1998). Неравенства для дифференциальных и интегральных уравнений. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  9780080534640.
  4. ^ Ethier, Steward N .; Курц, Томас Г. (1986), Марковские процессы, характеризация и сходимость, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, п. 498, г. ISBN  0-471-08186-8, МИСТЕР  0838085, Zbl  0592.60049

Смотрите также

  • Логарифмическая норма для версии леммы Гронуолла, которая дает верхнюю и нижнюю оценки нормы матрицы перехода состояний.

В статье использован материал леммы Гронуолла о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.