Неравенство Гренвалла - Википедия - Grönwalls inequality

В математика, Неравенство Гренвалла (также называемый Лемма Грёнвалла или Неравенство Грёнволла – Беллмана) позволяет ограничить функцию, которая, как известно, удовлетворяет определенному дифференциал или же интегральное неравенство решением соответствующего дифференциала или интегральное уравнение. Лемма бывает двух видов: дифференциальной и интегральной. Для последнего существует несколько вариантов.

Неравенство Грёнволла - важный инструмент для получения различных оценок в теории обычный и стохастические дифференциальные уравнения. В частности, он обеспечивает теорема сравнения что можно использовать, чтобы доказать уникальность решения проблема начального значения; увидеть Теорема Пикара – Линделёфа.

Он назван в честь Томас Хакон Грёнвалл (1877–1932). Grönwall - это шведское написание его имени, но он написал свое имя как Gronwall в своих научных публикациях после эмиграции в Соединенные Штаты.

Дифференциальная форма была доказана Грёнваллом в 1919 году.^[1]Интегральная форма доказана Ричард Беллман в 1943 г.^[2]

Нелинейное обобщение неравенства Гренуолла – Беллмана известно как Неравенство Бихари – ЛаСалля. Другие варианты и обобщения можно найти у Pachpatte, B.G. (1998).^[3]

Дифференциальная форма

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять β и ты иметь реальную ценность непрерывные функции определено на я. Еслиты является дифференцируемый в интерьер я^о из я (интервал я без конечных точек а и возможно б) и удовлетворяет дифференциальному неравенству

${ Displaystyle и '(т) Leq бета (т) , и (т), qquad т в I ^ { circ},}$

тогда ты ограничена решением соответствующего дифференциала уравнение v ′(т) = β(т) v(т):

${ Displaystyle и (т) Leq и (а) ехр { biggl (} int _ {а} ^ {т} бета (s) , mathrm {d} s { biggr)}}$

для всех т ∈ я.

Замечание: Предположений о знаках функций нет. β иты.

Доказательство

Определите функцию

${ Displaystyle v (T) = ехр { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (s) , mathrm {d} s { biggr)}, qquad t in I .}$

Обратите внимание, что v удовлетворяет

${ Displaystyle v '(т) = бета (т) , v (т), qquad т в I ^ { circ},}$

с v(а) = 1 и v(т) > 0 для всех т ∈ я. Посредством правило частного

${ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac {u (t)} {v (t)}} = { frac {u '(t) , v (t) -v' (t ) , u (t)} {v ^ {2} (t)}} = { frac {u '(t) , v (t) - beta (t) , v (t) , u (t)} {v ^ {2} (t)}} leq 0, qquad t in I ^ { circ},}$

Таким образом, производная функции ${ Displaystyle и (т) / v (т)}$ неположительна и функция ограничена сверху своим значением в начальной точке ${ displaystyle a}$ интервала ${ displaystyle I}$:

${ displaystyle { frac {u (t)} {v (t)}} leq { frac {u (a)} {v (a)}} = u (a), qquad t in I, }$

что является неравенством Гренвалла.

Интегральная форма для непрерывных функций

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять α, β и ты быть действительными функциями, определенными ная. Предположить, что β и ты непрерывны и отрицательная часть α интегрируема на любом замкнутом и ограниченном подынтервале вя.

• а) Еслиβ неотрицательно и если ты удовлетворяет интегральному неравенству

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + int _ {a} ^ {t} beta (s) и (s) , mathrm {d} s, qquad forall t in Я,}$

тогда

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + int _ {a} ^ {t} alpha (s) beta (s) exp { biggl (} int _ {s} ^ { t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} mathrm {d} s, qquad t in I.}$

• (б) Если, кроме того, функция α не убывает, то

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) ехр { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (s) , mathrm {d} s { biggr)}, qquad t in I.}$

Примечания:

• Предположений о знаках функций нет. α иты.
• По сравнению с дифференциальной формой дифференцируемость ты для интегральной формы не требуется.
• Для версии неравенства Гренвалла, не требующей преемственности β и тыверсию смотрите в следующем разделе.

Доказательство

(а) Определить

${ Displaystyle v (s) = ехр { biggl (} {-} int _ {a} ^ {s} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} int _ { a} ^ {s} beta (r) u (r) , mathrm {d} r, qquad s in I.}$

С использованием правило продукта, то Правило цепи, производная от экспоненциальная функция и основная теорема исчисления, для производной получаем

${ Displaystyle v '(s) = { biggl (} underbrace {u (s) - int _ {a} ^ {s} beta (r) u (r) , mathrm {d} r} _ { leq , alpha (s)} { biggr)} beta (s) exp { biggl (} {-} int _ {a} ^ {s} beta (r) mathrm { d} r { biggr)}, qquad s in I,}$

где мы использовали предполагаемое интегральное неравенство для верхней оценки. С β и экспонента неотрицательны, это дает оценку сверху для производнойv. С v(а) = 0, интегрирование этого неравенства из а к т дает

${ displaystyle v (t) leq int _ {a} ^ {t} alpha (s) beta (s) exp { biggl (} {-} int _ {a} ^ {s} бета (г) , mathrm {d} r { biggr)} mathrm {d} s.}$

Используя определение v(т) для первого шага, а затем это неравенство и функциональное уравнение экспоненты, получаем

${ Displaystyle { begin {align} int _ {a} ^ {t} beta (s) u (s) , mathrm {d} s & = exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} v (t) & leq int _ {a} ^ {t} alpha (s) beta (s ) exp { biggl (} underbrace { int _ {a} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r- int _ {a} ^ {s} beta (r) , mathrm {d} r} _ {= , int _ {s} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r} { biggr)} mathrm {d} s. конец {выровнено}}}$

Подстановка этого результата в предполагаемое интегральное неравенство дает неравенство Гренвалла.

(б) Если функция α не убывает, то часть (а), факт α(s) ≤ α(т), а из основной теоремы исчисления следует, что

${ Displaystyle { begin {align} u (t) & leq alpha (t) + { biggl (} {-} alpha (t) exp { biggl (} int _ {s} ^ { t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} { biggr)} { biggr |} _ {s = a} ^ {s = t} & = alpha (t ) exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)}, qquad t in I. end {align}} }$

Интегральная форма с локально конечными мерами

Позволять я обозначить интервал из реальная линия формы [а, ∞) или же [а, б] или же [а, б) с а < б. Позволять α и ты быть измеримые функции определено ная и разреши μ - непрерывная неотрицательная мера на Борелевская σ-алгебра из я удовлетворение μ([а, т]) < ∞ для всех т ∈ я (это, конечно, удовлетворяется, когда μ это локально конечная мера ). Предположить, что ты интегрируема относительно μ в том смысле, что

${ displaystyle int _ {[a, t)} | u (s) | , mu ( mathrm {d} s) < infty, qquad t in I,}$

и это ты удовлетворяет интегральному неравенству

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + int _ {[а, т)} и (с) , му ( mathrm {d} s), qquad т в I.}$

Если, кроме того,

• функция α неотрицательно или
• функция т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я и функция α интегрируема относительно μ в том смысле, что

${ displaystyle int _ {[a, t)} | alpha (s) | , mu ( mathrm {d} s) < infty, qquad t in I,}$

тогда ты удовлетворяет неравенству Гренвалла

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + int _ {[а, т)} альфа (с) ехр { bigl (} му (I_ {s, t}) { bigr )} , mu ( mathrm {d} s)}$

для всех т ∈ я, куда я_{с, т} обозначает открытый интервал (s, т).

Замечания

• Предположения о непрерывности функций отсутствуют. α и ты.
• Интеграл в неравенстве Грёнвалла может давать значение бесконечности.
• Если α - нулевая функция и ты неотрицательно, то из неравенства Грёнвалла следует, что ты - нулевая функция.
• Интегрируемость ты относительно μ имеет важное значение для результата. Для контрпример, позволять μ обозначать Мера Лебега на единичный интервал [0, 1], определять ты(0) = 0 и ты(т) = 1/т за т ∈ (0, 1], и разреши α - нулевая функция.
• Версия, приведенная в учебнике С. Этье и Т. Курцем.^[4] делает более сильные предположения, что α неотрицательная константа и ты ограничена на ограниченных интервалах, но не предполагает, что мера μ локально конечно. По сравнению с приведенным ниже, их доказательство не обсуждает поведение остатка р_п(т).

Особые случаи

• Если мера μ имеет плотность β относительно меры Лебега, то неравенство Гренуолла можно переписать в виде

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + int _ {a} ^ {t} alpha (s) beta (s) exp { biggl (} int _ {s} ^ { t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} , mathrm {d} s, qquad t in I.}$

• Если функция α неотрицательна, а плотность β из μ ограничено константой c, тогда

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + с int _ {а} ^ {т} альфа (s) ехр { bigl (} с (тс) { bigr)} , mathrm {d} s, qquad t in I.}$

• Если, кроме того, неотрицательная функция α не убывает, то

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + с альфа (т) int _ {а} ^ {т} ехр { bigl (} с (тс) { bigr)} , mathrm {d} s = alpha (t) exp (c (ta)), qquad t in I.}$

Схема доказательства

Доказательство разбито на три этапа. Идея состоит в том, чтобы подставить предполагаемое интегральное неравенство в себя п раз. Это делается в п. 1 с использованием математической индукции. В утверждении 2 мы переписываем меру симплекса в удобном виде, используя перестановочную инвариантность мер произведения. На третьем шаге мы переходим к пределу п до бесконечности, чтобы вывести искомый вариант неравенства Гренвалла.

Подробное доказательство

Утверждение 1. Повторение неравенства

Для каждого натурального числа п включая ноль,

${ Displaystyle и (т) Leq альфа (т) + int _ {[а, т)} альфа (с) сумма _ {к = 0} ^ {п-1} му ^ { otimes k} (A_ {k} (s, t)) , mu ( mathrm {d} s) + R_ {n} (t)}$

с остатком

${ Displaystyle R_ {n} (t): = int _ {[a, t)} u (s) mu ^ { otimes n} (A_ {n} (s, t)) , mu ( mathrm {d} s), qquad t in I,}$

куда

${ Displaystyle A_ {n} (s, t) = {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) in I_ {s, t} ^ {n} mid s_ {1}$

является п-размерный симплекс и

${ displaystyle mu ^ { otimes 0} (A_ {0} (s, t)): = 1.}$

Доказательство утверждения 1

Мы используем математическая индукция. За п = 0 это всего лишь предполагаемое интегральное неравенство, поскольку пустая сумма определяется как ноль.

Шаг индукции от п к п + 1: Подставляя предполагаемое интегральное неравенство для функции ты в остаток дает

${ Displaystyle R_ {n} (t) leq int _ {[a, t)} alpha (s) mu ^ { otimes n} (A_ {n} (s, t)) , mu ( mathrm {d} s) + { tilde {R}} _ {n} (t)}$

с

${ displaystyle { tilde {R}} _ {n} (t): = int _ {[a, t)} { biggl (} int _ {[a, q)} u (s) , mu ( mathrm {d} s) { biggr)} mu ^ { otimes n} (A_ {n} (q, t)) , mu ( mathrm {d} q), qquad t in I.}$

С использованием Теорема Фубини – Тонелли чтобы поменять местами два интеграла, получим

${ displaystyle { tilde {R}} _ {n} (t) = int _ {[a, t)} u (s) underbrace { int _ {(s, t)} mu ^ { иногда n} (A_ {n} (q, t)) , mu ( mathrm {d} q)} _ {= , mu ^ { otimes n + 1} (A_ {n + 1} ( s, t))} , mu ( mathrm {d} s) = R_ {n + 1} (t), qquad t in I.}$

Следовательно Утверждение 1 доказано для п + 1.

Утверждение 2: Измерение симплекса

Для каждого натурального числа п включая ноль и все s < т в я

${ displaystyle mu ^ { otimes n} (A_ {n} (s, t)) leq { frac {{ bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ { п}} {п!}}}$

с равенством в случае т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я.

Доказательство утверждения 2

За п = 0, утверждение верно по нашим определениям. Поэтому рассмотрим п ≥ 1 В следующих.

Позволять S_п обозначим множество всех перестановки индексов в {1, 2, . . . , п}. Для каждой перестановки σ ∈ S_п определять

${ Displaystyle A_ {n, sigma} (s, t) = {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) in I_ {s, t} ^ {n} mid s _ { sigma (1)}$

Эти множества не пересекаются для разных перестановок и

${ displaystyle bigcup _ { sigma in S_ {n}} A_ {n, sigma} (s, t) subset I_ {s, t} ^ {n}.}$

Следовательно,

${ displaystyle sum _ { sigma in S_ {n}} mu ^ { otimes n} (A_ {n, sigma} (s, t)) leq mu ^ { otimes n} { bigl (} I_ {s, t} ^ {n} { bigr)} = { bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ {n}.}$

Поскольку все они имеют одинаковую меру относительно п-складчатое произведение μ, и поскольку есть п! перестановки вS_п, следует заявленное неравенство.

Предположим теперь, что т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я. Тогда для разных индексов я, j ∈ {1, 2, . . . , п}, набор

${ displaystyle {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) in I_ {s, t} ^ {n} mid s_ {i} = s_ {j} }}$

содержится в гиперплоскость, следовательно, путем применения Теорема Фубини его мера по отношению к п-складчатое произведение μ равно нулю. С

${ Displaystyle I_ {s, t} ^ {n} subset bigcup _ { sigma in S_ {n}} A_ {n, sigma} (s, t) cup bigcup _ {1 leq i$

заявленное равенство следует.

Доказательство неравенства Гренвалла

Для каждого натурального числа п, Утверждение 2 подразумевает на оставшуюся часть Утверждение 1 который

${ displaystyle | R_ {n} (t) | leq { frac {{ bigl (} mu (I_ {a, t}) { bigr)} ^ {n}} {n!}} int _ {[a, t)} | u (s) | , mu ( mathrm {d} s), qquad t in I.}$

По предположению имеем μ(я_а,т) < ∞. Следовательно, предположение об интегрируемости ты подразумевает, что

${ displaystyle lim _ {n to infty} R_ {n} (t) = 0, qquad t in I.}$

Утверждение 2 и представление серии экспоненты влечет оценку

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} mu ^ { otimes k} (A_ {k} (s, t)) leq sum _ {k = 0} ^ {n- 1} { frac {{ bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ {k}} {k!}} Leq exp { bigl (} mu (I_ { s, t}) { bigr)}}$

для всех s < т вя. Если функцияα неотрицательно, то достаточно вставить эти результаты в Утверждение 1 для вывода указанного выше варианта неравенства Грёнволла для функцииты.

В случае т ↦ μ([а, т]) непрерывно для т ∈ я, Утверждение 2 дает

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} mu ^ { otimes k} (A_ {k} (s, t)) = sum _ {k = 0} ^ {n-1 } { frac {{ bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ {k}} {k!}} to exp { bigl (} mu (I_ {s , t}) { bigr)} qquad { text {as}} n to infty}$

и интегрируемость функции α разрешает использовать теорема о доминируемой сходимости для вывода неравенства Гренвалла.

Рекомендации

1. ^ Гронволл, Томас Х. (1919), «Замечание о производных по параметру решений системы дифференциальных уравнений», Анна. математики., 20 (2): 292–296, JFM  47.0399.02, JSTOR  1967124, МИСТЕР  1502565
2. ^ Беллман, Ричард (1943), «Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений», Duke Math. Дж., 10 (4): 643–647, Дои:10.1215 / s0012-7094-43-01059-2, МИСТЕР  0009408, Zbl  0061.18502
3. ^ Пачпатт, Б.Г. (1998). Неравенства для дифференциальных и интегральных уравнений. Сан-Диего: Academic Press. ISBN  9780080534640.
4. ^ Ethier, Steward N .; Курц, Томас Г. (1986), Марковские процессы, характеризация и сходимость, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, п. 498, г. ISBN  0-471-08186-8, МИСТЕР  0838085, Zbl  0592.60049

Смотрите также

• Логарифмическая норма для версии леммы Гронуолла, которая дает верхнюю и нижнюю оценки нормы матрицы перехода состояний.

В статье использован материал леммы Гронуолла о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.