Применение математики в теории множеств - Implementation of mathematics in set theory

В этой статье исследуется реализация математических понятий в теория множеств. Реализация ряда основных математических понятий осуществляется параллельно в ZFC (теория доминирующих множеств) и в НФУ, версия Куайна Новые основы доказано, что согласуется Р. Б. Дженсен в 1969 г. (сюда входят как минимум аксиомы бесконечность и Выбор ).

Сказанное здесь применимо также к двум семействам теорий множеств: с одной стороны, к ряду теорий, включая Теория множеств Цермело ближе к нижнему краю шкалы и приближаясь к ZFC, расширяется с большой кардинал гипотезы типа "существует измеримый кардинал "; а с другой стороны, иерархия расширений NFU, которая рассматривается в Новые основы статья. Они соответствуют различным общим взглядам на то, на что похожа теоретико-множественная вселенная, и сравниваются и противопоставляются подходы к реализации математических концепций в рамках этих двух общих взглядов.

Основная цель этой статьи не состоит в том, чтобы сказать что-либо об относительных достоинствах этих теорий как основ математики. Причина использования двух различных теорий множеств состоит в том, чтобы проиллюстрировать возможность применения нескольких подходов к реализации математики. Именно благодаря такому подходу данная статья не является источником «официальных» определений для каких-либо математических понятий.

Предварительные мероприятия

В следующих разделах проводятся определенные построения двух теорий. ZFC и НФУ и сравните полученные реализации определенных математических структур (например, натуральные числа ).

Математические теории доказывают теоремы (и ничего больше). Таким образом, утверждение, что теория допускает конструирование определенного объекта, означает, что согласно теореме этой теории этот объект существует. Это утверждение об определении формы "x такой, что ${ displaystyle phi}$ существует ", где ${ displaystyle phi}$ это формула из нашего язык: теория доказывает существование "x такого, что ${ displaystyle phi}$«на всякий случай, это теорема, что» существует один и только один x такой, что ${ displaystyle phi}$". (Видеть Бертрана Рассела теория описаний.) В общих чертах теория в данном случае «определяет» или «конструирует» этот объект. Если утверждение не является теоремой, теория не может показать, что объект существует; если утверждение доказуемо ложно в теории, оно доказывает, что объект не может существовать; в общих чертах объект не может быть построен.

ZFC и NFU используют язык теории множеств, поэтому одни и те же формальные определения x такие, что ${ displaystyle phi}$"можно рассматривать в двух теориях. Конкретная форма определения на языке теории множеств обозначение построителя множеств: ${ Displaystyle {х мид фи }}$ означает "множество A такое, что для всех x, ${ Displaystyle х в leftrightarrow phi}$"(А не может быть свободный в ${ displaystyle phi}$). Это обозначение допускает некоторые традиционные расширения: ${ Displaystyle {х в Б мид фи }}$ является синонимом ${ Displaystyle {х середина х в В клин фи }}$; ${ Displaystyle {е (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mid phi }}$ определяется как ${ displaystyle {z mid exists x_ {1}, ldots, x_ {n} , (z = f (x_ {1}, dots, x_ {n}) клин phi) }}$, куда ${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ уже определенное выражение.

Выражения, определяемые в нотации создателя множеств, имеют смысл как в ZFC, так и в NFU: может оказаться, что обе теории доказывают, что данное определение является успешным, или ни одна из них (выражение ${ Displaystyle {х середина х не в х }}$ не упоминает ничего в любой теория множеств с классической логикой; в учебный класс теории вроде NBG эта нотация относится к классу, но определяется по-другому), или то, что один относится, а другой нет. Кроме того, объект, определенный таким же образом в ZFC и NFU, может иметь разные свойства в двух теориях (или может быть разница в том, что может быть доказано, если нет доказуемой разницы между их свойствами).

Кроме того, теория множеств импортирует концепции из других разделов математики (намеренно все разделы математики). В некоторых случаях есть разные способы импортировать концепции в ZFC и NFU. Например, обычное определение первой бесконечной порядковый ${ displaystyle omega}$ в ZFC не подходит для NFU, потому что объект (определенный на чисто теоретическом языке множеств как совокупность всех конечных ординалы фон Неймана ) не может быть доказано, что существует в NFU. Обычное определение ${ displaystyle omega}$ в NFU - это (на чисто теоретическом языке) множество всех бесконечных хороший порядок все чьи собственные начальные сегменты конечны, объект, который, как можно показать, не существует в ZFC. В случае таких импортированных объектов могут быть разные определения: одно для использования в ZFC и связанных теориях, а другое для использования в NFU и связанных теориях. Чтобы такие «реализации» импортированных математических понятий имели смысл, необходимо показать, что две параллельные интерпретации имеют ожидаемые свойства: например, реализации натуральных чисел в ZFC и NFU различны, но обе они реализации одной и той же математической структуры, потому что обе включают определения для всех примитивов Арифметика Пеано и удовлетворяют (переводам) аксиом Пеано. Затем можно сравнить то, что происходит в двух теориях, когда используется только теоретический язык множеств, при условии, что определения, подходящие для ZFC, используются в ZFC контекст и определения, соответствующие NFU, считаются используемыми в контексте NFU.

Все, что доказано, существует в теории, очевидно, существует в любом расширении этой теории; кроме того, анализ доказательства того, что объект существует в данной теории, может показать, что он существует в более слабых версиях этой теории (можно рассмотреть Теория множеств Цермело вместо ZFC для большей части того, что делается, например, в этой статье).

Пустой набор, одноэлементные, неупорядоченные пары и кортежи

Эти конструкции появляются первыми, потому что они являются простейшими конструкциями в теории множеств, а не потому, что они первые конструкции, которые приходят на ум в математике (хотя понятие конечного множества, безусловно, является фундаментальным). Несмотря на то, что NFU также позволяет создавать набор ур-элементы еще не стать членами группы, пустой набор уникальный набор без участников:

${ displaystyle left. varnothing right. , { overset { mathrm {def.}} {=}} left {x: x neq x right }}$

Для каждого объекта ${ displaystyle x}$, есть набор ${ Displaystyle {х }}$ с ${ displaystyle x}$ как его единственный элемент:

${ displaystyle left {x right } { overset { mathrm {def.}} {=}} left {y: y = x right }}$

Для объектов ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, есть набор ${ Displaystyle {х, у }}$ содержащий ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ как его единственные элементы:

${ displaystyle left {x, y right } { overset { mathrm {def.}} {=}} left {z: z = x vee z = y right }}$

В союз двух наборов определяется обычным образом:

${ Displaystyle left.x чашка y right. , { overset { mathrm {def.}} {=}} left {z: z in x vee z in y right } }$

Это рекурсивное определение неупорядоченного ${ displaystyle n}$-пары для любого бетона ${ displaystyle n}$ (конечные множества даны в виде списков их элементов :)

${ displaystyle left {x_ {1}, ldots, x_ {n}, x_ {n + 1} right } { overset { mathrm {def.}} {=}} left {x_ {1}, ldots, x_ {n} right } cup left {x_ {n + 1} right }}$

В NFU все заданные определения работают на основе стратифицированного понимания; в ZFC существование неупорядоченной пары задается Аксиома спаривания, существование пустого множества следует из Разделение от существования любого набора, а двоичное объединение двух наборов существует по аксиомам спаривания и Союз (${ Displaystyle х чашка у = bigcup {х, у }}$).

Упорядоченная пара

Во-первых, рассмотрим упорядоченная пара. Причина, по которой это происходит в первую очередь, техническая: заказанные пары необходимы для реализации связи и функции, которые необходимы для реализации других концепций, которые могут показаться предшествующими. Первым определением упорядоченной пары было определение ${ displaystyle (x, y) { overset { mathrm {def}} {=}} { { {x }, emptyset }, { {y } } }}$ предложено Норберт Винер в 1914 г. в контексте теории типов Principia Mathematica. Винер заметил, что это позволило исключить типы п-арочные отношения для п > 1 из системы этой работы. Сейчас более принято использовать определение ${ displaystyle (x, y) { overset { mathrm {def.}} {=}} { {x }, {x, y } }}$, из-за Куратовски. Любое из этих определений работает как в ZFC, так и в NFU. В NFU эти два определения имеют технический недостаток: упорядоченная пара Куратовского на два типа выше, чем ее проекции, а упорядоченная пара Винера на три типа выше. Обычно постулируют существование упорядоченной пары на уровне типов (пары ${ Displaystyle (х, у)}$ который того же типа, что и его прогнозы ) в НФУ. Пару Куратовского удобно использовать в обеих системах до тех пор, пока использование пар типа-уровень не будет формально оправдано. Внутренние детали этих определений не имеют ничего общего с их реальной математической функцией. Для любого понятия ${ Displaystyle (х, у)}$ упорядоченной пары, важно то, что она удовлетворяет определяющему условию

${ Displaystyle (х, у) = (г, ш) экв х = г клин у = ш}$

… И что было достаточно легко собрать упорядоченные пары в наборы.

связи

связи - это множества, все члены заказанные пары. Где возможно, отношение ${ displaystyle R}$ (понимается как бинарный предикат ) реализован как ${ Displaystyle {(х, у) середина xRy }}$ (который можно записать как ${ Displaystyle {г середина пи _ {1} (г) р пи _ {2} (г) }}$). Когда ${ displaystyle R}$ является отношением, обозначение ${ displaystyle xRy}$ средства ${ Displaystyle влево (х, у вправо) в R}$.

В ZFC некоторые отношения (такие как общее отношение равенства или отношение подмножества на множествах) слишком велики, чтобы быть множествами (но могут быть безвредно сформулированы как правильные классы ). В NFU некоторые отношения (например, отношение членства) не устанавливаются, потому что их определения не стратифицированы: в ${ Displaystyle {(х, у) середина х у }}$ ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ должны иметь один и тот же тип (потому что они появляются как проекции одной и той же пары), но также последовательные типы (потому что ${ displaystyle x}$ рассматривается как элемент ${ displaystyle y}$).

Связанные определения

Позволять ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle S}$ быть данным бинарные отношения. Тогда пригодятся следующие концепции:

В разговаривать из ${ displaystyle R}$ это отношение ${ displaystyle left { left (y, x right): xRy right }}$.

В домен из ${ displaystyle R}$ это набор ${ Displaystyle влево {х: существует у влево (xRy вправо) вправо }}$.

В классифицировать из ${ displaystyle R}$ область, обратная к ${ displaystyle R}$. То есть набор ${ Displaystyle влево {у: существует х влево (xRy вправо) вправо }}$.

В поле из ${ displaystyle R}$ это союз домена и диапазона ${ displaystyle R}$.

В прообраз члена ${ displaystyle x}$ области ${ displaystyle R}$ это набор ${ displaystyle left {y: yRx right }}$ (используется в определении термина «хорошо обоснованный» ниже.)

В закрытие вниз члена ${ displaystyle x}$ области ${ displaystyle R}$ это наименьший набор ${ displaystyle D}$ содержащий ${ displaystyle x}$, и содержащий каждый ${ displaystyle zRy}$ для каждого ${ displaystyle y in D}$ (т.е. включая прообраз каждого из его элементов относительно ${ displaystyle R}$ как подмножество.)

В относительный продукт ${ displaystyle R | S}$ из ${ displaystyle R}$ и ${ displaystyle S}$ это отношение ${ Displaystyle влево { влево (х, г вправо): существует у , влево (хRy клин уSz вправо) вправо }}$.

Обратите внимание, что в нашем формальном определении бинарного отношения диапазон и домен отношения не различаются. Это можно сделать, представив отношение ${ displaystyle R}$ с codomain ${ displaystyle B}$ в качестве ${ Displaystyle влево (Р, В вправо)}$, но наша разработка этого не потребует.

В ZFC любое отношение, домен которого является подмножеством множества ${ displaystyle A}$ и чей диапазон является подмножеством набора ${ displaystyle B}$ будет набором, так как Декартово произведение ${ Displaystyle А раз В = влево { влево (а, б вправо): а в А клин б в В вправо }}$ это набор (являющийся подклассом ${ displaystyle { mathcal {P}} ! left (A cup B right)}$), и Разделение предусматривает наличие ${ displaystyle left { left (x, y right) in A times B: xRy right }}$. В NFU некоторые отношения с глобальной областью видимости (например, равенство и подмножество) могут быть реализованы как наборы. В НФУ имейте в виду, что ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ на три типа ниже, чем ${ displaystyle R}$ в ${ displaystyle xRy}$ (на один тип ниже, если используется упорядоченная пара на уровне типов).

Свойства и виды отношений

Бинарное отношение ${ displaystyle R}$ является:

• Рефлексивный если ${ displaystyle xRx}$ для каждого ${ displaystyle x}$ в области ${ displaystyle R}$.
• Симметричный если ${ displaystyle forall x, y , (xRy to yRx)}$.
• Переходный если ${ displaystyle forall x, y, z , (xRy клин yRz rightarrow xRz)}$.
• Антисимметричный если ${ displaystyle forall x, y , (xRy клин yRx rightarrow x = y)}$.
• Обоснованный если для каждого набора ${ displaystyle S}$ что соответствует области ${ displaystyle R}$, ${ Displaystyle существует х в S}$ чей прообраз под ${ displaystyle R}$ не встречается ${ displaystyle S}$.
• Экстенсиональный если для каждого ${ displaystyle x, y}$ в области ${ displaystyle R}$, ${ displaystyle x = y}$ если и только если ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ иметь такой же прообраз под ${ displaystyle R}$.

Отношения, имеющие определенные комбинации перечисленных выше свойств, имеют стандартные имена. Бинарное отношение ${ displaystyle R}$ является:

• An отношение эквивалентности если ${ displaystyle R}$ рефлексивно, симметрично и транзитивно.
• А частичный заказ если ${ displaystyle R}$ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
• А линейный порядок если ${ displaystyle R}$ является частичным порядком и для каждого ${ displaystyle x, y}$ в области ${ displaystyle R}$, либо ${ displaystyle xRy}$ или же ${ displaystyle yRx}$.
• А хороший порядок если ${ displaystyle R}$ является линейным порядком и хорошо обоснованным.
• А установить картинку если ${ displaystyle R}$ является хорошо обоснованным и экстенсивным, а область ${ displaystyle R}$ либо равняется закрытию вниз одного из его членов (так называемого верхний элемент) или пусто.

Функции

А функциональное отношение это бинарный предикат ${ displaystyle F}$ такой, что ${ displaystyle forall x, y, z , left (xFy wedge xFz to y = z right).}$ Такой связь (предикат ) реализуется как отношение (набор) точно так, как описано в предыдущем разделе. Итак, предикат ${ displaystyle F}$ реализуется набором ${ Displaystyle влево { влево (х, у вправо): xFy вправо }}$. Отношение ${ displaystyle F}$ это функция если и только если ${ displaystyle forall x, y, z , left ( left (x, y right) in F wedge left (x, z right) in F to y = z right). }$ Следовательно, можно определить функцию ценности ${ Displaystyle F ! влево (х вправо)}$ как уникальный объект ${ displaystyle y}$ такой, что ${ displaystyle xFy}$ - то есть: ${ displaystyle x}$ является ${ displaystyle F}$-относится к ${ displaystyle y}$ так что отношение ${ displaystyle f}$ держится между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ - или как уникальный объект ${ displaystyle y}$ такой, что ${ Displaystyle влево (х, у вправо) в F}$. Присутствие в обеих теориях функциональных предикатов, которые не являются множествами, делает полезным разрешить обозначение ${ Displaystyle F ! влево (х вправо)}$ как для наборов ${ displaystyle F}$ и для важных функциональных предикатов. Пока не проводится количественная оценка функций в последнем смысле, все такие виды использования в принципе устранимы.

Вне формальной теории множеств мы обычно определяем функцию в терминах ее домена и области, как во фразе «Пусть ${ displaystyle f: от A до B}$ быть функцией ". Область определения функции - это просто ее область определения как отношения, но мы еще не определили область определения функции. Для этого мы вводим терминологию, согласно которой функция из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ если его домен равен ${ displaystyle A}$ и его ассортимент содержится в ${ displaystyle B}$. Таким образом, каждая функция является функцией от своего домена до своего диапазона, а функция ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ также является функцией от ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle C}$ для любого набора ${ displaystyle C}$ содержащий ${ displaystyle B}$.

В самом деле, независимо от того, какой набор мы рассматриваем как область определения функции, функция не изменяется как набор, поскольку по определению это просто набор упорядоченных пар. То есть функция не определяет свой кодомен по нашему определению. Если кто-то находит это непривлекательным, то вместо этого можно определить функцию как упорядоченную пару ${ Displaystyle (е, В)}$, куда ${ displaystyle f}$ функциональное отношение и ${ displaystyle B}$ является его codomain, но мы не применяем этот подход в этой статье (более элегантно, если сначала определить упорядоченные тройки - например, как ${ Displaystyle (х, у, z) = (х, (y, z))}$- тогда можно было бы определить функцию как упорядоченную тройку ${ Displaystyle (е, А, В)}$ чтобы также включить домен). Обратите внимание, что та же проблема существует и для отношений: вне формальной теории множеств мы обычно говорим «Пусть ${ Displaystyle R substeq A times B}$ быть бинарным отношением », но формально ${ displaystyle R}$ набор упорядоченных пар таких, что ${ displaystyle { text {dom}} , R substeq A}$ и ${ displaystyle { text {ran}} , R substeq B}$.

В НФУ, ${ displaystyle x}$ имеет тот же тип, что и ${ Displaystyle F ! влево (х вправо)}$, и ${ displaystyle F}$ на три типа выше, чем ${ Displaystyle F ! влево (х вправо)}$ (на один тип выше, если используется упорядоченная пара на уровне типов). Чтобы решить эту проблему, можно определить ${ Displaystyle F влево [A вправо]}$ в качестве ${ Displaystyle влево {у: существует х , влево (х в А клин у = F ! влево (х вправо) вправо) вправо }}$ для любого набора ${ displaystyle A}$, но это удобнее записать как ${ Displaystyle влево {F ! влево (х вправо): х в А вправо }}$. Тогда, если ${ displaystyle A}$ это набор и ${ displaystyle F}$ - любое функциональное отношение, Аксиома замещения уверяет, что ${ Displaystyle F влево [A вправо]}$ это набор в ZFC. В НФУ, ${ Displaystyle F влево [A вправо]}$ и ${ displaystyle A}$ теперь имеют тот же тип, и ${ displaystyle F}$ на два типа выше, чем ${ Displaystyle F влево [A вправо]}$ (того же типа, если используется упорядоченная пара на уровне типов).

Функция ${ Displaystyle I ! влево (х вправо) = х}$ не является набором в ZFC, потому что он «слишком велик». ${ Displaystyle I ! влево (х вправо)}$ однако набор в NFU. Функция (предикат) ${ Displaystyle S ! влево (х вправо) = влево {х вправо }}$ не является ни функцией, ни множеством в любой теории; в ZFC это верно, потому что такой набор был бы слишком большим, а в NFU это верно, потому что его определение не было бы стратифицированный. Более того, ${ Displaystyle S ! влево (х вправо)}$ можно доказать, что не существует в NFU (см. резолюцию Парадокс Кантора в Новые основы.)

Операции над функциями

Позволять ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ - произвольные функции. В сочинение из ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$, ${ displaystyle g circ f}$, определяется как относительный продукт ${ displaystyle f , | , g}$, но только если это приведет к такой функции, что ${ displaystyle g circ f}$ тоже функция, с ${ Displaystyle влево (г CIRC F вправо) ! влево (х вправо) = г ! влево (е ! влево (х вправо) вправо)}$, если диапазон ${ displaystyle f}$ является подмножеством области ${ displaystyle g}$. В обратный из ${ displaystyle f}$, ${ Displaystyle е ^ { влево (-1 вправо)}}$, определяется как разговаривать из ${ displaystyle f}$ если это функция. Учитывая любой набор ${ displaystyle A}$, тождественная функция ${ displaystyle i_ {A}}$ это набор ${ Displaystyle влево { влево (х, х вправо) середина х в А вправо }}$, а это набор как в ZFC, так и в NFU по разным причинам.

Особые виды функций

Функция - это инъективный (также называемый один к одному), если у него есть обратная функция.

Функция ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ это:

• Инъекция из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ если изображений под ${ displaystyle f}$ отдельных членов ${ displaystyle A}$ являются отдельными членами ${ displaystyle B}$.
• Surjection из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ если диапазон ${ displaystyle f}$ является ${ displaystyle B}$.
• Биекция из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ если ${ displaystyle f}$ одновременно и инъекция, и сюръекция.

Определение функций как упорядоченных пар ${ Displaystyle (е, В)}$ или заказанные тройки ${ Displaystyle (е, А, В)}$ имеет преимущества, заключающиеся в том, что нам не нужно вводить терминологию функции "от ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$", и что мы можем говорить о" сюръективности "прямо, в отличие от возможности говорить только о" сюръективности " ${ displaystyle B}$".

Размер наборов

В обоих ZFC и НФУ, два набора А и B одинакового размера (или равномерный) тогда и только тогда, когда существует биекция ж из А к B. Это можно записать как ${ displaystyle | A | = | B |}$, но обратите внимание, что (на данный момент) это выражает связь между А и B а не отношения между еще не определенными объектами ${ displaystyle | A |}$ и ${ displaystyle | B |}$. Обозначим это отношение через ${ displaystyle A sim B}$ в таких контекстах, как фактическое определение кардиналы где даже следует избегать появления предполагающих абстрактных кардиналов.

Аналогичным образом определим ${ displaystyle | A | leq | B |}$ как удерживающий тогда и только тогда, когда есть инъекция из А к B.

Несложно показать, что отношение равнодоступности отношение эквивалентности: равноденствие А с А засвидетельствован ${ displaystyle i_ {A}}$; если ж свидетели ${ displaystyle | A | = | B |}$, тогда ${ displaystyle f ^ {- 1}}$ свидетели ${ Displaystyle | B | = | A |}$; и если ж свидетели ${ displaystyle | A | = | B |}$ и грамм свидетели ${ Displaystyle | B | = | C |}$, тогда ${ displaystyle g circ f}$ свидетели ${ displaystyle | A | = | C |}$.

Можно показать, что ${ displaystyle | A | leq | B |}$ это линейный порядок на абстрактных кардиналах, но не на множествах. Рефлексивность очевидна, а транзитивность доказана так же, как и равноденствие. В Теорема Шредера – Бернштейна., доказуемо в ZFC и НФУ совершенно стандартным способом устанавливает, что

• ${ Displaystyle | A | Leq | B | клин | B | Leq | A | rightarrow | A | = | B |}$

(это устанавливает антисимметрию на кардиналах), и

• ${ Displaystyle | A | leq | B | vee | B | leq | A |}$

следует стандартным образом в любой теории из аксиома выбора.

Конечные множества и натуральные числа

Натуральные числа можно рассматривать как конечные ординалы или конечные кардиналы. Здесь их рассматривают как конечные кардинальные числа. Это первое место, где большое различие между реализациями в ZFC и НФУ становится очевидным.

Аксиома бесконечности ZFC говорит нам, что существует множество А который содержит ${ displaystyle emptyset}$ и содержит ${ Displaystyle у чашка {у }}$ для каждого ${ displaystyle y in A}$. Этот набор А не определяется однозначно (его можно увеличить, сохранив это свойство закрытия): набор N натуральных чисел

• ${ displaystyle {x in A mid forall B , ( emptyset in B wedge forall y , (y in B rightarrow y cup {y } in B) rightarrow х в Б) }}$

который является пересечением всех наборов, которые содержат пустое множество и закрываются при операции "преемник" ${ Displaystyle у mapsto у чашка {у }}$.

В ZFC набор ${ displaystyle A}$ конечно тогда и только тогда, когда существует ${ Displaystyle п в N}$ такой, что ${ Displaystyle | п | = | А |}$: далее определим ${ displaystyle | A |}$ как это п для конечного А. (Можно доказать, что нет двух различных натуральных чисел одинакового размера).

Обычные операции арифметики могут быть определены рекурсивно и в стиле, очень похожем на тот, в котором определяется сам набор натуральных чисел. Например, + (операция сложения натуральных чисел) может быть определена как наименьшее множество, которое содержит ${ Displaystyle ((х, emptyset), х)}$ для каждого натурального числа ${ displaystyle x}$ и содержит ${ Displaystyle ((х, у чашка {у }), г чашка {г })}$ всякий раз, когда он содержит ${ Displaystyle ((х, у), г)}$.

В NFU не очевидно, что этот подход может быть использован, поскольку операция-преемник ${ Displaystyle у чашка {у }}$ нестратифицирован, поэтому множество N как определено выше, нельзя показать, что он существует в NFU (это согласуется с тем, что множество конечных ординалов фон Неймана существует в NFU, но это усиливает теорию, поскольку существование этого набора подразумевает Аксиому подсчета (для чего см. ниже или в Новые основы статья)).

Стандартное определение натуральных чисел, которое на самом деле является самым старым теоретико-множественное определение натуральных чисел, является как классы эквивалентности конечных множеств при равнодоступности. По сути, такое же определение подходит для НФУ (это не обычное определение, но результаты те же): define Плавник, множество конечных множеств, как

${ displaystyle {A mid forall F , ( emptyset in F wedge forall x, y , (x in F rightarrow x cup {y } in F) rightarrow A in F) }}$

Для любого набора ${ displaystyle A in Fin}$, определять ${ displaystyle | A |}$ в качестве ${ displaystyle {B mid A sim B }}$. Определять N как набор ${ displaystyle {| A | mid A in Fin }}$.

Аксиома бесконечности NFU может быть выражена как ${ Displaystyle V not in Fin}$: этого достаточно, чтобы установить, что каждое натуральное число имеет непустого преемника (преемника ${ displaystyle | A |}$ существование ${ Displaystyle | А чашка {х } |}$ для любого ${ Displaystyle х not in A}$), что является сложной частью доказательства выполнения арифметических аксиом Пеано.

Арифметические операции могут быть определены в стиле, аналогичном приведенному выше (используя только что данное определение преемника). Их также можно определить естественным теоретико-множественным способом: если A и B - непересекающиеся конечные множества, определите | A | + | B | в качестве ${ displaystyle | A чашка B |}$. Более формально определим т + п за м и п в N в качестве

${ Displaystyle {A середина существует B, C , (B in м клин C in n клин B cap C = emptyset клин A = B чашка C) }}$

(Но обратите внимание, что этот стиль определения возможен и для цифр ZFC, но более окольным образом: форма НФУ определение облегчает манипуляции с множеством, в то время как форма определения ZFC облегчает рекурсивные определения, но любая теория поддерживает любой стиль определения).

Эти две реализации совершенно разные. В ZFC выберите представителя каждой конечной мощности (сами классы эквивалентности слишком велики, чтобы быть наборами); в NFU классы эквивалентности сами по себе являются наборами и, таким образом, являются очевидным выбором для объектов, которые должны заменять мощности. Однако арифметика двух теорий идентична: одна и та же абстракция реализуется этими двумя внешне разными подходами.

Отношения эквивалентности и разбиения

Общий метод реализации абстракций в теории множеств - использование классов эквивалентности. Если отношение эквивалентности р сообщает нам, что элементы его поля А одинаковы в каком-то конкретном отношении, то для любого множества Икс, считайте набор ${ displaystyle [x] _ {R} = {y in A mid xRy }}$ как представление абстракции от множества Икс соблюдая только эти особенности (определите элементы А вплоть до р).

Для любого набора А, множество ${ displaystyle P}$ это раздел из А если все элементы п непусты, любые два различных элемента п не пересекаются, и ${ Displaystyle A = bigcup P}$.

Для любого отношения эквивалентности р с полем А, ${ Displaystyle {[х] _ {R} середина х в А }}$ это раздел А. Причем каждый раздел п из А определяет отношение эквивалентности ${ Displaystyle {(х, у) середина существует А в Р , (х в А клин у в А) }}$.

Этот метод имеет ограничения как в ZFC и НФУ. В ZFC, поскольку вселенная не является набором, кажется возможным абстрагировать функции только от элементов небольших областей. Это можно обойти с помощью уловки из-за Дана Скотт: если р является отношением эквивалентности во вселенной, определим ${ displaystyle [x] _ {R}}$ как набор всех у такой, что ${ displaystyle yRx}$ и классифицировать из у меньше или равен рангу любого ${ displaystyle zRx}$. Это работает, потому что ранги установлены. Конечно, все еще может быть надлежащий класс ${ displaystyle [x] _ {R}}$с. В НФУ основная сложность заключается в том, что ${ displaystyle [x] _ {R}}$ на один тип выше x, поэтому, например, "карта" ${ Displaystyle х mapsto [х] _ {R}}$ в общем случае не является (установленной) функцией (хотя ${ Displaystyle {х } mapsto [х] _ {R}}$ это набор). Этого можно избежать, используя Аксиому выбора для выбора представителя из каждого класса эквивалентности для замены ${ displaystyle [x] _ {R}}$, который будет того же типа, что и Икс, или выбрав канонического представителя, если есть способ сделать это без вызова Choice (использование представителей также вряд ли неизвестно в ZFC). В NFU более распространено использование конструкций классов эквивалентности для абстрактных свойств общих наборов, как, например, в определениях кардинальных и порядковых чисел ниже.

Порядковые номера

Два хороших порядка ${ displaystyle W_ {1}}$ и ${ displaystyle W_ {2}}$ находятся похожий и писать ${ Displaystyle W_ {1} sim W_ {2}}$ на всякий случай есть биекция ж из области ${ displaystyle W_ {1}}$ в области ${ displaystyle W_ {2}}$ такой, что ${ Displaystyle xW_ {1} y leftrightarrow f (x) W_ {2} f (y)}$ для всех Икс и у.

Показано, что подобие является отношением эквивалентности во многом таким же образом, как равное количество было показано выше как отношение эквивалентности.

В Новые основы (НФУ), тип заказа хорошего порядка W - множество всех хороших порядков, подобных W. Набор порядковые номера - это множество всех порядковых типов порядков.

Это не работает в ZFC, потому что классы эквивалентности слишком велики. Формально можно было бы использовать Уловка Скотта определить порядковые числа практически таким же образом, но устройство фон Нейман чаще используется.

Для любого частичного заказа ${ displaystyle leq}$соответствующие строгий частичный порядок <определяется как ${ displaystyle {(x, y) mid x leq y клин x neq y }}$. Аналогично определяются строгие линейные порядки и строгие порядки.

Множество А как говорят переходный если ${ displaystyle bigcup A substeq A}$: каждый элемент элемента А также является элементом А. А (фон Нейман) порядковый - транзитивное множество, членство в котором строго упорядочено.

В ZFC тип заказа хорошо упорядоченного W тогда определяется как единственный ординал фон Неймана, равнодействующий полю W и членство в котором изоморфно строгому порядку, связанному с W. (условие равнодоступности различает хорошие порядки с полями размера 0 и 1, чьи связанные строгие хорошие порядки неразличимы).

В ZFC не может быть набора всех порядковых номеров. Фактически, ординалы фон Неймана представляют собой несовместимую совокупность в любой теории множеств: с помощью скромных теоретических допущений можно показать, что каждый элемент ординала фон Неймана является ординалом фон Неймана, а ординалы фон Неймана строго упорядочены по принадлежности. . Отсюда следует, что класс ординалов фон Неймана был бы ординалом фон Неймана, если бы он был множеством: но тогда он был бы элементом самого себя, что противоречит тому факту, что членство - это строгое упорядочение ординалов фон Неймана.

Существование порядковых типов для всех хороших порядков не является теоремой Теория множеств Цермело: это требует Аксиома замещения. Даже уловка Скотта не может быть использована в теории множеств Цермело без дополнительного предположения (например, предположения, что каждое множество принадлежит некоторой классифицировать который является множеством, которое существенно не укрепляет теорию множеств Цермело, но не является теоремой этой теории).

В NFU набор всех порядковых номеров задается стратифицированным пониманием. Неожиданным образом удается избежать парадокса Бурали-Форти. Порядок порядковых номеров определяется следующим образом: ${ Displaystyle альфа leq beta}$ тогда и только тогда, когда некоторые (и так любые) ${ Displaystyle W_ {1} in alpha}$ похож на начальный отрезок некоторого (и так любого) ${ displaystyle W_ {2} in beta}$. Кроме того, можно показать, что этот естественный порядок является правильным порядком порядковых номеров и поэтому должен иметь тип порядка ${ displaystyle Omega}$. Казалось бы, порядок порядковых номеров меньше${ displaystyle Omega}$ с естественным порядком будет ${ displaystyle Omega}$, что противоречит тому, что ${ displaystyle Omega}$ является порядковым типом всего естественного порядка на ординалах (а значит, не любого из его собственных начальных сегментов). Но это зависит от интуиции (верной в ZFC), что тип порядка естественного порядка на порядковых числах меньше, чем ${ displaystyle alpha}$ является ${ displaystyle alpha}$ для любого порядкового номера ${ displaystyle alpha}$. Это утверждение нестратифицировано, потому что тип второго ${ displaystyle alpha}$ на четыре выше, чем тип первого (на два выше, если используется пара уровней типа). Утверждение, которое является истинным и доказуемым в NFU, состоит в том, что тип порядка естественного порядка на ординалах меньше, чем ${ displaystyle alpha}$ является ${ Displaystyle Т ^ {4} ( альфа)}$ для любого порядкового номера ${ displaystyle alpha}$, куда ${ Displaystyle Т ( альфа)}$ это тип заказа ${ Displaystyle W ^ { iota} = {( {x }, {y }) mid xWy }}$ для любого ${ displaystyle W in alpha}$ (легко показать, что это не зависит от выбора W; заметим, что T повышает тип на единицу). Таким образом, порядок порядковых номеров меньше ${ displaystyle Omega}$ с естественным порядком ${ Displaystyle T ^ {4} ( Omega)}$, и ${ Displaystyle Т ^ {4} ( Omega) < Omega}$. Все виды использования ${ displaystyle T ^ {4}}$ здесь можно заменить на ${ displaystyle T ^ {2}}$ если используется пара уровня типа.

Это показывает, что операция T нетривиальна, что имеет ряд последствий. Отсюда сразу следует, что одноэлементное отображение ${ Displaystyle х mapsto {х }}$ не является множеством, иначе ограничения этого отображения установили бы подобие W и ${ displaystyle W ^ { iota}}$ для любого хорошего заказа W. T (внешне) биективен и сохраняет порядок. Из-за этого факт ${ Displaystyle Т ^ {4} ( Omega) < Omega}$ устанавливает, что ${ Displaystyle Omega> Т ( Omega)> T ^ {2} ( Omega) ldots}$ - это «убывающая последовательность» в порядковых числах, которая не может быть множеством.

Порядковые числа, зафиксированные T, называются Канторианский ординалы и ординалы, которые доминируют только в канторианских ординалах (которые, как легко показать, сами канторианские), называются сильно канторианский. Не может быть набора канторианских ординалов или набора строго канторианских ординалов.

Отступление: ординалы фон Неймана в NFU

Об ординалах фон Неймана можно рассуждать в НФУ. Напомним, что ординал фон Неймана - это транзитивное множество А таким образом, что ограничение членства А строгий порядок. Это довольно сильное условие в контексте NFU, поскольку отношение членства включает в себя различие типов. Порядковый номер фон Неймана А не ординал в смысле NFU, но ${ displaystyle in lceil A}$ принадлежит порядковому номеру ${ displaystyle alpha}$ который можно назвать типом заказа (членство в) А. Легко показать, что порядковый тип ординала фон Неймана А канторианский: для любого хорошо организованного W типа заказа ${ displaystyle alpha}$, индуцированная упорядоченность начальных участков W по включению имеет вид заказа ${ Displaystyle Т ( альфа)}$ (он на один тип выше, следовательно, применение Т): но порядковые типы хорошего упорядочения ординала фон Неймана А по членству и правильному порядку его начальных сегментов по включению, очевидно, одинаковы, потому что два хороших порядка на самом деле являются одним и тем же отношением, поэтому тип порядка А фиксируется под T. Более того, тот же аргумент применяется к любому меньшему порядковому номеру (который будет типом порядка начального сегмента А, также ординал фон Неймана), так что тип порядка любого ординала фон Неймана строго канторианский.

Единственные ординалы фон Неймана, существование которых в NFU можно показать без дополнительных предположений, - это конкретные конечные. Однако применение метода перестановки может преобразовать любую модель NFU в модель, в которой каждый строго канторианский ординал является порядковым типом ординала фон Неймана. Это предполагает, что концепция «строго канторианский порядковый номер NFU» может быть лучшим аналогом «порядкового номера ZFC», чем очевидный аналог «порядковый номер NFU».

Количественные числительные

Кардинальные числа определены в НФУ способом, который обобщает определение натурального числа: для любого множества А, ${ Displaystyle | A | = _ { mathrm {def}} {B mid B sim A }}$.

В ZFC, эти классы эквивалентности, как правило, слишком велики. Уловка Скотта может быть использована (и действительно используется в ZF ), ${ displaystyle | A |}$ обычно определяется как тип наименьшего порядка (здесь порядковый номер фон Неймана) хорошо упорядоченного А (То, что каждое множество можно упорядочить, следует из аксиомы выбора обычным образом в обеих теориях).

Естественный порядок кардинальных чисел выглядит хорошо упорядоченным: он рефлексивный, антисимметричный (на абстрактных кардиналах, которые теперь доступны) и транзитивный, как было показано выше. То, что это линейный порядок, следует из Аксиомы выбора: два набора с хорошим порядком и начальный сегмент одного с хорошим порядком будут изоморфны другому, поэтому один набор будет иметь мощность меньше, чем у другого. То, что это хороший порядок, аналогичным образом следует из Аксиомы выбора.

С каждым бесконечным кардиналом связано множество типов порядка по обычным причинам (в любой теории множеств).

Теорема Кантора показывает (в обеих теориях), что существуют нетривиальные различия между бесконечными кардинальными числами. В ZFC, одно доказывает ${ Displaystyle | A | <| P (A) |.}$ В НФУ, обычная форма теоремы Кантора неверна (рассмотрим случай A = V), но теорема Кантора является некорректно типизированным утверждением. Правильная форма теоремы в НФУ является ${ Displaystyle | P_ {1} (A) | <| P (A) |}$, куда ${ Displaystyle P_ {1} (А)}$ - множество одноэлементных подмножеств A. ${ Displaystyle | P_ {1} (V) | <| P (V) |}$ показывает, что синглтонов «меньше», чем множеств (очевидная биекция ${ Displaystyle х mapsto {х }}$ из ${ Displaystyle P_ {1} (V)}$ к V уже видел не набор). В NFU + Choice действительно доказано, что ${ Displaystyle | P_ {1} (V) | <| P (V) | ll | V |}$ (куда ${ displaystyle ll}$ сигнализирует о существовании многих вмешивающихся кардиналов; много-много урэлементов!). Определите операцию преобразования типов T для кардиналов, аналогичную операции T для порядковых чисел: ${ Displaystyle T (| A |) = | P_ {1} (A) |}$; это внешний эндоморфизм кардиналов, точно так же, как операция T над ординалами является внешним эндоморфизмом ординалов.

Множество А как говорят канторианский так, на всякий случай ${ Displaystyle | A | = | P_ {1} (A) | = T (| A |)}$; кардинал ${ displaystyle | A |}$ также считается канторианским кардиналом. Множество А как говорят сильно канторианский (и его кардинал также должен быть строго канторианским) на всякий случай ограничение одноэлементного отображения на А (${ Displaystyle (х mapsto {х }) lceil A}$) - это множество. Хороший порядок строго канторианских множеств всегда строго канторианский ординалы; это не всегда верно для правильного упорядочивания канторианских множеств (хотя самый короткий правильный порядок канторианского набора будет канторианским). Канторианское множество - это множество, удовлетворяющее обычной форме теоремы Кантора.

Операции кардинальной арифметики определены теоретико-множественным образом в обеих теориях. ${ Displaystyle | A | + | B | = {C чашка D mid C sim A клин D sim B клин C cap D = emptyset }}$. Хотелось бы определить ${ displaystyle | A | cdot | B |}$ в качестве ${ displaystyle | A times B |}$, и это делается в ZFC, но есть препятствие в НФУ при использовании пары Куратовского: определяется ${ displaystyle | A | cdot | B |}$ в качестве ${ Displaystyle T ^ {- 2} (| A раз B |)}$ из-за смещения типа 2 между парой и ее проекциями, что подразумевает смещение типа 2 между декартовым произведением и его факторами. Несложно доказать, что продукт существует всегда (но требует внимания, поскольку обратное к T не является полным).

Определение экспоненциальной операции над кардиналами требует T существенно: если ${ displaystyle B ^ {A}}$ был определен как набор функций из А к B, это на три типа выше, чем А или же B, поэтому разумно определить ${ displaystyle | B | ^ {| A |}}$ в качестве ${ displaystyle T ^ {- 3} (| B ^ {A} |)}$ так что он того же типа, что и А или же B (${ displaystyle T ^ {- 1}}$ заменяет ${ displaystyle T ^ {- 3}}$ с парами уровня типа). Результатом этого является то, что экспоненциальная операция является частичной: например, ${ Displaystyle 2 ^ {| V |}}$ не определено. В ZFC один определяет ${ displaystyle | B | ^ {| A |}}$ в качестве ${ displaystyle | B ^ {A} |}$ без труда.

Экспоненциальная операция является полной и ведет себя точно так, как ожидалось на канторианских кардиналах, поскольку T фиксирует такие кардиналы, и легко показать, что функциональное пространство между канторианскими наборами является канторианским (как и наборы степеней, декартовы произведения и другие обычные конструкторы типов). Это еще раз подтверждает мнение о том, что "стандартные" мощности в НФУ являются канторианскими (действительно, строго канторианскими) мощностями, точно так же, как "стандартные" ординалы кажутся строго канторианскими ординалами.

Теперь можно доказать обычные теоремы кардинальной арифметики с выбранной аксиомой, включая ${ Displaystyle каппа cdot каппа = каппа}$. Из дела ${ Displaystyle | V | cdot | V | = | V |}$ существование упорядоченной пары на уровне типа может быть выведено: ${ Displaystyle | V | cdot | V | = T ^ {- 2} (| V times V |)}$ равно ${ displaystyle | V |}$ так, на всякий случай ${ Displaystyle | V раз V | = T ^ {2} (| V |) = | P_ {1} ^ {2} (V) |}$, о чем свидетельствует взаимно однозначное соответствие между парами Куратовского ${ Displaystyle (а, б)}$ и двойные синглтоны ${ Displaystyle { {с } }}$: redefine ${ Displaystyle (а, б)}$ как c такой, что ${ Displaystyle { {с } }}$ связан с Куратовским ${ Displaystyle (а, б)}$: это понятие упорядоченной пары на уровне типов.

Аксиома счета и ниспровержение стратификации

Итак, есть две разные реализации натуральных чисел в НФУ (хотя они такие же в ZFC ): конечные ординалы и конечные кардиналы. Каждый из них поддерживает операцию T в НФУ (в основном та же операция). Легко доказать, что ${ Displaystyle Т (п)}$ натуральное число, если n натуральное число в НФУ + Бесконечность + Выбор (и так ${ displaystyle | N |}$ и первый бесконечный порядковый ${ displaystyle omega}$ канторианцы), но в этой теории невозможно доказать, что ${ Displaystyle Т (п) = п}$. Однако здравый смысл подсказывает, что это должно быть правдой, и поэтому его можно принять как аксиому:

• Аксиома счета Россера: Для каждого натурального числа п, ${ Displaystyle Т (п) = п}$.

Одним из естественных следствий этой аксиомы (и ее первоначальной формулировки) является

• ${ Displaystyle | {1, ldots, п } | = п}$ для каждого натурального числа п.

Все, что можно доказать в НФУ без подсчета ${ Displaystyle | {1, ldots, п } | = Т ^ {2} (п)}$.

Следствием подсчета является то, что N является сильно канториановым множеством (опять же, это эквивалентное утверждение).

Свойства сильно канторианских множеств

Тип любой переменной, ограниченный строго канторианским набором А могут быть увеличены или опущены по желанию путем замены ссылок на ${ displaystyle a in A}$ со ссылками на ${ Displaystyle bigcup f (а)}$ (тип а поднятый; это предполагает, что известно, что а это набор; в противном случае нужно сказать "элемент ${ Displaystyle f (а)}$"чтобы получить этот эффект) или ${ Displaystyle е ^ {- 1} ( {а })}$ (тип пониженного) где ${ Displaystyle е (а) = {а }}$ для всех ${ displaystyle a in A}$, поэтому нет необходимости назначать типы таким переменным для целей стратификации.

Любое подмножество строго канторианского множества является строго канторианским. Набор мощностей строго канторианского набора строго канторианский. Декартово произведение двух строго канторианских множеств является строго канторианским.

Введение аксиомы подсчета означает, что типы не должны присваиваться переменным, ограниченным N или чтобы п(N), р (множество действительных чисел) или любое множество, когда-либо рассматриваемое в классической математике вне теории множеств.

Аналогичных явлений нет в ZFC. Посмотреть основные Новые основы статья для более сильных аксиом, которые могут быть присоединены к NFU для обеспечения «стандартного» поведения знакомых математических объектов.

Знакомые системы счисления: положительные рациональные числа, величины и действительные числа

Представлять положительные дроби как пары натуральных положительных чисел (0 исключен): ${ displaystyle { frac {p} {q}}}$ представлен парой ${ displaystyle (p, q)}$. Сделать ${ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {r} {s}} leftrightarrow ps = qr}$введем соотношение ${ displaystyle sim}$ определяется ${ displaystyle (p, q) sim (r, s) leftrightarrow ps = qr}$. Доказано, что это отношение эквивалентности: определить положительные рациональные числа как классы эквивалентности пар натуральных положительных чисел по этому отношению. Арифметические операции над положительными рациональными числами и отношение порядка на положительных рациональных числах определены так же, как в начальной школе, и доказано (с некоторыми усилиями), что они обладают ожидаемыми свойствами.

Представлять величины (положительные вещественные числа) как непустые собственные начальные сегменты положительных рациональных чисел без наибольшего элемента. Операции сложения и умножения величин осуществляются поэлементным сложением положительных рациональных элементов величин. Заказ реализован по мере включения.

Представлять действительные числа как различия ${ displaystyle m-n}$ величин: формально говоря, действительное число - это класс эквивалентности пар ${ Displaystyle (м, п)}$ величин по отношению эквивалентности ${ displaystyle sim}$ определяется ${ Displaystyle (м, п) sim (г, s) leftrightarrow м + s = п + г}$. Операции сложения и умножения действительных чисел определены так же, как и следовало ожидать от алгебраических правил сложения и умножения разностей. Порядок трактуется также как в элементарной алгебре.

Это самый краткий набросок построек. Обратите внимание, что конструкции точно такие же в ZFC И в НФУ, за исключением разницы в конструкциях натуральных чисел: поскольку все переменные ограничены строго канторианскими множествами, нет необходимости беспокоиться об ограничениях стратификации. Без аксиомы счета, возможно, потребуется ввести некоторые приложения T при полном обсуждении этих конструкций.

Операции с индексированными семействами множеств

В этом классе конструкций оказывается, что ZFC имеет преимущество перед НФУ: хотя конструкции явно возможны в НФУ, они сложнее, чем в ZFC, по причинам, связанным со стратификацией.

В этом разделе предполагается наличие упорядоченной пары на уровне типов. Определять ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$ в качестве ${ displaystyle (x_ {1}, (x_ {2}, ldots, x_ {n}))}$. Определение общего п-набор с использованием пары Куратовского сложнее, так как нужно сохранять типы всех проекций одинаковыми, а смещение типа между п-набор и его проекции возрастают как п увеличивается. Здесь п-tuple имеет тот же тип, что и каждая из его проекций.

Аналогично определяются общие декартовы произведения: ${ displaystyle A_ {1} times A_ {2} times ldots times A_ {n} = A_ {1} times (A_ {2} times ldots times A_ {n})}$

Определения в ZFC такие же, но без учета стратификации (приведенная здесь группировка противоположна обычно используемой, но это легко исправить).

Теперь рассмотрим бесконечное декартово произведение ${ displaystyle Pi _ {я in I} A_ {я}}$. В ZFC это определяется как набор всех функций ж с доменом я такой, что ${ Displaystyle е (я) в А_ {я}}$ (куда А неявно понимается как функция, принимающая каждый я к ${ displaystyle A_ {i}}$).

В NFU это требует внимания к шрифту. Учитывая набор я и установить оценочную функцию А чья ценность в ${ Displaystyle {я }}$ в ${ Displaystyle P_ {1} (I)}$ написано ${ displaystyle A_ {i}}$, Определять ${ displaystyle Pi _ {я in I} A_ {я}}$ как набор всех функций ж с доменом я такой, что ${ displaystyle f (i) in A_ {i}}$: Заметь ${ Displaystyle е (я) в А_ {я} = А ( {я })}$ стратифицирован из-за нашего соглашения, что А - функция со значениями в одиночных точках индексов. Обратите внимание, что самые большие семейства наборов (которые не могут быть проиндексированы наборами синглтонов) не будут иметь декартовых произведений в соответствии с этим определением. Отметим далее, что множества ${ displaystyle A_ {i}}$ имеют тот же тип, что и индексный набор я (поскольку на один тип выше своих элементов); продукт, как набор функций с доменом я (то есть того же типа, что и я) на один тип выше (при условии наличия упорядоченной пары на уровне типов).

Теперь рассмотрим продукт ${ displaystyle Pi _ {я in I} | A_ {i} |}$ кардиналов этих наборов. Мощность |${ displaystyle Pi _ {я in I} A_ {я}}$| на один тип выше кардиналов ${ displaystyle | A_ {i} |}$, поэтому правильным определением бесконечного произведения кардиналов будет ${ Displaystyle T ^ {- 1} (| Pi _ {я in I} A_ {я} |)}$ (поскольку обратная величина T не является полной, возможно, этого не существует).

Повторите это для непересекающихся объединений семейств множеств и сумм семейств кардиналов. Опять же, пусть А - многозначная функция с областью определения ${ Displaystyle P_ {1} (I)}$: записывать ${ displaystyle A_ {i}}$ за ${ Displaystyle А ( {я })}$. Несвязный союз ${ displaystyle Sigma _ {я in I} A_ {я}}$ это набор ${ Displaystyle {(я, а) середина а в А_ {я} }}$. Этот набор того же типа, что и наборы ${ displaystyle A_ {i}}$.

Правильное определение суммы ${ displaystyle Sigma _ {я in I} | A_ {i} |}$ таким образом ${ displaystyle | Sigma _ {я in I} A_ {i} |}$, так как смещения типа нет.

Эти определения можно расширить для обработки наборов индексов, которые не являются наборами синглтонов, но это вводит дополнительный уровень типа и не требуется для большинства целей.

В ZFC определите непересекающееся объединение ${ displaystyle Sigma _ {я in I} A_ {я}}$ в качестве ${ Displaystyle {(я, а) середина а в А_ {я} }}$, куда ${ displaystyle A_ {i}}$ сокращает ${ Displaystyle А (я)}$.

Методы перестановки могут использоваться, чтобы показать относительную согласованность с NFU утверждения, что для каждого строго канторианского множества A существует множество я того же размера, элементы которого являются самооднородными: ${ Displaystyle я = {я }}$ для каждого я в я.

Кумулятивная иерархия

В ZFC определить совокупная иерархия как порядково-индексированная последовательность множеств, удовлетворяющая следующим условиям: ${ Displaystyle V_ {0} = emptyset}$; ${ displaystyle V _ { alpha +1} = P (V _ { alpha})}$; ${ Displaystyle V _ { lambda} = bigcup {V _ { beta} mid beta < lambda }}$ для предельных ординалов ${ displaystyle lambda}$. Это пример конструкции трансфинитная рекурсия. Ранг набора А как говорят ${ displaystyle alpha}$ если и только если ${ displaystyle A in V _ { alpha +1} -V _ { alpha}}$. Существование рангов как множеств зависит от аксиомы замены на каждом предельном шаге (иерархия не может быть построена в Теория множеств Цермело ); по аксиоме основания каждое множество принадлежит некоторому рангу.

Кардинал ${ displaystyle | P (V _ { omega + alpha}) |}$ называется ${ displaystyle beth _ { alpha}}$.

Это строительство не может быть выполнено в НФУ поскольку работа набора мощности не является установленной функцией в НФУ (${ Displaystyle P (A)}$ на один тип выше, чем A для целей стратификации).

Последовательность кардиналов ${ displaystyle beth _ { alpha}}$ может быть реализован в НФУ. Напомним, что ${ displaystyle 2 ^ {| A |}}$ определяется как ${ Displaystyle T ^ {- 1} (| {0,1 } ^ {A} |)}$, куда ${ displaystyle {0,1 }}$ удобный набор размера 2, и ${ Displaystyle | {0,1 } ^ {A} | = | P (A) |}$. Позволять ${ displaystyle beth}$ быть наименьшим набором кардиналов, который содержит ${ displaystyle | N |}$ (мощность множества натуральных чисел), содержит кардинал ${ displaystyle 2 ^ {| A |}}$ всякий раз, когда он содержит ${ displaystyle | A |}$, замкнутое относительно супремумов множеств кардиналов.

Соглашение о порядковом индексировании любого хорошо упорядоченного ${ displaystyle W _ { alpha}}$ определяется как элемент Икс области ${ displaystyle W}$ такой, что тип ордера ограничения ${ displaystyle W}$ к ${ displaystyle {y mid yWx }}$ является ${ displaystyle alpha}$; затем определите ${ displaystyle beth _ { alpha}}$ как элемент с индексом ${ displaystyle alpha}$ в естественном порядке на элементах ${ displaystyle beth}$. Кардинал ${ displaystyle aleph _ { alpha}}$ это элемент с индексом ${ displaystyle alpha}$ в естественном порядке на всех бесконечных кардиналах (что является хорошим порядком, см. выше). Обратите внимание, что ${ displaystyle aleph _ {0} = | N |}$ сразу следует из этого определения. Обратите внимание, что во всех этих конструкциях тип индекса ${ displaystyle alpha}$ на два выше (с упорядоченной парой на уровне типов), чем тип ${ displaystyle W _ { alpha}}$.

Каждый набор А ZFC имеет переходное замыкание ${ Displaystyle TC (A)}$ (пересечение всех транзитивных множеств, содержащее А). По аксиоме основания ограничение отношения принадлежности к транзитивному замыканию А это обоснованные отношения. Соотношение ${ displaystyle in lceil TC (A)}$ либо пусто, либо имеет А как его верхний элемент, поэтому это отношение является установить картинку. В ZFC можно доказать, что каждое изображение множества изоморфно некоторому ${ displaystyle in lceil TC (A)}$.

Это говорит о том, что (начальный сегмент) кумулятивной иерархии можно изучать, рассматривая классы изоморфизма установленных изображений. Эти классы изоморфизма являются наборами и составляют набор в НФУ. Существует естественное отношение множества, аналогичное членству в классах изоморфизма изображений множества: если ${ displaystyle x}$ это установленное изображение, напишите ${ Displaystyle [х]}$ для его класса изоморфизма и определим ${ Displaystyle [х] Е [у]}$ как холдинг, если ${ Displaystyle [х]}$ является классом изоморфизма ограничения у закрытию снизу одного из элементов прообраза под у верхнего элемента у. Отношение E - это установленное отношение, и легко доказать, что оно хорошо обосновано и экстенсионально. Если определение E сбивает с толку, из наблюдения можно сделать вывод, что оно вызвано именно отношением, которое имеет место между установленным изображением, связанным с А и установленное изображение, связанное с B когда ${ displaystyle A in B}$ в обычной теории множеств.

Существует операция T над классами изоморфизма изображений множества, аналогичная операции T над ординалами: если Икс это установленная картина, так это ${ displaystyle x ^ { iota} = {( {a }, {b }) mid (a, b) in x }}$. Определять ${ Displaystyle Т ([х])}$ в качестве ${ Displaystyle [х ^ { iota}]}$. Легко заметить, что ${ displaystyle [x] E [y] leftrightarrow T ([x]) = T ([y])}$.

Аксиома экстенсиональности для этой смоделированной теории множеств следует из экстенсиональности E. Из его обоснованности следует аксиома основания. Остается вопрос, какое понимание может иметь аксиома E. Рассмотрим любую коллекцию заданных картинок ${ Displaystyle {х ^ { йота} середина х в S }}$ (набор заданных изображений, поля которых полностью состоят из одиночных изображений). Поскольку каждый ${ Displaystyle х ^ { йота}}$ на один тип выше, чем x (с использованием упорядоченной пары на уровне типа), заменяя каждый элемент ${ Displaystyle {а }}$ поля каждого ${ Displaystyle х ^ { йота}}$ в коллекции с ${ Displaystyle (х, {а })}$ приводит к тому, что набор изображений изоморфен исходной коллекции, но их поля не пересекаются. Объединение этих наборов изображений с новым верхним элементом дает набор изображений, тип изоморфизма которого будет иметь в качестве своих прообразов под E в точности элементы исходной коллекции. То есть для любого набора типов изоморфизма ${ Displaystyle [х ^ { iota}] = Т ([х])}$, существует тип изоморфизма ${ displaystyle [y]}$ прообраз под E и есть этот набор.

В частности, будет тип изоморфизма [v] прообраз под E является набором все Т[Икс] (включая Т[v]). С Т[v] E v и E хорошо обосновано, ${ Displaystyle Т [v] neq v}$. Это напоминает разрешение парадокса Бурали – Форти, обсуждавшееся выше и в Новые основы статья, и фактически является местным решением Парадокс Мириманова набора всех обоснованных наборов.

Существуют ранги классов изоморфизма изображений множеств так же, как ранги множеств в обычной теории множеств. Для любой коллекции заданных картинок А, определять S(А) как множество всех классов изоморфизма изображений множества, прообраз которых под E является подмножеством A; называют A "полным" набором, если каждое подмножество А является прообразом под E. Совокупность "рангов" - это наименьший набор, содержащий пустое множество и замкнутый при операции S (которая является своего рода конструкцией степенного множества) и при объединении его подколлекций. Несложно доказать (как и в обычной теории множеств), что ранги хорошо упорядочены по включению, и поэтому ранги имеют индекс в этом хорошем порядке: ссылаться на ранг с индексом ${ displaystyle alpha}$ в качестве ${ displaystyle R _ { alpha}}$. Доказано, что ${ displaystyle | R _ { alpha} | = beth _ { alpha}}$ для полных рангов ${ displaystyle R _ { alpha}}$. Объединение полных рангов (которое будет первым неполным рангом) с отношением E выглядит как начальный сегмент вселенной теории множеств в стиле Цермело (не обязательно как полная вселенная теории множеств). ZFC потому что он может быть недостаточно большим). Доказано, что если ${ displaystyle R _ { alpha}}$ это первый неполный ранг, то ${ Displaystyle R_ {Т ( альфа)}}$ является полным рангом и, следовательно, ${ Displaystyle Т ( альфа) < альфа}$. Таким образом, существует «ранг кумулятивной иерархии» с «внешним автоморфизмом» T, перемещающим ранг вниз, в точности условие нестандартной модели ранга в кумулятивной иерархии, при котором модель NFU строится в Новые основы статья. Есть технические детали для проверки, но есть интерпретация не только фрагмента ZFC но из НФУ себя в этой структуре, с ${ displaystyle [x] in _ {NFU} [y]}$ определяется как ${ Displaystyle Т ([х]) Е [у] клин [у] в R_ {Т ( альфа) +1}}$: это "отношение" ${ displaystyle E_ {NFU}}$ не является отношением набора, но имеет такое же смещение типов между своими аргументами, что и обычное отношение принадлежности ${ displaystyle in}$.

Таким образом, внутри NFU существует естественная конструкция кумулятивной иерархии множеств, которая усваивает естественную конструкцию модели NFU в теории множеств в стиле Цермело.

Согласно аксиоме канторианских множеств, описанной в Новые основы В статье строго канторианская часть множества классов изоморфизма множества изображений с отношением E, поскольку членство становится моделью (собственно класса) ZFC (в которой есть п-Мало кардиналов для каждогоп; это расширение NFU строго сильнее, чем ZFC). Это правильная модель классов, потому что классы строго канторианского изоморфизма не составляют набор.

Методы перестановки могут быть использованы для создания из любой модели NFU модели, в которой каждый тип строго канторианского изоморфизма множества изображений фактически реализуется как ограничение истинного отношения принадлежности к транзитивному замыканию множества.

Смотрите также

• Аксиоматическая теория множеств

Рекомендации

• Кейт Девлин, 1994. Радость наборов, 2-е изд. Springer-Verlag.
• Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным множеством. Academia-Bruylant. Издатель любезно согласился разрешить распространение этого введения в NFU через Интернет. Авторские права защищены.
• Поттер, Майкл, 2004. Теория множеств и ее философия, 2-е изд. Oxford Univ. Нажмите.
• Суппес, Патрик, 1972 г. Аксиоматическая теория множеств. Дувр.
• Турлакис, Джордж, 2003. Лекции по логике и теории множеств, Vol. 2. Cambridge Univ. Нажмите.

внешняя ссылка

• Метамат: Веб-сайт, посвященный продолжающемуся выведению математики из аксиом ZFC и логика первого порядка.
• Стэнфордская энциклопедия философии:
  • Новые основы Куайна - Томас Форстер.
  • Альтернативные аксиоматические теории множеств - Рэндалл Холмс.
• Рэндалл Холмс: Домашняя страница New Foundations