Введение в Circle Packing - Википедия - Introduction to Circle Packing

Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций математический монография относительно систем касательные круги и теорема об упаковке кругов. Он был написан Кеннетом Стивенсоном и опубликован в 2005 г. Издательство Кембриджского университета.

Темы

Упаковки кругов, как это изучается в этой книге, представляют собой системы кругов, которые касаются точек касания, но не перекрываются, в соответствии с комбинаторным шаблоном смежностей, определяющим, какие пары кругов должны соприкасаться. В теорема об упаковке кругов утверждает, что упаковка кругов существует тогда и только тогда, когда образец смежности образует планарный граф; это было первоначально доказано Пол Кобе в 1930-е гг. Уильям Терстон, который заново открыл его в 1970-х годах и связал с теорией конформные карты и конформная геометрия.^[1] В качестве темы это следует отличать от упаковка сфер, который рассматривает более высокие измерения (здесь все двумерно) и больше ориентирован на плотность упаковки чем на комбинаторных образцах касания.^[2][3]

Книга разделена на четыре части с прогрессивным уровнем сложности.^[4] Первая часть знакомит с предметом визуально, побуждая читателя думать об упаковках не просто как о статических объектах, а как о динамических системах кругов, которые изменяются предсказуемым образом при изменении условий, в которых они формируются (их паттерны смежности). Вторая часть касается доказательства самой теоремы об упаковке кругов и связанных с ней теорема жесткости: каждый максимальный планарный граф могут быть связаны с упаковкой кругов, уникальной с точностью до Преобразования Мебиуса самолета.^[1][3] В более общем плане тот же результат справедлив для любой триангулированной многообразие, с упаковкой кругов на топологически эквивалентном Риманова поверхность единственное с точностью до конформной эквивалентности.^[5]

Третья часть книги касается степеней свободы, которые возникают, когда образец смежности не полностью триангулирован (это планарный граф, но не максимальный планарный граф). В этом случае различные расширения этого шаблона на более крупные максимальные плоские графы приведут к разным упаковкам, которые могут быть сопоставлены друг другу соответствующими кругами. В книге исследуется связь между этими отображениями, которые она называет дискретными аналитическими функциями, и аналитические функции классических математический анализ. Заключительная часть книги касается гипотезы Уильяма Терстона, доказанной Бертон Родин и Деннис Салливан, что делает эту аналогию конкретной: конформные отображения любого топологического диска в круг можно аппроксимировать, заполнив диск гексагональной упаковкой единичных кругов, найдя упаковку кругов, которая добавляет к этому образцу смежностей один внешний круг, и построив полученная дискретная аналитическая функция. Эта часть также включает приложения к теории чисел и визуализации структуры мозга.^[1][3]

Стивенсон реализовал алгоритмы упаковки кругов и использовал их для создания множества иллюстраций книги,^[5] придавая большей части этой работы аромат экспериментальная математика, хотя и математически строгий.^[4] Нерешенные проблемы перечислены в книге, которая также включает девять приложений по связанным темам, таким как кольцевая лемма и Спирали Дойля.^[1][3]

Аудитория и прием

Книга представляет математику исследовательского уровня и предназначена для профессиональных математиков, интересующихся этой и смежными темами. Рецензент Фредерик Матеус описывает уровень материала в книге как «математически строгий и доступный для начинающих математиков», представленный в доступном стиле, который передает любовь автора к материалу.^[6] Однако, хотя в предисловии к книге говорится, что никаких дополнительных знаний не требуется, и что книгу могут читать не математики или использовать в качестве учебника для бакалавров, рецензент Мишель Интермонт не согласен, отмечая, что в ней нет упражнений для студентов и что «Нематематики будут только разочарованы этой книгой».^[2] Аналогично рецензент Дэвид Мамфорд считает, что первые семь глав (часть I и большая часть части II) относятся к уровню бакалавриата, но пишет, что «в целом книга подходит для аспирантов, изучающих математику».^[4]

Рекомендации