Сумма Клоостермана - Kloosterman sum

В математика, а Сумма Клоостермана это особый вид экспоненциальная сумма. Они названы в честь голландского математика. Хендрик Клоостерман, который представил их в 1926 г.^[1] когда он адаптировал Метод круга Харди – Литтлвуда для решения проблемы, связанной с положительно определенный диагональ квадратичные формы в четырех, а не в пяти или более переменных, которые^{[нечеткий ]} он затронул в своей диссертации в 1924 году.^[2]

Позволять а, б, м быть натуральные числа. потом

${ Displaystyle К (а, б; м) = сумма _ { stackrel {0 leq x leq m-1} { gcd (x, m) = 1}} e ^ {{ frac {2 pi i} {m}} (ax + bx ^ {*})}.}$

Здесь Икс* является инверсией Икс по модулю м.

Контекст

Суммы Клоостермана - это конечное кольцо аналог Функции Бесселя. Они встречаются (например) в разложении Фурье модульные формы.

Есть приложения к значения величин с участием Дзета-функция Римана, простые числа в коротких интервалах, простые числа в арифметических прогрессиях, спектральная теория автоморфных функций и смежные вопросы.

Свойства сумм Клоостермана

• Если а = 0 или же б = 0 то сумма Клоостермана сводится к Рамануджанская сумма.
• K(а, б; м) зависит только от класса остатка а и б по модулю м. более того K(а, б; м) = K(б, а; м) и K(ac, б; м) = K(а, до н.э; м) если gcd (c, м) = 1.
• Позволять м = м₁м₂ с м₁ и м₂ coprime. выбирать п₁ и п₂ такой, что п₁м₁ ≡ 1 мод м₂ и п₂м₂ ≡ 1 мод м₁. потом

${ Displaystyle К (a, b; m) = K left (n_ {2} a, n_ {2} b; m_ {1} right) K left (n_ {1} a, n_ {1} b ; m_ {2} right).}$

Это сводит оценку сумм Клоостермана к случаю, когда м = п^k для простого числа п и целое число k ≥ 1.

• Значение K(а, б; м) всегда алгебраический настоящий номер. Фактически K(а, б; м) является элементом подполя ${ Displaystyle К подмножество mathbb {R}}$ который является составом полей

${ Displaystyle mathbb {Q} left ( zeta _ {p ^ { alpha}} + zeta _ {p ^ { alpha}} ^ {- 1} right)}$

куда п пробегает все нечетные простые числа, такие что п^α || м и

${ displaystyle mathbb {Q} left ( zeta _ {2 ^ { alpha -1}} + zeta _ {2 ^ { alpha -1}} ^ {- 1} right)}$

за 2^α || м с α > 3.

• Личность Сельберга:

${ Displaystyle К (а, б; м) = сумма _ {д середина НОД (а, б, м)} д CDOT К влево ({ tfrac {ab} {d ^ {2}}} , 1; { tfrac {m} {d}} right).}$

было заявлено Атле Сельберг и впервые доказано Кузнецовым с помощью спектральная теория из модульные формы. В настоящее время известны элементарные доказательства этого тождества.^[3]

• За п нечетное простое число, нет известной простой формулы для K(а, б; п), а Гипотеза Сато – Тэйта предполагает, что ничего не существует. Однако приведенные ниже формулы подъема часто так же хороши, как и явная оценка. Если gcd (а, п) = 1 у одного также есть важное преобразование:

${ displaystyle K (a, a; p) = sum _ {m = 0} ^ {p-1} left ({ frac {m ^ {2} -4a ^ {2}} {p}} справа) e ^ { frac {2 pi im} {p}},}$

куда ${ displaystyle left ({ tfrac { ell} {m}} right)}$ обозначает Символ Якоби.

• Позволять м = п^k с k > 1, п премьер и принять gcd (п, 2ab) = 1. Потом:

${ displaystyle K (a, b; m) = { begin {case} 2 left ({ frac { ell} {m}} right) { sqrt {m}} { text {Re}} left ( varepsilon _ {m} e ^ { frac {4 pi i ell} {m}} right) & left ({ tfrac {a} {p}} right) = left ( { tfrac {b} {p}} right) 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

куда ℓ выбирается так, чтобы ℓ² ≡ ab мод м и ε_м определяется следующим образом (заметим, что м нечетно):

${ displaystyle varepsilon _ {m} = { begin {cases} 1 & m Equiv 1 { bmod {4}} i & m Equiv 3 { bmod {4}} end {cases}}}$

Эта формула была впервые найдена Гансом Сали.^[4] и в литературе есть много простых доказательств.^[5]

Оценки

Поскольку суммы Клоостермана входят в разложение Фурье модулярных форм, оценки сумм Клоостермана также дают оценки коэффициентов Фурье модулярных форм. Самая известная оценка принадлежит Андре Вайль и заявляет:

${ displaystyle | K (a, b; m) | leq tau (m) { sqrt { gcd (a, b, m)}} { sqrt {m}}.}$

Здесь ${ Displaystyle тау (м)}$ - количество положительных делителей числа м. Ввиду мультипликативных свойств сумм Клоостермана эти оценки сводятся к случаю, когда м это простое число п. Фундаментальный прием Вейля снижает оценку

${ Displaystyle | К (а, б; р) | leq 2 { sqrt {p}},}$

когда ab ≠ 0 к его результатам на локальные дзета-функции. Геометрически сумма берется по «гиперболе». XY = ab и мы рассматриваем это как определение алгебраическая кривая над конечным полем с п элементы. Эта кривая имеет разветвленный Покрытие Артина – Шрайера C, а Вейль показал, что локальная дзета-функция C имеет факторизацию; это L-функция Артина теория для случая глобальные поля которые являются функциональными полями, для которых Вейль приводит в качестве ссылки статью Дж. Вайссинджера 1938 г. (в следующем году он дал статью 1935 г. Hasse как более ранняя ссылка на идею; учитывая довольно уничижительное замечание Вейля о способности теоретиков-аналитиков самостоятельно разработать этот пример, в его Сборник статей, эти идеи предположительно были «фольклором» довольно давно). Неполярные факторы относятся к типу 1 − Kt, куда K это сумма Клоостермана. Оценка следует из основной работы Вейля 1940 года.

Фактически, этот метод показывает в более общем плане, что полные экспоненциальные суммы "вдоль" алгебраических многообразий имеют хорошие оценки в зависимости от Гипотезы Вейля в размере> 1. Это было продвинуто намного дальше Пьер Делинь, Жерар Лаумон, и Николас Кац.

Короткие суммы Клоостермана

В нейтралитет этой статьи оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. Пожалуйста, не удаляйте это сообщение, пока условия для этого выполнены. (Март 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Короткие суммы Клоостермана определяются как тригонометрические суммы вида

${ displaystyle sum _ {n in A} exp left (2 pi i { frac {an ^ {*} + bn} {m}} right),}$

куда п проходит через множество А чисел, взаимно простых с м, количество элементов ${ Displaystyle | А |}$ в котором существенно меньше, чем м, а символ ${ Displaystyle п ^ {*}}$ обозначает класс конгруэнции, обратный к п по модулю м: ${ displaystyle nn ^ {*} Equiv 1 { bmod {m}}.}$

До начала 1990-х годов оценки сумм такого типа были известны в основном в том случае, когда число слагаемых было больше √м. Такие оценки были связаны с Х. Д. Клоостерман, Виноградов И. М., Х. Сали, Л. Карлитц, С. Учияма и А. Вайль. Единственным исключением были специальные модули формы м = п^α, куда п фиксированное простое число, а показатель степени α возрастает до бесконечности (этот случай изучался Постников А.Г. с помощью метода Иван Матвеевич Виноградов ).

В 1990-е годы Анатолий Алексеевич Карацуба развитый^[6][7][8] новый метод оценки коротких сумм Клоостермана. Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, количество слагаемых в которых не превышает ${ Displaystyle м ^ { varepsilon}}$, а в некоторых случаях даже ${ Displaystyle ехр {( ln м) ^ {2/3 + varepsilon} }}$, куда ${ displaystyle varepsilon> 0}$ - сколь угодно малое фиксированное число. Последняя статья А.А. Карацуба на эту тему ^[9] был опубликован после его смерти.

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение при решении следующих задач аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида:

${ displaystyle { sum _ {n leq x}} ' left {{ frac {an ^ {*} + bn} {m}} right }, { sum _ {p leq x} } ' left {{ frac {ap ^ {*} + bp} {m}} right },}$

куда п проходит один за другим целые числа, удовлетворяющие условию ${ Displaystyle (п, м) = 1}$, и п пробегает простые числа, не делящие модуль м (А.А. Карацуба);

• оценка снизу числа решений неравенств вида:

${ displaystyle alpha < left {{ frac {an ^ {*} + bn} {m}} right } leq beta}$

в целых числах п, 1 ≤ п ≤ Икс, взаимно проста с м, ${ Displaystyle х <{ sqrt {m}}}$ (А.А.Карацуба);

• точность приближения произвольного действительного числа в отрезке [0, 1] по дробным частям формы:

${ displaystyle left {{ frac {an ^ {*} + bn} {m}} right },}$

куда ${ Displaystyle 1 Leq п Leq х, (п, м) = 1, х <{ sqrt {m}}}$ (А.А.Карацуба);

• более точная константа c в Теорема Бруна – Титчмарша.  :

${ displaystyle pi (x; q, l) <{ frac {cx} { varphi (q) ln { frac {2x} {q}}}},}$

куда ${ Displaystyle пи (х; д, л)}$ это количество простых чисел п, не превышающий Икс и принадлежащие арифметической прогрессии ${ Displaystyle п эквив л { bmod {q}}}$ (Дж. Фридлендер, Х. Иванец );

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида: п³ + 2, N < п ≤ 2N.(Д. Р. Хит-Браун );

• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида: а² + б⁴.(Дж. Фридлендер, Х. Иванец );

• комбинаторные свойства множества чисел (А.А. Глибичук):

${ displaystyle n ^ {*} { bmod {m}}, 1 leq n leq m ^ { varepsilon}.}$

Повышение сумм Клоостермана

Хотя суммы Клоостермана не могут быть вычислены в целом, они могут быть «подняты» до полей алгебраических чисел, что часто дает более удобные формулы. Позволять ${ Displaystyle тау}$ быть целым числом без квадратов с ${ Displaystyle НОД ( тау, м) = 1.}$ Предположим, что для любого простого множителя п из м у нас есть

${ displaystyle left ({ frac { tau} {p}} right) = - 1.}$

Тогда для всех целых чисел а, б взаимно простой с м у нас есть

${ displaystyle K (a, b; m) = (- 1) ^ { Omega (m)} sum _ { stackrel {v, w { bmod {m}}} {v ^ {2} - tau w ^ {2} Equiv ab { bmod {m}}}} e ^ { frac {4 pi iv} {m}}.}$

Здесь Ω (м) количество простых делителей м считая множественность. Сумму справа можно интерпретировать как сумму более алгебраические целые числа в поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt { tau}}).}$ Эта формула принадлежит Янбо Е, вдохновленному Дон Загир и продление работы Эрве Жаке и Е на относительной формула следа за GL (2).^[10] Действительно, можно поднять гораздо более общие экспоненциальные суммы.^[11]

Формула следа Кузнецова

Кузнецов или относительный след формула связывает суммы Клоостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфные формы. Первоначально это можно было сформулировать так. Позволять ${ displaystyle g: mathbb {R} to mathbb {R}}$ быть достаточно "хорошо себя "функция. Тогда можно назвать тождества следующего типа Формула следа Кузнецова:

${ displaystyle sum _ {c Equiv 0 { bmod {N}}} c ^ {- r} K (m, n, c) g left ({ frac {4 pi { sqrt {mn}) }} {c}} right) = { text {Интегральное преобразование}} + { text {Спектральные условия}}.}$

Часть интегрального преобразования - это некоторая интегральное преобразование из грамм а спектральная часть представляет собой сумму коэффициентов Фурье, взятых над пространствами голоморфных и неголоморфных модулярных форм, скрученных с некоторым интегральным преобразованием грамм. Формула следа Кузнецова была найдена Кузнецовым при изучении роста автоморфных функций с нулевым весом.^[12] Используя оценки сумм Клоостермана, он смог получить оценки коэффициентов Фурье модулярных форм в случаях, когда Пьер Делинь доказательство Гипотезы Вейля не применимо.

Позже он был переведен Жаке на теоретические представления рамки. Позволять грамм быть восстановительная группа через числовое поле F и ${ Displaystyle H подмножество G}$ быть подгруппой. Хотя обычный формула следа изучает гармонический анализ на грамм, формула относительного следа - инструмент для изучения гармонического анализа на симметричное пространство грамм/ЧАС. Для обзора и многочисленных приложений смотрите ссылки.^[13]

История

Теперь оценку Вейля можно изучить в В. М. Шмидт, Уравнения над конечными полями: элементарный подход, 2-е изд. (Кендрик Пресс, 2004). Основные идеи здесь связаны с С. Степанов и черпать вдохновение из Аксель Туэ работает в Диофантово приближение.

Между суммами Клоостермана и модульные формы. Фактически, суммы впервые появились (без названия) в газете 1912 г. Анри Пуанкаре на модульных формах. Ханс Салье ввел форму суммы Клоостермана, которая скручивается на Dirichlet персонаж:^[14] Такой Суммы Салье иметь элементарную оценку.^[4]

После открытия важных формул, связывающих суммы Клоостермана с неголоморфные модульные формы Кузнецовым в 1979 году, который содержал некоторую «среднюю экономию» по сравнению с оценкой квадратного корня, были дальнейшие разработки Иванец и Deshouillers в основополагающей статье в Inventiones Mathematicae (1982). Последующие приложения к аналитической теории чисел были разработаны рядом авторов, в частности Bombieri, Фуври, Фридлендер и Иванец.

Поле остается несколько недоступным. Подробное введение в спектральная теория необходимые для понимания формул Кузнецова даны в R.C.Baker, Суммы Клоостермана и формы Маасса, т. I (Кендрик пресс, 2003). Также актуальным для студентов и исследователей, заинтересованных в этой области, является Иванец и Ковальский (2004).

Итан Чжан использовал суммы Клоостермана в своем доказательстве ограниченных пробелов между простыми числами.^[15]

Примечания

Рекомендации

• Архипов, Г.И .; Чубариков, В.Н .; Карацуба, А.А. (2004). Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе. выставки де Грюйтера по математике. 39. Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-016266-0. Zbl  1074.11043.
• Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел. Публикации коллоквиума. 53. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3633-1. Zbl  1059.11001.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997). Конечные поля. Энциклопедия математики и ее приложений. 20 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.
• Вайль, Андре (1948). «О каких-то экспоненциальных суммах». Proc. Natl. Акад. Sci. 34: 204–207. Zbl  0032.26102. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Клоостермана». MathWorld.
• "Сумма Клоостермана". PlanetMath.