Закон полной вероятности - Law of total probability

В теория вероятности, то закон (или же формула) полной вероятности это фундаментальное правило, касающееся предельные вероятности к условные вероятности. Он выражает общую вероятность результата, который может быть реализован с помощью нескольких различных События - отсюда и название.

Заявление

Закон полной вероятности^[1] а теорема в котором говорится, если ${ displaystyle left {{B_ {n}: n = 1,2,3, ldots} right }}$ является конечным или счетно бесконечный раздел из пространство образца (другими словами, набор попарно непересекающиеся События чей союз это все пространство выборки) и каждое событие ${ displaystyle B_ {n}}$ является измеримый, то на любое мероприятие ${ displaystyle A}$ того же самого вероятностное пространство:

{ Displaystyle P (A) = сумма _ {n} P (A cap B_ {n})}

или, альтернативно,^[1]

{ Displaystyle P (A) = сумма _ {n} P (A mid B_ {n}) P (B_ {n}),}

где для любого ${ displaystyle n}$ для которого ${ displaystyle P (B_ {n}) = 0}$ эти члены просто опускаются при суммировании, потому что ${ displaystyle P (A mid B_ {n})}$ конечно.

Суммирование можно интерпретировать как средневзвешенное, и, следовательно, предельная вероятность, ${ Displaystyle P (A)}$ , иногда называют «средней вероятностью»;^[2] «общая вероятность» иногда используется в менее формальных текстах.^[3]

Закон полной вероятности также может быть сформулирован для условных вероятностей.

{ Displaystyle P (A mid C) = sum _ {n} P (A mid C cap B_ {n}) P (B_ {n} mid C)}

Принимая ${ displaystyle B_ {n}}$ как указано выше, и предполагая ${ displaystyle C}$ это событие независимый любого из ${ displaystyle B_ {n}}$ :

{ displaystyle P (A mid C) = sum _ {n} P (A mid C cap B_ {n}) P (B_ {n})}

Неформальная формулировка

Вышеупомянутое математическое утверждение можно интерпретировать следующим образом: учитывая событие ${ displaystyle A}$ , с известными условными вероятностями при любом из ${ displaystyle B_ {n}}$ событий, каждое с известной вероятностью, какова общая вероятность того, что ${ displaystyle A}$ случится? Ответ на этот вопрос дает ${ Displaystyle P (A)}$ .

Пример

Предположим, что две фабрики поставляют лампочки На рынок. Фабрика Икслампочки работают более 5000 часов в 99% случаев, тогда как заводские Yлампы работают более 5000 часов в 95% случаев. Известно, что завод Икс поставляет 60% от общего количества ламп, а Y поставляет 40% от общего количества ламп. Каков шанс, что купленная лампочка проработает более 5000 часов?

Применяя закон полной вероятности, имеем:

{ Displaystyle { begin {align} P (A) & = P (A mid B_ {X}) cdot P (B_ {X}) + P (A mid B_ {Y}) cdot P (B_ {Y}) [4pt] & = {99 over 100} cdot {6 over 10} + {95 over 100} cdot {4 over 10} = {{594 + 380} over 1000 } = {974 более 1000} end {align}}}

куда

${ Displaystyle P (B_ {X}) = {6 более 10}}$ вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на заводе Икс;
${ Displaystyle P (B_ {Y}) = {4 более 10}}$ вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на заводе Y;
${ displaystyle P (A mid B_ {X}) = {99 более 100}}$ вероятность того, что лампа изготовлена Икс проработает более 5000 часов;
${ displaystyle P (A mid B_ {Y}) = {95 более 100}}$ вероятность того, что лампа изготовлена Y проработает более 5000 часов.

Таким образом, каждая приобретенная лампочка имеет шанс 97,4% проработать более 5000 часов.

Другие имена

Период, термин закон полной вероятности иногда используется для обозначения закон альтернатив, который является частным случаем закона полной вероятности, применяемого к дискретные случайные величины.^{[нужна цитата ]} Один автор использует терминологию «Правила средних условных вероятностей»,^[4] в то время как другой называет его «непрерывным законом альтернатив» в непрерывном случае.^[5] Этот результат дают Гриммет и Уэлш.^[6] как теорема о разделах, имя, которое они также дают закон полного ожидания.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр.31.
^ Пол Э. Пфайффер (1978). Концепции теории вероятностей. Courier Dover Publications. С. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
^ Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников. Для чайников. п. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
^ Джим Питман (1993). Вероятность. Springer. п. 41. ISBN 0-387-97974-3.
^ Кеннет Баклавски (2008). Введение в вероятность с R. CRC Press. п. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.
^ Вероятность: введение, к Джеффри Гримметт и Доминик Уэлш, Oxford Science Publications, 1986, теорема 1B.