Вычислительные методы светового фронта - Light-front computational methods

Световой конус специальной теории относительности. Квантование светового фронта использует координаты светового фронта (или светового конуса) для выбора начальной поверхности, касательной к световому конусу. Квантование через равные промежутки времени использует начальную горизонтальную поверхность, обозначенную здесь как «гиперповерхность настоящего».

В световое фронтальное квантование^[1][2][3] из квантовые теории поля представляет собой полезную альтернативу обычному равновременному квантование. В частности, это может привести к релятивистский описание связанные системы с точки зрения квантово-механический волновые функции. Квантование основано на выборе координат светового фронта,^[4] куда ${ Displaystyle х ^ {+} эквив CT + Z}$ играет роль времени, и соответствующая пространственная координата ${ Displaystyle х ^ {-} эквив CT-Z}$. Здесь, ${ displaystyle t}$ это обычное время, ${ displaystyle z}$ является одним Декартова координата, и ${ displaystyle c}$ это скорость света. Две другие декартовы координаты, ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, нетронутые и часто называемые поперечными или перпендикулярными, обозначаются символами типа ${ displaystyle { vec {x}} _ { perp} = (x, y)}$. Выбор точка зрения где время ${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle z}$-оси определены в точно решаемой релятивистской теории, но в практических расчетах некоторые варианты могут быть более подходящими, чем другие.

Решение гамильтонова уравнения собственных значений LFQCD будет использовать доступные математические методы квантовой механики и внесет вклад в развитие передовых вычислительных методов для больших квантовых систем, в том числе ядра. Например, в методе дискретного квантования светового конуса (DLCQ),^{[5][6][7][8][9][10]} вводятся периодические условия, при которых импульсы дискретизируются, а размер фоковского пространства ограничивается без нарушения лоренц-инвариантности. Тогда решение квантовой теории поля сводится к диагонализации большого разреженного Эрмитова матрица. Метод DLCQ успешно использовался для получения полного спектра и волновых функций светового фронта в многочисленных модельных квантовых теориях поля, таких как КХД с одним или двумя пространственными измерениями для любого количества ароматы и массы кварков. Расширение этого метода на суперсимметричные теории, SDLCQ,^[11][12] использует тот факт, что гамильтониан светового фронта может быть разложен на множители как произведение повышения и понижения операторы лестницы. SDLCQ предоставил новое понимание ряда суперсимметричных теорий, включая прямые численные доказательства.^[13] для супергравитации / супер-Янга - дуальности Миллса, предположенной Малдасеной.

В основе Фока удобно работать ${ displaystyle {| n: p_ {i} ^ {+}, { vec {p}} _ { perp i} rangle }}$ где импульсы светового фронта ${ Displaystyle { mathcal {P}} ^ {+}}$ и ${ displaystyle { vec { mathcal {P}}} _ { perp}}$ диагональные. Штат ${ displaystyle | { underline {P}} rangle}$ дается разложением

${ displaystyle | { underline {P}} rangle = sum _ {n} int [dx] _ {n} , [d ^ {2} k _ { perp}] _ {n} , psi _ {n} (x, { vec {k}} _ { perp}) | n: xP ^ {+}, x { vec {P}} _ { perp} + { vec {k} } _ { perp} rangle ,,}$

с

${ displaystyle [dx] _ {n} = 4 pi delta (1- sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}) prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {dx_ {i}} {4 pi { sqrt {x_ {i}}}}} ,, ; ; ; [d ^ {2} k _ { perp}] _ {n} = 4 pi ^ {2} delta ( sum _ {i = 1} ^ {n} { vec {k}} _ { perp i}) prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {d ^ {2} k _ { perp i}} {4 pi ^ {2}}} ,.}$

${ displaystyle psi _ {n}}$ интерпретируется как волновая функция вклада состояний с ${ displaystyle n}$ частицы. Проблема собственных значений ${ displaystyle { mathcal {P}} ^ {-} | { underline {P}} rangle = { frac {M ^ {2} + P _ { perp} ^ {2}} {P ^ {+ }}} | { underline {P}} rangle}$ представляет собой систему связанных интегральных уравнений для этих волновых функций. Хотя представленные обозначения поддерживают только один тип частиц, обобщение на более чем один тривиально.

Дискретное квантование светового конуса

Системным подходом к дискретизации проблемы собственных значений является метод DLCQ, первоначально предложенный Паули и Бродским.^[5][6] По сути, это замена интегралов трапециевидными приближениями с равноотстоящими интервалами в продольном и поперечном импульсах.

${ displaystyle p ^ {+} rightarrow { frac {2 pi} {L}} n ,, ; ; { vec {p}} _ { perp} rightarrow ({ frac { pi} {L _ { perp}}} n_ {x}, { frac { pi} {L _ { perp}}} n_ {y}),}$

соответствующий периодические граничные условия на интервалах ${ Displaystyle -L <х ^ {-}$ и ${ Displaystyle -L _ { перп} <х, у$. Шкалы длины ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle L _ { perp}}$ определить разрешающую способность расчета. Поскольку положительная составляющая импульса всегда положительна, предел ${ Displaystyle L rightarrow infty}$ можно обменять на ограничение по целому числу разрешающая способность ${ Displaystyle К экв { гидроразрыва {L} {2 pi}} P ^ {+}}$. Комбинация компонентов импульса, определяющая ${ Displaystyle H _ { rm {LC}} = P ^ {+} { mathcal {P}} ^ {-}}$ тогда не зависит от ${ displaystyle L}$. Доли продольного импульса ${ Displaystyle х_ {я} эквив р_ {я} ^ {+} / Р ^ {+}}$ стать отношениями целых чисел ${ displaystyle n_ {i} / K}$. Поскольку ${ displaystyle n_ {i}}$ все положительны, DLCQ автоматически ограничивает количество частиц не более ${ displaystyle K}$. Когда ограничение на поперечный импульс доставляется через выбранное обрезание, получается конечная матричная задача; однако матрица может быть слишком большой для нынешних численных методов. Затем может быть сделано явное сокращение числа частиц, что соответствует световому конусу приближения Тамма-Данкова. Большой размер основы требует специальных методов диагонализации матрицы; обычно используется Алгоритм Ланцоша. В случае одного измерения пространства легко найти адронный спектр КХД для любых масс и цветов кварков.

Большинство вычислений DLCQ выполняется без нулевых режимов. Однако в принципе любой базис DLCQ с периодическими граничными условиями может включать их как режимы с ограничениями, зависящие от других мод с ненулевым импульсом. Ограничение исходит из пространственного среднего значения Уравнение Эйлера – Лагранжа. для поля. Это уравнение ограничений может быть сложно решить даже для простейших теорий. Однако можно найти приближенное решение, согласующееся с базовыми приближениями самого метода DLCQ.^[14] Это решение генерирует эффективные нулевые взаимодействия для гамильтониана светового фронта.

Расчеты в массивном секторе, которые производятся без нулевых мод, обычно дают правильный ответ. Пренебрежение нулевыми модами только ухудшает сходимость. Единственным исключением являются кубические скалярные теории, в которых спектр простирается до минус бесконечности. Расчет DLCQ без нулевых режимов потребует тщательной экстраполяции для обнаружения этой бесконечности, тогда как расчет, который включает нулевые режимы, дает правильный результат немедленно. Нулевых режимов можно избежать, если использовать антипериодические граничные условия.

Суперсимметричное дискретное квантование светового конуса

Суперсимметричная форма DLCQ (SDLCQ)^[11][12] специально разработан для поддержания суперсимметрии в дискретном приближении. Обычный DLCQ нарушает суперсимметрию членами, которые не выдерживают континуального предела. Конструкция SDLCQ дискретизирует суперзаряд ${ displaystyle Q ^ {-}}$ и определяет гамильтониан ${ Displaystyle { mathcal {P}} ^ {-}}$ соотношением супералгебры ${ displaystyle { mathcal {P}} ^ {-} = {Q ^ {-}, Q ^ {-} } / 2 { sqrt {2}}}$. Диапазон поперечного импульса ограничен простым обрезанием значения импульса. Ожидается, что эффекты нулевых мод исчезнут.

Помимо вычислений спектров, этот метод можно использовать для вычисления математических ожиданий. Одно такое количество, a коррелятор ${ displaystyle langle T ^ {++} (x) T ^ {++} (y) rangle}$ из тензор энергии напряжения, был вычислен как тест Гипотеза Малдасены. Для этого расчета был разработан очень эффективный метод на основе Ланцоша. Самые последние результаты являются прямым доказательством этой гипотезы.^[13]

Поперечная решетка

Метод поперечной решетки^[15][16] объединяет две мощные идеи квантовой теории поля: гамильтоново квантование светового фронта и калибровочную теорию на решетке. Калибровочная теория на решетке - очень популярное средство регулирования для вычислений калибровочных теорий, которые описывают всю видимую материю во Вселенной; в частности, наглядно демонстрируется линейная заключение КХД, которая удерживает кварки и глюоны внутри протонов и нейтронов атомного ядра. В общем, чтобы получить решения квантовой теории поля с ее непрерывно бесконечными степенями свободы, нужно наложить кинематические обрезания или другие ограничения на пространство квантовых состояний. Чтобы устранить ошибки, которые это вносит, можно затем экстраполировать эти обрезания при условии, что существует непрерывный предел, и / или перенормировать наблюдаемые, чтобы учесть степени свободы выше обрезания. Для целей гамильтонова квантования необходимо иметь непрерывное направление времени. В случае гамильтониана квантования светового фронта, помимо непрерывного времени светового фронта ${ displaystyle x ^ {+}}$, необходимо сохранить ${ Displaystyle х ^ {-}}$ непрерывное направление, если нужно сохранить очевидную инвариантность буста Лоренца в одном направлении и включить небольшие энергии светового фронта ${ displaystyle p ^ {-}}$. Следовательно, можно наложить обрезание решетки не более чем на остальные поперечные пространственные направления. Такая калибровочная теория поперечной решетки была впервые предложена Бардином и Пирсоном в 1976 году.^[15]

В большинстве практических расчетов, выполненных с помощью теории калибровочной решетки, использовался еще один ингредиент: расширение цветного диэлектрика. Диэлектрическая формулировка - это такая формулировка, в которой элементы калибровочной группы, генераторами которых являются глюонные поля в случае КХД, заменяются коллективными (размазанными, блокированными и т. Д.) Переменными, которые представляют собой среднее значение по их флуктуациям на малых расстояниях. Эти диэлектрические переменные массивны, несут цвет и образуют эффективную теорию калибровочного поля с минимальным классическим действием в нулевом поле, что означает, что цветовой поток выталкивается из вакуума на классическом уровне. Это сохраняет тривиальность вакуумной структуры на световом фронте, но возникает только при низком импульсном ограничении эффективной теории (соответствующем поперечным шагам решетки порядка 1/2 Фм в КХД). В результате гамильтониан эффективного обрезания изначально плохо ограничен. Цветное диэлектрическое расширение вместе с требованиями восстановления лоренц-симметрии, тем не менее, успешно использовалось для организации взаимодействий в гамильтониане таким образом, чтобы это подходило для практического решения. Самый точный спектр крупно-${ displaystyle N_ {c}}$ глюболы был получен таким образом, а также пион волновые функции светового фронта в согласии с рядом экспериментальных данных.

Базовое квантование светового фронта

Базовый подход квантования светового фронта (BLFQ)^[17] использует разложения в произведения одночастичных базисных функций для представления волновых функций фоковского состояния. Обычно продольные (${ Displaystyle х ^ {-}}$) зависимость представлена ​​в DLCQ базисе плоские волны, а поперечная зависимость представлена ​​двумерным гармонический осциллятор функции. Последние идеальны для применения в ограничивающих полостях и соответствуют световая голографическая КХД.^{[18][19][20][21][22]} Использование произведений одночастичных базисных функций также удобно для включения бозон и фермион статистика, потому что продукты легко (анти) симметризованы. Используя двумерные базисные функции с вращательной симметрией относительно продольного направления (где в качестве примера служат функции гармонического осциллятора), сохраняется квантовое число проекции полного углового момента, что облегчает определение полного углового момента собственных состояний массы. Для приложений без внешнего резонатора, где сохраняется поперечный импульс, a Множитель Лагранжа Метод используется для отделения относительного поперечного движения от движения всей системы.

Первое применение BLFQ к QED решило для электрона в двумерной поперечной ограничивающей полости и показало, как аномальный магнитный момент ведет себя как функция силы полости.^[23] Второе приложение BLFQ к QED, решенное для аномального магнитного момента электрона в свободном пространстве^[24][25] и продемонстрировал согласие с моментом Швингера в соответствующем пределе.

Распространение BLFQ на зависящий от времени режим, а именно на зависящий от времени BLFQ (tBLFQ), является простым и в настоящее время активно разрабатывается. Целью tBLFQ является решение теории поля светового фронта в реальном времени (с или без зависящих от времени фоновых полей). Типичные области применения включают интенсивные лазеры (видеть Квантование светового фронта # Интенсивные лазеры }) и релятивистские столкновения тяжелых ионов.

Метод связанных кластеров светового фронта

Метод связанного кластера светового фронта (LFCC)^[26] представляет собой частную форму усечения для бесконечной связанной системы интегральных уравнений для волновых функций светового фронта. Система уравнений, полученная из теоретико-полевого уравнения Шредингера, также требует регуляризации, чтобы сделать интегральные операторы конечными. Традиционное усечение системы в пространстве Фока, при котором допустимое количество частиц ограничено, обычно нарушает регуляризацию, удаляя бесконечные части, которые в противном случае сокращались бы по сравнению с частями, которые остаются. Хотя есть способы обойти это, они не полностью удовлетворительны.

Метод LFCC позволяет избежать этих трудностей, сокращая набор уравнений совсем другим способом. Вместо того, чтобы сокращать количество частиц, он сокращает способ, которым волновые функции связаны друг с другом; волновые функции высших фоковских состояний определяются волновыми функциями нижних состояний и возведением в степень оператора ${ displaystyle T}$. В частности, собственное состояние записывается в виде ${ displaystyle { sqrt {Z}} е ^ {T} | phi rangle}$, куда ${ displaystyle { sqrt {Z}}}$ коэффициент нормализации и ${ displaystyle | phi rangle}$ государство с минимальным количеством составляющих. Оператор ${ displaystyle T}$ увеличивает число частиц и сохраняет все соответствующие квантовые числа, включая импульс светового фронта. Это в принципе точно, но все же бесконечно, потому что ${ displaystyle T}$ может иметь бесконечное количество членов. Нулевые режимы могут быть включены путем включения их создания в качестве терминов в ${ displaystyle T}$; это порождает нетривиальный вакуум как обобщенное когерентное состояние нулевых режимов.

Сделанное усечение - это усечение ${ displaystyle T}$. Исходная проблема собственных значений становится проблемой собственных значений конечного размера для валентное состояние ${ displaystyle | phi rangle}$, в сочетании с вспомогательными уравнениями для членов, сохраненных в ${ displaystyle T}$:

${ Displaystyle P_ {v} { overline {{ mathcal {P}} ^ {-}}} | phi rangle = { frac {M ^ {2} + P _ { perp} ^ {2}} {P ^ {+}}} | phi rangle, ; ; ; ; (1-P_ {v}) { overline {{ mathcal {P}} ^ {-}}} | phi rangle = 0.}$

Здесь ${ displaystyle P_ {v}}$ является проекцией на валентный сектор, а ${ Displaystyle { overline {{ mathcal {P}} ^ {-}}} Equiv e ^ {- T} { mathcal {P}} ^ {-} e ^ {T}}$ - эффективный гамильтониан LFCC. Проекция ${ displaystyle 1-P_ {v}}$ усечен, чтобы предоставить достаточно вспомогательных уравнений для определения функций в усеченном ${ displaystyle T}$ оператор. Эффективный гамильтониан вычисляется из его Бейкер - расширение Хаусдорфа ${ displaystyle { overline {{ mathcal {P}} ^ {-}}} = { mathcal {P}} ^ {-} + [{ mathcal {P}} ^ {-}, T] + { frac {1} {2}} [[{ mathcal {P}} ^ {-}, T], T] + cdots}$, который может быть завершен в точке, где создается больше частиц, чем удерживается усеченной проекцией ${ displaystyle 1-P_ {v}}$. Использование экспоненты ${ displaystyle T}$ а не какая-то другая функция удобна не только из-за разложения Бейкера-Хаусдорфа, но в более общем смысле потому, что она обратима; в принципе, можно использовать и другие функции, которые также будут обеспечивать точное представление до тех пор, пока не будет выполнено усечение.

Усечение ${ displaystyle T}$ можно обрабатывать систематически. Термины можно классифицировать по количеству аннигилированных составляющих и чистому увеличению количества частиц. Например, в КХД вклады низшего порядка аннигилируют одну частицу и увеличивают сумму на единицу. Это одноглюонное излучение из кварка, рождение кварковой пары из одного глюона и рождение глюонной пары из одного глюона. Каждый из них включает функцию относительного импульса для перехода от одной частицы к двум. Члены более высокого порядка уничтожают больше частиц и / или увеличивают общее количество более чем на одну. Они вносят дополнительный вклад в волновые функции более высокого порядка и даже в волновые функции низкого порядка для более сложных валентных состояний. Например, волновая функция для ${ displaystyle | q { bar {q}} г rangle}$ Фоковское состояние мезона может иметь вклад от члена в ${ displaystyle T}$ что уничтожает ${ displaystyle q { bar {q}}}$ пара и создает пару плюс глюон, когда это действует на состояние валентности мезона ${ displaystyle | q { bar {q}} rangle}$.

Математика метода LFCC берет свое начало в теории многих тел. связанный кластер метод, используемый в ядерная физика и квантовая химия.^[27] Однако физика совсем другая. Метод многих тел работает с состоянием большого количества частиц и использует возведение в степень ${ displaystyle T}$ встроить корреляции возбуждений в высшие одночастичные состояния; количество частиц не меняется. Метод LFCC начинается с небольшого количества компонентов в валентном состоянии и использует ${ displaystyle e ^ {T}}$ строить состояния с большим количеством частиц; метод решения задачи на собственные значения валентного состояния не уточняется.

Вычисление физических наблюдаемых из матричных элементов операторов требует некоторой осторожности. Прямое вычисление потребовало бы бесконечной суммы по пространству Фока. Вместо этого можно позаимствовать из метода связанных кластеров многих тел^[27] конструкция, которая вычисляет значения математического ожидания из правого и левого собственных состояний. Эта конструкция может быть расширена за счет включения недиагональный матричные элементы и калибровочные проекции. Затем физические величины могут быть вычислены из правого и левого собственных состояний LFCC.

Ренормализационная группа

Концепции перенормировки, особенно ренормгруппа методы в квантовых теориях и статистическая механика, имеют долгую историю и очень широкую область применения. Концепции перенормировки, которые кажутся полезными в теориях, квантованных в передней форме динамики, по существу бывают двух типов, как и в других областях теоретической физики. Два типа концепций связаны с двумя типами теоретических задач, связанных с приложениями теории. Одна из задач - вычислить наблюдаемые (значения оперативно определенных величин) в однозначно определенной теории. Другая задача - дать однозначное определение теории. Это объясняется ниже.

Поскольку передняя форма динамики направлена ​​на объяснение адронов как связанных состояний кварков и глюонов, а механизм связывания не может быть описан с помощью теории возмущений, определение теории, необходимое в этом случае, не может ограничиваться пертурбативными разложениями. Например, недостаточно построить теорию, используя упорядочение петлевых интегралов по порядку и, соответственно, переопределяя массы, константы связи и константы нормализации поля также по порядку. Другими словами, необходимо разработать пространственно-временную формулировку релятивистской теории Минковского, не основанную на какой-либо априорной пертурбативной схеме. Фронтальная форма гамильтоновой динамики рассматривается многими исследователями как наиболее подходящая для этой цели структура среди известных вариантов.^[1][2][3]

Желаемое определение релятивистской теории включает в себя вычисления такого количества наблюдаемых, которое необходимо использовать, чтобы зафиксировать все параметры, которые появляются в теории. Связь между параметрами и наблюдаемыми может зависеть от количества степеней свободы, включенных в теорию.

Например, рассмотрим виртуальные частицы в кандидатской формулировке теории. Формально специальная теория относительности требует, чтобы диапазон импульсов частиц был бесконечным, потому что можно изменить импульс частицы на произвольную величину посредством изменения системы отсчета. Если формулировка не предусматривает различения какой-либо инерциальной системы отсчета, частицы должны иметь любое значение количества движения. Поскольку моды квантового поля, соответствующие частицам с разными импульсами, образуют разные степени свободы, требование включения бесконечного количества значений импульса означает, что в теории требуется бесконечное количество степеней свободы. Но по математическим причинам, будучи вынужденным использовать компьютеры для достаточно точных вычислений, человек должен работать с конечным числом степеней свободы. Необходимо ограничить диапазон импульсов некоторым обрезанием.

Создавая теорию с конечным обрезанием по математическим причинам, можно надеяться, что обрезание может быть достаточно большим, чтобы избежать его появления в наблюдаемых, представляющих физический интерес, но в локальных квантовых теориях поля, представляющих интерес для адронной физики, ситуация не такова. просто. А именно, частицы с разными импульсами связаны через динамику нетривиальным образом, и расчеты, направленные на предсказание наблюдаемых, дают результаты, которые зависят от обрезания. Более того, они делают это по-разному.

Параметров отсечки может быть больше, чем просто импульс. Например, можно предположить, что объем пространства ограничен, что будет мешать трансляционной инвариантности теории, или предположить, что количество виртуальных частиц ограничено, что будет мешать предположению, что каждая виртуальная частица может разделиться на более виртуальные частицы. частицы. Все такие ограничения приводят к набору обрезаний, который становится частью определения теории.

Следовательно, каждый результат вычисления для любой наблюдаемой ${ Displaystyle X _ { rm {наблюдаемый}} ( mu)}$ характеризуется своим физическим масштабом ${ displaystyle mu}$ имеет вид функции набора параметров теории, ${ displaystyle p}$, набор отсечений, скажем ${ displaystyle Lambda}$, а масштаб ${ displaystyle mu}$. Таким образом, результаты принимают вид

${ Displaystyle X _ { rm {наблюдаемый}} ( mu) = X _ { rm {theory}} (p, Lambda, mu) ,.}$

Однако эксперименты предоставляют значения наблюдаемых, которые характеризуют естественные процессы, независимо от ограничений в теории, используемой для их объяснения. Если ограничения не описывают свойства природы и вводятся просто для того, чтобы сделать теорию вычислимой, необходимо понять, как зависимость от ${ displaystyle Lambda}$ может выпасть из ${ Displaystyle X _ { rm {теория}} (p, Lambda, mu)}$. Ограничения могут также отражать некоторые естественные особенности рассматриваемой физической системы, например, в модельном случае ультрафиолетового обрезания волновых векторов звуковых волн в кристалле из-за расстояния между атомами в кристаллической решетке. Естественные отсечки могут быть огромными по сравнению с масштабом ${ displaystyle mu}$. Затем возникает вопрос: как в теории получается, что ее результаты для наблюдаемых в масштабе ${ displaystyle mu}$ также не имеют огромного размера отсечки, а если нет, то как они зависят от масштаба ${ displaystyle mu}$.

Два типа концепций перенормировки, упомянутые выше, связаны со следующими двумя вопросами:

• Как должны параметры ${ displaystyle p}$ зависят от отсечки ${ displaystyle Lambda}$ так что все наблюдаемые ${ Displaystyle X (p, Lambda, mu)}$ физического интереса не зависят от ${ displaystyle Lambda}$, в том числе и случай, когда отсечки снимают, отправляя их формально на бесконечность?
• Какой необходимый набор параметров ${ displaystyle p}$?

Концепция ренормгруппы, связанная с первым вопросом^[28][29] предшествует концепции, связанной со вторым вопросом.^{[30][31][32][33]} Конечно, если бы у кого-то был хороший ответ на второй вопрос, можно было бы ответить и на первый вопрос. В отсутствие хорошего ответа на второй вопрос можно задаться вопросом, почему любой конкретный выбор параметров и их зависимость от обрезания может обеспечить независимость от обрезания всех наблюдаемых ${ Displaystyle X (p, Lambda, mu)}$ с конечными масштабами ${ displaystyle mu}$.

Концепция ренормгруппы, связанная с первым вопросом выше, основана на том обстоятельстве, что некоторое конечное множество ${ Displaystyle p ( Lambda)}$ дает желаемый результат,

${ Displaystyle X _ { rm {наблюдаемый}} ( mu) = lim _ { Lambda rightarrow infty} X _ { rm {теория}} [p ( Lambda), Lambda, mu] , .}$

При таком способе мышления можно ожидать, что в теории с ${ displaystyle n}$ параметры расчет ${ displaystyle n}$ наблюдаемые в некотором масштабе ${ displaystyle mu}$ достаточно, чтобы зафиксировать все параметры как функции ${ displaystyle Lambda}$. Итак, можно надеяться, что существует коллекция ${ displaystyle n}$ эффективные параметры в масштабе ${ displaystyle mu}$, соответствующий ${ displaystyle n}$ наблюдаемые в масштабе ${ displaystyle mu}$, которых достаточно для параметризации теории таким образом, чтобы прогнозы, выраженные в терминах этих параметров, не зависели от ${ displaystyle Lambda}$. Поскольку масштаб ${ displaystyle mu}$ произвольно, целое семейство таких ${ displaystyle n}$-параметры, помеченные ${ displaystyle mu}$ должен существовать, и каждый член этого семейства соответствует одной и той же физике. Переход из одной такой семьи в другую путем изменения одного значения ${ displaystyle mu}$ другому описывается как действие ренормализационная группа. Слово группа оправдано, потому что выполнены аксиомы группы: два таких изменения образуют другое такое изменение, одно может инвертировать изменение и т. Д.

Однако остается вопрос, зачем фиксировать обрезную зависимость ${ displaystyle n}$ параметры ${ displaystyle p}$ на ${ displaystyle Lambda}$, с помощью ${ displaystyle n}$ условия, которые ${ displaystyle n}$ выбранные наблюдаемые не зависят от ${ displaystyle Lambda}$, достаточно хороша, чтобы все наблюдаемые в физическом диапазоне ${ displaystyle mu}$ не зависеть от ${ displaystyle Lambda}$. В одних теориях такое чудо может случиться, в других - нет. Те, где это происходит, называются перенормируемыми, потому что можно правильно нормализовать параметры, чтобы получить результаты, не зависящие от обрезания.

Обычно набор ${ Displaystyle p ( Lambda)}$ устанавливается с помощью пертурбативных расчетов в сочетании с моделями для описания непертурбативных эффектов. Например, пертурбативные диаграммы КХД для кварков и глюонов объединены с партонными моделями для описания связывания кварков и глюонов в адроны. Набор параметров ${ Displaystyle p ( Lambda)}$ включает зависящие от обрезания массы, заряды и константы нормировки поля. Прогнозирующая сила теории, построенной таким образом, зависит от того обстоятельства, что требуемый набор параметров относительно невелик. Регуляризация строится по порядку, так что как можно больше формальных симметрий локальной теории сохраняется и используется в вычислениях, как в размерной регуляризации диаграмм Фейнмана. Утверждение, что набор параметров ${ Displaystyle p ( Lambda)}$ приводит к конечным, независимым от обрезания пределам для всех наблюдаемых, что обусловлено необходимостью использования некоторой формы теории возмущений и включения модельных предположений, касающихся связанных состояний.

Концепция ренормгруппы, связанная со вторым вопросом выше, задумана, чтобы объяснить, как это может быть так, что концепция ренормгруппы, связанная с первым вопросом, может иметь смысл, вместо того, чтобы быть в лучшем случае успешным рецептом для работы с расходимостями в пертурбативных вычислениях.^[34] А именно, чтобы ответить на второй вопрос, нужно разработать расчет (см. Ниже), который определяет требуемый набор параметров для определения теории, причем отправной точкой является какое-то конкретное исходное предположение, такое как некоторая локальная плотность лагранжиана, которая является функцией переменных поля. и его необходимо изменить, включив все необходимые параметры. Как только требуемый набор параметров известен, можно установить набор наблюдаемых, достаточных для определения зависимости от отсечки требуемого набора. Наблюдаемые могут иметь любой конечный масштаб. ${ displaystyle mu}$, и можно использовать любой масштаб ${ displaystyle mu}$ определить параметры ${ Displaystyle p ( Lambda)}$, вплоть до их конечных частей, которые должны быть приспособлены для экспериментов, включая такие особенности, как наблюдаемые симметрии.

Таким образом, можно понять не только возможность существования ренормгруппы первого типа, но и найти альтернативные ситуации, когда набор требуемых параметров, зависящих от обрезания, не обязательно должен быть конечным. Прогнозирующая сила последних теорий вытекает из известных соотношений между необходимыми параметрами и вариантами, позволяющими установить все соответствующие.^[35]

Концепция ренормгруппы второго рода связана с характером математических вычислений, используемых для обнаружения набора параметров ${ displaystyle p}$. По сути, расчет начинается с некоторой конкретной формы теории с обрезанием ${ displaystyle Lambda}$ и выводит соответствующую теорию с меньшим обрезанием в смысле более ограничительного, скажем ${ displaystyle Lambda / 2}$. После повторной параметризации, использующей обрезание как единицу, получается новая теория аналогичного типа, но с новыми членами. Это означает, что исходная теория с обрезанием ${ displaystyle Lambda}$ также должен содержать такие новые термины, чтобы его форма соответствовала наличию отсечения. В конце концов, можно найти набор терминов, который воспроизводится с точностью до изменений коэффициентов искомых членов. Эти коэффициенты изменяются вместе с количеством шагов, которые он делает, на каждом шаге уменьшая отсечку в два раза и изменяя масштаб переменных. Можно использовать другие факторы, кроме двух, но два - это удобно.

Таким образом, можно получить траекторию точки в пространстве размерности, равной количеству требуемых параметров, и движение по траектории описывается преобразованиями, которые формируют новый вид группы. Различные начальные точки могут привести к разным траекториям, но если шаги самоподобны и сводятся к многократному действию одного и того же преобразования, скажем ${ displaystyle T}$, можно описать происходящее с точки зрения особенностей ${ displaystyle T}$, называемое преобразованием ренормгруппы. Преобразование ${ displaystyle T}$ может преобразовывать точки в пространстве параметров, заставляя некоторые параметры уменьшаться, некоторые увеличиваться, а некоторые оставаться неизменными. Это может иметь фиксированные точки, предельные циклы, или даже привести к хаотическое движение.

Предположим, что ${ displaystyle T}$ имеет фиксированную точку. Если начать процедуру в этой точке, бесконечно длинная последовательность сокращений обрезания в два раза ничего не меняет в структуре теории, кроме масштаба ее обрезания. Это означает, что начальное обрезание может быть сколь угодно большим. Такая теория может обладать симметриями специальной теории относительности, поскольку нет никакой платы за расширение обрезания, которое требуется, когда кто-то хочет сделать преобразование Лоренца, которое дает импульсы, превышающие обрезание.

Обе концепции ренормализационной группы можно рассматривать в квантовых теориях, построенных с использованием передней формы динамики. Первая концепция позволяет играть с небольшим набором параметров и искать согласованность, что является полезной стратегией в теории возмущений, если кто-то знает из других подходов, чего ожидать. В частности, можно изучать новые пертурбативные особенности, которые появляются в передней форме динамики, поскольку она отличается от мгновенной формы. Основное отличие состоит в том, что передние переменные ${ Displaystyle х ^ {-}}$ (или же ${ displaystyle p ^ {+}}$) существенно отличаются от поперечных переменных ${ Displaystyle х ^ { перп}}$ (или же ${ displaystyle p ^ { perp}}$), так что между ними нет простой вращательной симметрии. Можно также изучить достаточно упрощенные модели, для которых компьютеры могут быть использованы для выполнения вычислений, и посмотреть, может ли процедура, предложенная теорией возмущений, работать за ее пределами. Вторая концепция позволяет решить проблему определения релятивистской теории ab initio, не ограничивая определение пертурбативными разложениями. Этот вариант особенно актуален при описании связанных состояний в КХД. Однако для решения этой проблемы необходимо преодолеть определенные трудности, которые процедуры ренормгруппы, основанные на идее сокращения обрезаний, не могут легко разрешить. Чтобы избежать затруднений, можно использовать процедуру ренормгруппы подобия. И трудности, и сходство объясняются в следующем разделе.

Преобразования подобия

Кратко о трудностях процедуры уменьшения отсечки ${ displaystyle Lambda}$ отрезать ${ displaystyle Lambda / 2}$ в передней форме гамильтоновой динамики сильных взаимодействий можно получить, рассматривая проблему собственных значений для гамильтониана ${ displaystyle H}$,

${ Displaystyle H psi = E psi,}$

куда ${ displaystyle H = H_ {0} + H_ {I}}$, ${ displaystyle H_ {0}}$ имеет известный спектр и ${ displaystyle H_ {I}}$ описывает взаимодействия. Предположим, что собственное состояние ${ displaystyle psi}$ можно записать как суперпозицию собственных состояний ${ displaystyle H_ {0}}$ и введем два проекционных оператора: ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$, так что ${ displaystyle P}$ проекты по собственному состоянию ${ displaystyle H_ {0}}$ с собственные значения меньше чем ${ displaystyle Lambda / 2}$ и ${ displaystyle Q}$ проекты по собственному состоянию ${ displaystyle H_ {0}}$ с собственными значениями между ${ displaystyle Lambda / 2}$ и ${ displaystyle Lambda}$. Результат проектирования задачи на собственные значения для ${ displaystyle H}$ с помощью ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$ представляет собой систему двух связанных уравнений

${ Displaystyle H_ {0} Q psi + QH_ {I} Q psi + QH_ {I} P psi = EQ psi ,,}$

${displaystyle H_{0}Ppsi +PH_{I}Qpsi +PH_{I}Ppsi =EPpsi ,.}$

The first equation can be used to evaluate ${displaystyle Qpsi }$ in terms of ${displaystyle Ppsi }$,

${displaystyle Qpsi ={frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}} QH_{I}Ppsi ,.}$

This expression allows one to write an equation for ${displaystyle Ppsi }$ в виде

${displaystyle H_{ m {eff}}Ppsi =EPpsi ,,}$

куда

${displaystyle H_{ m {eff}}=H_{0}+PH_{I}P+PH_{I}Q{frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}QH_{I}P.}$

Уравнение для ${displaystyle Ppsi }$ appears to resemble an eigenvalue problem for ${displaystyle H_{ m {eff}}}$. It is valid in a theory with cutoff ${displaystyle Lambda /2}$, but its effective Гамильтониан ${displaystyle H_{ m {eff}}}$ depends on the unknown eigenvalue ${ displaystyle E}$. Однако если ${displaystyle Lambda /2}$ is much greater than ${ displaystyle E}$ of interest, one can neglect ${ displaystyle E}$ в сравнении с ${displaystyle QH_{0}Q}$ при условии, что ${displaystyle QH_{I}Q}$ is small in comparison to ${displaystyle QH_{0}Q}$.

In QCD, which is асимптотически свободный, one indeed has ${ displaystyle H_ {0}}$ as the dominant term in the energy denominator in ${displaystyle H_{ m {eff}}}$ for small eigenvalues ${ displaystyle E}$. In practice, this happens for cutoffs ${ displaystyle Lambda}$ so much larger than the smallest eigenvalues ${ displaystyle E}$ of physical interest that the corresponding eigenvalue problems are too complex for solving them with required precision. Namely, there are still too many degrees of freedom. One needs to reduce cutoffs considerably further. This issue appears in all approaches to the bound state problem in QCD, not only in the front form of the dynamics.Even if interactions are sufficiently small, one faces an additional difficulty with eliminating ${ displaystyle Q}$-states. Namely, for small interactions one can eliminate the eigenvalue ${ displaystyle E}$ from a proper effective Hamiltonian in ${ displaystyle P}$-subspace in favor of eigenvalues of ${ displaystyle H_ {0}}$. Consequently, the denominators analogous to the one that appears above in ${displaystyle H_{ m {eff}}}$ only contain differences of eigenvalues of ${ displaystyle H_ {0}}$, one above ${displaystyle Lambda /2}$ and one below.^[30][31] Unfortunately, such differences can become arbitrarily small near the cutoff ${displaystyle Lambda /2}$, and they generate strong interactions in the effective theory due to the coupling between the states just below and just above the cutoff ${displaystyle Lambda /2}$. This is particularly bothersome when the eigenstates of ${ displaystyle H_ {0}}$ near the cutoff are highly degenerate and splitting of the bound state problem into parts below and above the cutoff cannot be accomplished through any simple expansion in powers of the coupling constant.

In any case, when one reduces the cutoff ${ displaystyle Lambda}$ к ${displaystyle Lambda /2}$, а потом ${displaystyle Lambda /2}$ к ${displaystyle Lambda /4}$ and so on, the strength of interaction in QCD Hamiltonians increases and, especially if the interaction is attractive, ${displaystyle QH_{I}Q}$ can cancel ${ displaystyle H_ {0}}$ и ${ displaystyle E}$ cannot be ignored no matter how small it is in comparison to the reduced cutoff. In particular, this difficulty concerns bound states, where interactions must prevent free relative motion of constituents from dominating the scene and a spatially compact systems have to be formed. So far, it appears not possible to precisely eliminate the eigenvalue ${ displaystyle E}$ from the effective dynamics obtained by projecting on sufficiently low energy eigenstates of ${ displaystyle H_ {0}}$ to facilitate reliable calculations.

Fortunately, one can use instead a change of basis.^[36] Namely, it is possible to define a procedure in which the basis states are rotated in such a way that the matrix elements of ${displaystyle H_{I}}$ vanish between basis states that according to ${ displaystyle H_ {0}}$ differ in energy by more than a running cutoff, say ${ displaystyle lambda}$. The running cutoff is called the energy bandwidth. Название происходит от полосно-диагональный form of the Hamiltonian matrix in the new basis ordered in energy using ${ displaystyle H_ {0}}$. Different values of the running cutoff ${ displaystyle lambda}$ correspond to using differently rotated basis states. The rotation is designed not to depend at all on the eigenvalues ${ displaystyle E}$ one wants to compute.

As a result, one obtains in the rotated basis an effective Hamiltonian matrix eigenvalue problem in which the dependence on cutoff ${ displaystyle Lambda}$ may manifest itself only in the explicit dependence of matrix elements of the new ${displaystyle H_{ m {eff}}}$.^[36] The two features of similarity that (1) the ${ displaystyle Lambda}$-dependence becomes explicit before one tackles the problem of solving the eigenvalue problem for ${displaystyle H_{ m {eff}}}$ and (2) the effective Hamiltonian with small energy bandwidth may not depend on the eigenvalues one tries to find, allow one to discover in advance the required counterterms to the diverging cutoff dependence. A complete set of counterterms defines the set of parameters required for defining the theory which has a finite energy bandwidth ${ displaystyle lambda}$ and no cutoff dependence in the band. In the course of discovering the counterterms and corresponding parameters, one keeps changing the initial Hamiltonian. Eventually, the complete Hamiltonian may have cutoff independent eigenvalues, including bound states.

In the case of the front-form Hamiltonian for QCD, a perturbative version of the similarity renormalization group procedure is outlined by Wilson et al.^[37] Further discussion of computational methods stemming from the similarity renormalization group concept is provided in the next section.

Renormalization group procedure for effective particles

The similarity renormalization group procedure, discussed in #Similarity transformations, can be applied to the problem of describing bound states of quarks and gluons using QCD according to the general computational scheme outlined by Wilson et al.^[37] and illustrated in a numerically soluble model by Glazek and Wilson.^[38] Since these works were completed, the method has been applied to various physical systems using a weak-coupling expansion. More recently, similarity has evolved into a computational tool called the renormalization group procedure for effective particles, or RGPEP. In principle, the RGPEP is now defined without a need to refer to some perturbative expansion. The most recent explanation of the RGPEP is given by Glazek in terms of an elementary and exactly solvable model for relativistic fermions that interact through a mass mixing term of arbitrary strength in their Hamiltonian.^[39][40]

The effective particles can be seen as resulting from a dynamical transformation akin to the Melosh transformation from current to constituent quarks.^[41] Namely, the RGPEP transformation changes the bare quanta in a canonical theory to the effective quanta in an equivalent эффективная теория with a Hamiltonian that has the energy bandwidth ${ displaystyle lambda}$; видеть #Similarity transformations and references therein for an explanation of the band. The transformations that change ${ displaystyle lambda}$ сформировать группу.

The effective particles are introduced through a transformation

${displaystyle psi _{s}=U_{s},psi _{0},U_{s}^{dagger },,}$

куда ${ displaystyle psi _ {s}}$ is a quantum field operator built from creation and annihilation operators for effective particles of size ${displaystyle ssim 1/lambda }$ и ${ displaystyle psi _ {0}}$ is the original quantum field operator built from creation and annihilation operators for point-like bare quanta of a canonical theory. In great brevity, a canonical Hamiltonian density is built from fields ${ displaystyle psi _ {0}}$ and the effective Hamiltonian at scale ${ displaystyle s}$ is built from fields ${ displaystyle psi _ {s}}$, but without actually changing the Hamiltonian. Таким образом,

${displaystyle H_{s}(psi _{s})=H_{0}(psi _{0}),,}$

which means that the same dynamics is expressed in terms of different operators for different values of ${ displaystyle s}$. Коэффициенты ${displaystyle c_{s}}$ in the expansion of a Hamiltonian in powers of the field operators ${ displaystyle psi _ {s}}$ зависит от ${ displaystyle s}$ and the field operators depend on ${ displaystyle s}$, but the Hamiltonian is not changing with ${ displaystyle s}$. The RGPEP provides an equation for the coefficients ${displaystyle c_{s}}$ as functions of ${ displaystyle s}$.

In principle, if one had solved the RGPEP equation for the front form Hamiltonian of QCD exactly, the eigenvalue problem could be written using effective quarks and gluons corresponding to any ${ displaystyle s}$. В частности, для ${ displaystyle s}$ very small, the eigenvalue problem would involve very large numbers of virtual constituents capable of interacting with large momentum transfers up to about the bandwidth ${displaystyle lambda sim 1/s}$. In contrast, the same eigenvalue problem written in terms of quanta corresponding to a large ${ displaystyle s}$, comparable with the size of hadrons, is hoped to take the form of a simple equation that resembles the constituent quark models. To demonstrate mathematically that this is precisely what happens in the RGPEP in QCD is a serious challenge.

Уравнение Бете-Солпитера

The Bethe-Salpeter amplitude, which satisfies the Уравнение Бете-Солпитера^[42][43][44] (see the reviews by Nakanishi^[45][46] ), when projected on the light-front plane, results in the light-front wave function. The meaning of the ``light-front projection" is the following. In the coordinate space, the Bethe-Salpeter amplitude is a function of two four-dimensional coordinates ${displaystyle x_{1,2}=(ct_{1,2},{vec {x}}_{1,2})}$, а именно: ${displaystyle Phi =Phi (x_{1},x_{2};p)}$, куда ${ displaystyle p}$ is the total four-momentum of the system. In momentum space, it is given by the Fourier transform:

${displaystyle Phi (k_{1},k_{2};p)=int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}Phi (x_{1},x_{2};p)exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2})}$

(the momentum space Bethe-Salpeter amplitude ${displaystyle Phi (k_{1},k_{2};p)}$ defined in this way includes in itself the delta-function responsible for the momenta conservation ${displaystyle k_{1}+k_{2}=p}$). The light-front projection means that the arguments ${displaystyle x_{1},x_{2}}$ are on the light-front plane, i.e., they are constrained by the condition (in the covariant formulation): ${displaystyle omega cdot x_{1}=omega cdot x_{2}=0}$. This is achieved by inserting in the Fourier transform the corresponding delta functions ${displaystyle delta (omega cdot x_{1,2})}$:

${displaystyle psi _{LF}propto int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}delta (omega cdot x_{1})delta (omega cdot x_{2})Phi (x_{1},x_{2};p)exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2}).}$

In this way, we can find the light-front wave function ${displaystyle psi _{LF}}$. Applying this formula to the Bethe-Salpeter amplitude with a given total angular momentum, one reproduces the angular momentum structure of the light-front wave function described in Light front quantization#Angular momentum. In particular, projecting the Bethe-Salpeter amplitude corresponding to a system of two spinless particles with the angular momentum ${displaystyle l}$, one reproduces the light-front wave function

${displaystyle psi _{lm}({vec {k}},{hat {n}})=f_{1}(k,{vec {k}}cdot {hat {n}})Y_{lm}({hat {k}})+f_{2}(k,{vec {k}}cdot {hat {n}})Y_{lm}({hat {n}}),}$

приведены в Light front quantization#Angular momentum.

The Bethe-Salpeter amplitude includes the propagators of the external particles, and, therefore, it is singular. It can be represented in the form of the Nakanishi integral^[47] through a non-singular function ${displaystyle g(gamma ,z)}$:

${displaystyle Phi (k,p)={frac {1}{sqrt {4pi }}}int _{-1}^{1}dz'int _{0}^{infty }dgamma '{frac {g(gamma ',z')}{left[gamma '+m^{2}-{frac {1}{4}}M^{2}-k^{2}-pcdot k;z'-iepsilon ight]^{3}}},}$

(1)

куда ${displaystyle k=(k_{1}-k_{2})/2}$ is the relative four-momentum. The Nakanishi weight function ${displaystyle g(gamma ,z)}$ is found from an equation and has the properties: ${displaystyle g(gamma ,z=pm 1)=0}$, ${displaystyle g(gamma o infty ,z) o 0}$. Projecting the Bethe-Salpeter amplitude (1) on the light-front plane, we get the following useful representation for the light-front wave function (see the review by Carbonell and Karmanov^[48]):

${displaystyle psi _{LF}(k_{perp },x)={frac {1}{sqrt {4pi }}}int _{0}^{infty }{frac {x(1-x)g(gamma ',1-2x)dgamma '}{{Bigl [}gamma '+k_{perp }^{2}+m^{2}-x(1-x)M^{2}{Bigr ]}^{2}}}.}$

It turns out that the masses of a two-body system, found from the Bethe-Salpeter equation for ${displaystyle Phi (k,p)}$ and from the light-front equation for ${displaystyle psi _{LF}(k_{perp },x)}$ with the kernel corresponding to the same physical content, say, one-boson exchange (which, however, in the both approaches have very different analytical forms) are very close to each other. The same is true for the electromagnetic form factors^[49] This undoubtedly proves the existence of three-body forces, though the contribution of relativistic origin does not exhaust, of course, all the contributions. The same relativistic dynamics should generate four-body forces, etc. Since in nuclei the small binding energies (relative to the nucleon mass) result from cancellations between the kinetic and potentials energies (which are comparable with nucleon mass, and, hence relativistic), the relativistic effects in nuclei are noticeable. Therefore, many-body forces should be taken into account for fine tuning to experimental data.

Vacuum structure and zero modes

One of the advantages of light-front quantization is that the empty state, the so-called perturbative vacuum, is the physical vacuum.^{[50][51][52][53][54][55][56][57][58][59][60]} The massive states of a theory can then be built on this lowest state without having any contributions from vacuum structure, and the wave functions for these massive states do not contain vacuum contributions. Это происходит потому, что каждый ${displaystyle p_{i}^{+}}$ is positive, and the interactions of the theory cannot produce particles from the zero-momentum vacuum without violating momentum conservation. Нет необходимости normal-order the light-front vacuum.

However, certain aspects of some theories are associated with vacuum structure. For example, the Higgs mechanism of the Стандартная модель relies on spontaneous symmetry breaking in the vacuum of the theory.^{[61][62][63][64][65][66]} The usual Higgs vacuum expectation value in the instant form is replaced by ${displaystyle k^{+}=0}$ zero mode analogous to a constant Stark field when one quantizes the Standard model using the front form.^[67] Нарушение киральной симметрии of quantum chromodynamics is often associated in the instant form with quark and gluon condensates in the QCD vacuum. However, these effects become properties of the hadron wave functions themselves using the front form.^{[59][60][68][69]} This also eliminates the many orders of magnitude conflict between the measured cosmological constant and quantum field theory.^[68]

Some aspects of vacuum structure in light-front quantization can be analyzed by studying properties of massive states. In particular, by studying the appearance of вырождение among the lowest massive states, one can determine the critical coupling strength associated with spontaneous symmetry breaking. One can also use a limiting process, where the analysis begins in equal-time quantization but arrives in light-front coordinates as the limit of some chosen parameter.^[70][71] A much more direct approach is to include modes of zero longitudinal momentum (zero modes) in a calculation of a nontrivial light-front vacuum built from these modes; the Hamiltonian then contains effective interactions that determine the vacuum structure and provide for zero-mode exchange interactions between constituents of massive states.

Смотрите также

• Легкое фронтальное квантование
• Light-front quantization applications
• Квантовые теории поля
• Квантовая хромодинамика
• Квантовая электродинамика
• Light-front holography

Рекомендации

внешняя ссылка

• ILCAC, Inc., Международный консультативный комитет по световым конусам.
• Публикации по динамике светового фронта, поддерживается А. Хариндранатом.