Список длинных математических доказательств - List of long mathematical proofs

Это список необычно длинных математические доказательства.

По состоянию на 2011 г., самым длинным математическим доказательством, измеряемым количеством опубликованных страниц журнала, является классификация конечных простых групп с более чем 10000 страниц. Есть несколько доказательств, которые были бы намного длиннее, чем это, если бы подробности компьютерных вычислений, от которых они зависят, были опубликованы полностью.

Длинные доказательства

Длина необычно длинных доказательств со временем увеличивалась. Грубо говоря, 100 страниц в 1900 году, 200 страниц в 1950 году или 500 страниц в 2000 году - это необычно много для доказательства.

  • 1799 г. Теорема Абеля – Руффини было почти доказано Паоло Руффини, но его доказательство, охватывающее 500 страниц, было по большей части проигнорировано, и позже, в 1824 году, Нильс Хенрик Абель опубликовал доказательство, для которого требовалось всего шесть страниц.
  • 1890 г. Классификация простых комплексных алгебр Ли Киллинга, включая его открытие исключительные алгебры Ли, занял 180 страниц в 4 статьях.
  • 1894 г. Построение линейки и компаса многоугольник из 65537 сторон к Иоганн Густав Гермес занял более 200 страниц.
  • 1905 Эмануэль Ласкер оригинальное доказательство Теорема Ласкера – Нётер занял 98 страниц, но с тех пор был упрощен: современные доказательства занимают меньше страницы.
  • 1963 Теорема о нечетном порядке Фейта и Томпсона было 255 страниц, что в то время было более чем в 10 раз больше, чем то, что ранее считалось длинной статьей по теории групп.
  • 1964 Разрешение особенностей Первоначальное доказательство Хиронаки составляло 216 страниц; с тех пор он был значительно упрощен до 10 или 20 страниц.
  • 1966 г. Доказательство Абыханкара разрешение особенностей для 3-кратного сгиба с характеристикой более 6 охватил около 500 страниц в нескольких статьях. В 2009 году Каткоски сократил это примерно до 40 страниц.
  • 1966 Представления дискретных серий групп Ли. Их построение Хариш-Чандрой включало в себя длинную серию статей общим объемом около 500 страниц. Его более поздняя работа по теореме Планшереля для полупростых групп добавила к ним еще 150 страниц.
  • 1968 г. Новиков -Адьян доказательство решения Проблема Бернсайда на конечно порожденных бесконечных группах с конечными показателями отрицательно. Объем оригинала, состоящего из трех частей, превышает 300 страниц. (Позже Бриттон опубликовал 282-страничную статью, в которой попытался решить эту проблему, но в его статье был серьезный пробел.)
  • 1960–1970 Fondements de la Géometrie Algébrique, Éléments de géométrie algébrique и Séminaire de géométrie algébrique. Работа Гротендика по основам алгебраической геометрии занимает многие тысячи страниц. Хотя это не доказательство отдельной теоремы, в нем есть несколько теорем, доказательства которых основаны на сотнях предыдущих страниц.
  • 1974 N-групповая теорема Классификация N-групп Томпсона использовала 6 статей общим объемом около 400 страниц, но также использовала более ранние его результаты, такие как теорема нечетного порядка, общая длина которых составляет более 700 страниц.
  • 1974 Гипотеза Рамануджана и Гипотезы Вейля. В то время как последняя статья Делиня, доказывающая эти гипотезы, занимала «всего» около 30 страниц, она зависела от исходных результатов в алгебраической геометрии и этальные когомологии По оценкам Делиня, объем текста составляет около 2000 страниц.
  • 1974 Теорема о четырех цветах. Доказательство этого Аппеля и Хакена заняло 139 страниц и также зависело от долгих компьютерных вычислений.
  • 1974 г. Теорема Горенштейна – Харады. Классификация конечных групп секционного 2-ранга не более 4 занимала 464 страницы.
  • 1976 Серия Эйзенштейна Доказательство Ленглендса функционального уравнения для ряда Эйзенштейна заняло 337 страниц.
  • 1983 Теорема о трихотомии Доказательство Горенштейна и Лайонса для случая ранга не ниже 4 составляло 731 страницу, а доказательство Ашбахера для случая ранга 3 добавляет еще 159 страниц, в общей сложности 890 страниц.
  • 1983 Формула следа Сельберга Доказательство Хейхалом общей формы формулы следа Сельберга состояло из двух томов общим объемом 1322 страницы.
  • Формула следа Артура – ​​Сельберга. Доказательства Артуром различных версий этой книги занимают несколько сотен страниц, разбросанных по множеству бумаг.
  • 2000 Теорема регулярности Альмгрена Доказательство Альмгрена занимало 955 страниц.
  • 2000 Теорема лафорга о гипотезе Ленглендса для полной линейной группы над функциональными полями. Лоран Лафорг Доказательство этого состояло примерно из 600 страниц, не считая множества страниц с результатами.
  • 2003 Гипотеза Пуанкаре, Теорема геометризации, Гипотеза геометризации. Первоначальные доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации были небольшими, но довольно схематичными. Несколько других математиков опубликовали доказательства с заполненными деталями, которые занимают несколько сотен страниц.
  • 2004 Квазитиновые группы Классификация простых квазитинких групп Ашбахером и Смитом занимала 1221 страницу, это одна из самых длинных отдельных статей, когда-либо написанных.
  • 2004 Классификация конечных простых групп. Доказательства этого разбросаны по сотням журнальных статей, что затрудняет оценку их общей длины, которая, вероятно, составляет от 10 000 до 20000 страниц.
  • 2004 Теорема Робертсона – Сеймура. Доказательство занимает около 500 страниц на 20 листах.
  • 2005 Гипотеза Кеплера Хейлз Доказательство этого включает несколько сотен страниц опубликованных аргументов, а также несколько гигабайт компьютерных вычислений.
  • 2006 г. сильная теорема о совершенном графе, к Мария Чудновская, Нил Робертсон, Пол Сеймур, и Робин Томас. 180 страниц в Анналы математики.

Долгие компьютерные расчеты

Есть много математических теорем, проверенных долгими компьютерными вычислениями. Если бы они были записаны как доказательства, многие из них были бы намного длиннее, чем большинство приведенных выше доказательств. На самом деле нет четкого различия между компьютерными вычислениями и доказательствами, поскольку некоторые из приведенных выше доказательств, такие как теорема о четырех цветах и ​​гипотеза Кеплера, используют длинные компьютерные вычисления, а также много страниц математических аргументов. Для компьютерных расчетов в этом разделе математические аргументы составляют всего несколько страниц, а объем объясняется длинными, но рутинными вычислениями. Вот некоторые типичные примеры таких теорем:

Длинные доказательства в математической логике

Основная статья: Теорема Гёделя об ускорении

Курт Гёдель показал, как найти явные примеры утверждений в формальных системах, которые доказуемы в этой системе, но чье кратчайшее доказательство абсурдно длинно. Например, утверждение:

«Это утверждение не может быть доказано в арифметике Пеано менее чем с помощью гуголплексных символов»

доказуемо в арифметике Пеано, но в кратчайшем доказательстве есть как минимум гуголплексный символ. У него есть короткое доказательство в более мощной системе: фактически, оно легко доказывается в арифметике Пеано вместе с утверждением, что арифметика Пеано непротиворечива (что не может быть доказано в арифметике Пеано с помощью Теорема Гёделя о неполноте ).

В этом аргументе арифметика Пеано может быть заменена любой более мощной последовательной системой, а гуголплекс может быть заменен любым числом, которое можно кратко описать в системе.

Харви Фридман нашел несколько явных естественных примеров этого явления, дав некоторые явные утверждения в арифметике Пеано и других формальных системах, кратчайшие доказательства которых смехотворно длинные (Сморинский 1982 ). Например, утверждение

"есть целое число п такой, что если есть последовательность корневых деревьев Т1, Т2, ..., Тп такой, что Тk имеет самое большее k+10 вершин, то некоторое дерево может быть гомеоморфно встроенный в более позднем "

доказуемо в арифметике Пеано, но кратчайшее доказательство имеет длину не менее А(1000), где А(0) = 1 и А(п+1)=2А(п). Утверждение является частным случаем Теорема Крускала и имеет краткое доказательство в арифметика второго порядка.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Лэмб, Эвелин (26 мая 2016 г.). «Математическое доказательство в двести терабайт является крупнейшим в истории: компьютер решает задачу булевых пифагоровых троек - но действительно ли это математика?». Природа.
  2. ^ Хеул, Марийн Дж. Х. (2017). «Шур номер пять». arXiv:1711.08076.