Список неполных доказательств - List of incomplete proofs

На этой странице перечислены известные примеры неполных опубликованных математические доказательства. Большинство из них считалось правильным в течение нескольких лет, но позже было обнаружено, что они содержат пробелы. Есть оба примера, когда позднее было найдено полное доказательство, и где предполагаемый результат оказался ложным.

Примеры

В этом разделе перечислены примеры доказательств, которые были опубликованы и приняты как полные до того, как в них был обнаружен пробел или ошибка. Он не включает ни одного из многих неполных попыток решения любителями известных проблем, таких как последняя теорема Ферма или возведение круга в квадрат. Он также не включает неопубликованные препринты, которые были отозваны из-за ошибки, обнаруженной перед публикацией.

Примеры расположены примерно по дате публикации неполного доказательства. Несколько примеров в списке взяты из ответов на вопросы по MathOverflow сайт, указанный во внешних ссылках ниже. В примерах используются следующие символы:

• Y Результат правильный и позже был строго доказан.
• NY Результат неверен, как указано, но модифицированная версия позже была строго проверена.
• ?? Статус результата неясен
• ??Y Статус результата неясен, но модифицированная версия позже была строго доказана.
• N?? Результат неверен, как указано, но была предложена измененная версия, статус которой неясен.
• N Результат неверный

• Y Элементы Евклида. Доказательства Евклида по существу верны, но, строго говоря, иногда содержат пробелы, потому что он неявно использует некоторые неустановленные предположения, такие как существование точки пересечения. В 1899 г. Дэвид Гильберт дал полный комплект (второго порядка ) аксиомы евклидовой геометрии, называемые Аксиомы Гильберта, а между 1926 и 1959 гг. Тарский дал несколько полных комплектов аксиомы первого порядка, называется Аксиомы Тарского.
• Y Изопериметрическое неравенство. Для трех измерений он утверждает, что форма, охватывающая минимальный единичный объем для ее площади поверхности, является сферой. Его сформулировал Архимед но не было строго доказано до 19 века, Герман Шварц.
• Y Бесконечно малые. В 18 веке в исчислении широко использовались бесконечно малые величины, хотя они не были четко определены. Исчисление было заложено в прочный фундамент в 19 веке, и Робинсон положить бесконечно малые в строгую основу с введением нестандартный анализ в 20 веке.
• Y Основная теорема алгебры (видеть История ). В XVIII веке было предпринято много неполных или неправильных попыток доказательства этой теоремы, в том числе д'Аламбер (1746), Эйлер (1749), de Foncenex (1759), Лагранж (1772), Лаплас (1795), Дерево (1798 г.), и Гаусс (1799). Первое строгое доказательство было опубликовано Арганд в 1806 г.
• N В 1759 году Эйлер утверждал, что закрытых рыцарские туры на шахматной доске с 3 рядами, но в 1917 году Эрнест Бергхольт нашел туры на досках 3 на 10 и 3 на 12.^[1]
• N Гипотеза Эйлера о Греко-латинские квадраты. В 1780-х годах Эйлер предположил, что таких квадратов не существует ни для какого нечетно четного числа n 2 (mod 4). В 1959 г. Р. К. Бозе и С. С. Шриханде построил контрпримеры порядка 22. Тогда Э. Т. Паркер нашел контрпример порядка 10 с помощью часового компьютерного поиска. Наконец, Паркер, Боз и Шрикханде показали, что эта гипотеза неверна для всех n ≥ 10.
• N В 1798 г. А. М. Лежандр утверждал, что 6 не является суммой двух рациональных кубов,^[2] который как Хромой указанное в 1865 году ложно, поскольку 6 = (37/21)³ + (17/21)³.
• N В 1803 г. Джан Франческо Мальфатти утверждал, чтобы доказать, что определенное расположение трех кругов покроет максимально возможную площадь внутри прямоугольного треугольника. Однако для этого он сделал некоторые необоснованные предположения о конфигурации кругов. В 1930 году было показано, что круги другой конфигурации могут покрывать большую площадь, а в 1967 году конфигурация Малфатти была никогда оптимальный. Видеть Круги Малфатти.
• N В 1806 г. Андре-Мари Ампер утверждал, чтобы доказать, что непрерывная функция является дифференцируемый в большинстве случаев (хотя не совсем понятно, что он утверждал, поскольку он не дал точного определения функции). Однако в 1872 г. Weierstrass привел пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируется: Функция Вейерштрасса.
• Y Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях. В 1808 году Лежандр опубликовал попытку доказательства теоремы Дирихле, но, как указал Дюпре в 1859 году, одна из лемм, использованных Лежандром, неверна. Дирихле дал полное доказательство в 1837 г.
• ??Y Равномерная сходимость. В его Cours d'Analyse 1821 г., Коши «доказал», что если сумма непрерывные функции сходится поточечно, то его предел также непрерывен. Тем не мение, Авель три года спустя заметил, что это не так. Чтобы заключение было верным, следует заменить «поточечную сходимость» на «равномерное схождение ". Не совсем ясно, что первоначальный результат Коши был неправильным, потому что его определение точечной сходимости было немного расплывчатым и могло быть более сильным, чем то, которое используется в настоящее время, и есть способы интерпретировать его результат так, чтобы он был правильным.^[3] Есть много контрпримеров, использующих стандартное определение поточечной сходимости. Например, Ряд Фурье из синус и косинус функции, все непрерывные, могут поточечно сходиться к разрывной функции, такой как ступенчатая функция.
• NY Теория пересечения. В 1848 г. Штайнер утверждал, что количество коник, касающихся 5 заданных коник это 7776 = 6⁵, но позже понял, что это было неправильно. Правильное число 3264 было найдено Бернером в 1865 г. и Эрнест де Жонкьер около 1859 г. и к Chasles в 1864 г., используя свою теорию характеристик. Однако эти результаты, как и многие другие в классической теории пересечений, не получили полных доказательств, пока не появились работы Фултон и Макферсон примерно в 1978 г.
• NY Принцип Дирихле. Это использовалось Риман в 1851 году, но Вейерштрасс нашел контрпример к одной версии этого принципа в 1870 году, а Гильберт сформулировал и доказал правильную версию в 1900 году.
• Y Доказательства Теорема Кронекера – Вебера. к Кронекер (1853 г.) и Вебер (1886) в обоих были пробелы. Первое полное доказательство было дано Гильбертом в 1896 году.
• N Кэли  (1878 ) неправильно утверждал, что существует три разные группы порядка 6. Эта ошибка странная, потому что в более ранней статье 1854 года он правильно заявил, что таких групп всего две.
• Y В 1879 г. Альфред Кемпе опубликовал предполагаемое доказательство теорема четырех цветов, действительность которого в качестве доказательства принималась в течение одиннадцати лет, прежде чем она была опровергнута Перси Хивуд. Питер Гатри Тейт дал другое неверное доказательство в 1880 году, которое было показано Юлиус Петерсен в 1891 г. Доказательства Кемпе, однако, достаточно, чтобы показать более слабое теорема пяти цветов. Теорема о четырех цветах была в конечном итоге доказана Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен в 1976 г.^[4]
• N Frege с основы математики в его книге 1879 года Begriffsschrift оказался непоследовательным из-за Парадокс Рассела, найден в 1901 году.
• NY В 1885 г. Евграф Федоров классифицировал выпуклые многогранники с совпадающими ромбическими гранями, но упустил случай. Станко Билински в 1960 году заново открыл Додекаэдр Билинского (забыт после его предыдущей публикации в 1752 году) и доказал, что с добавлением этой формы классификация была завершена.^[5]
• Y Теорема Шредера – Бернштейна.. В 1896 г. Шредер опубликовал контрольный эскиз^[6] которое, однако, было показано Алвин Рейнхольд Корсельт в 1911 г.^[7] (подтверждено Шредером).^[8][9]
• Y Теорема Жордана. Были некоторые разногласия по поводу того, содержит ли первоначальное доказательство этого Джордана в 1887 году пробелы. Освальд Веблен в 1905 г. утверждал, что доказательство Джордана неполное, но в 2007 г. Хейлз сказал, что пробелы незначительны и что доказательство Джордана по существу полное.
• NY Вронскианцы. В 1887 г. Особняк В своем учебнике утверждал, что если вронскиан некоторых функций везде обращается в нуль, то функции линейно зависимы. В 1889 году Пеано указал на контрпример. Икс² и Икс|Икс|, Результат верен, если функции аналитические.
• N Вален  (1891 ) опубликовал предполагаемый пример алгебраическая кривая в 3-мерном проективном пространстве, которое нельзя было определить как нули 3-х полиномов, но в 1941 г. Перрон нашел 3 уравнения, определяющие кривую Валена. В 1961 г. Кнезер показал, что любая алгебраическая кривая в проективном 3-пространстве может быть задана как нули 3-х полиномов.^[10]
• N В 1898 г. Миллер опубликовали статью, в которой ошибочно утверждали, что Группа Матье M₂₄ не существует, хотя в 1900 году он указал, что его доказательство неверно.
• N Маленький утверждал в 1900 году, что корчиться приведенной узловой диаграммы является инвариантом. Однако в 1974 году Перко обнаружил контрпример, названный Пара перко, пара узлов, перечисленных в таблицах как разные в течение многих лет, на самом деле это одно и то же.
• Y В 1905 г. Лебег пытался доказать (правильный) результат, что функция, неявно определенная Функция Бэра есть Бэр, но в его доказательстве неверно предполагается, что проекция из Набор Бореля это Борель. Суслин указал на ошибку и был вдохновлен ею, чтобы определить аналитические множества как непрерывный изображений борелевских множеств.
• ?? Гипотеза кармайкла о тотализирующей функции был сформулирован как теорема Роберт Дэниел Кармайкл в 1907 г., но в 1922 г. он указал, что его доказательство было неполным. По состоянию на 2016 год проблема все еще не решена.
• NY Двадцать первая проблема Гильберта. В 1908 г. Племель утверждал, что доказал существование Фуксовский дифференциальные уравнения с любым данным монодромия группа, но в 1989 г. Болибрух обнаружил контрпример.
• Y Лемма Дена. Ден опубликовал попытку доказательства в 1910 году, но Кнезер обнаружил пробел в 1929 году. Окончательно это было доказано в 1956 году. Христос Папакириакопулос.
• ?? Итальянская школа алгебраической геометрии. Большинство пробелов в доказательствах вызвано либо тонкой технической оплошностью, либо до 20 века отсутствием точных определений. Основным исключением из этого правила является итальянская школа алгебраической геометрии в первой половине 20-го века, где постепенно стали приемлемыми более низкие стандарты строгости. В результате появилось много работ в этой области, где доказательства неполны или теоремы сформулированы неточно. Этот список содержит несколько репрезентативных примеров, в которых результат был не только не полностью доказан, но и безнадежно неверен.
• Y Шестнадцатая проблема Гильберта о конечности числа предельных циклов плоского полиномиального векторного поля. Анри Дюлак опубликовали частичное решение этой проблемы в 1923 г., но примерно в 1980 г. Écalle и Ильяшенко самостоятельно обнаружил серьезную брешь и исправил ее примерно в 1991 году.^[11]
• N В 1925 г. Аккерманн опубликовал доказательство того, что слабая система может доказать непротиворечивость версии анализа, но фон Нейман несколько лет спустя обнаружил в нем явную ошибку. Теоремы Гёделя о неполноте показал, что невозможно доказать непротиворечивость анализа, используя более слабые системы.
• Y В 1929 г. Лазарь Люстерник и Лев Шнирельманн опубликовал доказательство теорема трех геодезических, который позже был признан ошибочным. Доказательство было завершено Вернер Баллманн примерно 50 лет спустя.
• NY Группы порядка 64. В 1930 году Миллер опубликовал статью, в которой утверждалось, что существует 294 группы порядка 64. зал и старший показал в 1964 году, что правильное число - 267.
• NY Церковь Первоначальная опубликованная в 1932 году попытка определить формальную систему была непоследовательной, как и его исправление в 1933 году. Последовательная часть его системы позже стала лямбда-исчисление.
• N Курт Гёдель в 1933 году доказал, что истинность определенного класса предложений арифметика первого порядка, известный в литературе как [∃^*∀²∃^*, все, (0)], было разрешимый. То есть существовал метод, позволяющий правильно определить, было ли истинным какое-либо утверждение такой формы. В последнем предложении этой статьи он утверждал, что то же доказательство будет работать для разрешимости большего класса [∃^*∀²∃^*, все, (0)]₌, который также включает формулы, содержащие предикат равенства. Однако в середине 1960-х гг. Stål Aanderaa показал, что доказательство Гёделя будет нет пройти для старшего класса, а в 1982 г. Уоррен Гольдфарб показали, что справедливость формул из более широкого класса фактически неразрешима.^[12][13]
• NY Теорема Грюнвальда – Ванга. Вильгельм Грюнвальд опубликовал неверное доказательство неверной теоремы в 1933 году, а позже Джордж Ваплс опубликовал другое неверное доказательство. Шиангхао Ван нашел контрпример в 1948 году и опубликовал исправленную версию теоремы в 1950 году.
• N В 1934 г. Севери утверждал, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраическая поверхность конечномерно, но Мамфорд (1968) показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода.
• Y Правило Литтлвуда – Ричардсона. Робинсон опубликовал неполное доказательство в 1938 году, хотя пробелы не замечены в течение многих лет. Первые полные доказательства были даны Марсель-Пауль Шютценбергер в 1977 г. и Томас в 1974 г.
• ?? Гипотеза о якобиане. Келлер задал этот вопрос в 1939 году, и в последующие несколько лет было опубликовано несколько неполных доказательств, в том числе 3 Б. Сегре, но Витушкин нашел пробелы во многих из них. Гипотеза о якобиане (по состоянию на 2016 год) является открытой проблемой, и регулярно объявляются все новые неполные доказательства. Хайман Басс, Эдвин Х. Коннелл и Дэвид Райт (1982 ) обсудим ошибки в некоторых из этих неполных доказательств.
• N?? Куайн опубликовал свое первоначальное описание системы Математическая логика в 1940 г., а в 1942 г. Россер показал, что это непоследовательно. Ван нашел исправление в 1950 году; последовательность этой пересмотренной системы все еще неясна.
• NY Один из многих примеров из алгебраической геометрии в первой половине 20 века: Севери (1946) утверждал, что степень-п поверхность в трехмерном проективном пространстве имеет не более (^п+2
  ₃) −4 узла, Б. Сегре указал, что это было неправильно; например, для степени 6 максимальное количество узлов составляет 65, что достигается Барт секстик, что превышает максимальное значение в 52, заявленное Севери.
• NY Инвариант Рохлина. Рохлин ошибочно утверждал в 1951 году, что третий стабильный стержень гомотопических групп сфер имеет порядок 12. В 1952 году он обнаружил свою ошибку: на самом деле он является циклическим порядка 24. Разница является существенной, поскольку она приводит к существованию инварианта Рохлина. - фундаментальный инструмент теории трехмерных и четырехмерных многообразий.
• Y Числа классов мнимых квадратичных полей. В 1952 г. Heegner опубликовал решение этой проблемы. Его статья не была принята как полное доказательство, так как в ней был пробел, а первые полные доказательства были даны примерно в 1967 г. Бейкер и Старк. В 1969 году Старк показал, как восполнить пробел в статье Хегнера.
• ?? Усиление Шестнадцатая проблема Гильберта спрашивая, существует ли равномерная конечная верхняя граница для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей заданной степени п. В 1950-х годах Евгений Ландис и Иван Петровский опубликовали предполагаемое решение, но в начале 1960-х оно оказалось неверным.^[11]
• ?? В 1954 г. Заранкевич утверждал, что решил Проблема кирпичного завода Турана о числе пересечений полных двудольных графов, но Кайнен и Рингель позже заметил пробел в его доказательстве.
• Y В 1954 г. Игорь Шафаревич опубликовал доказательство того, что каждая конечная разрешимая группа является группой Галуа над рациональными числами. Однако Шмидт^{[ВОЗ? ]} указал на пробел в аргументе при простом 2, который Шафаревич исправил в 1989 году.
• Y Проблема реализации Нильсена. Кравец утверждал, что решил эту проблему в 1959 году, впервые продемонстрировав, что Пространство Тейхмюллера отрицательно изогнут, но в 1974 г. Мазур показал, что он не искривлен отрицательно. Проблема реализации Нильсена была окончательно решена в 1980 г. Kerckhoff.
• Y Проблема Ямабе. Ямабе потребовал решения в 1960 году, но Trudinger обнаружил пробел в 1968 году, и полное доказательство не было дано до 1984 года.
• NY В 1961 году Ян-Эрик Роос опубликовал неверную теорему об исчезновении первого производный функтор из обратный предел функтор при определенных общих условиях.^[14] Однако в 2002 году Амнон Ниман построил контрпример.^[15] В 2006 году Роос показал, что теорема верна, если добавить предположение, что категория имеет набор генераторы.^[16]
• Y Гипотеза Морделла над функциональные поля. Манин опубликовал доказательство в 1963 г., но Коулман (1990) нашел и исправил пробел в доказательстве.
• NNY В Множитель Шура из Матьё группа М₂₂ особенно печально известен тем, что не раз просчитывался: Бургойн и Фонг (1966) сначала утверждал, что у него был порядок 3, затем в поправке 1968 года утверждал, что он имел порядок 6; его порядок на самом деле (в настоящее время считается) 12. Это вызвало ошибку в заголовке Янко бумага Новая конечная простая группа порядка 86,775,570,046,077,562,880, обладающая M₂₄ и полная накрывающая группа M₂₂ как подгруппа на J4: у него нет группы полного покрытия в качестве подгруппы, поскольку группа полного покрытия больше, чем было реализовано в то время.
• NY Исходное положение о классификации N-группы к Томпсон в 1968 году случайно пропустил Группа синицы, хотя вскоре он это исправил.
• N?? В 1967 году Рейнхардт предложил Кардиналы Рейнхардта, который Кунен показали, что они несовместимы с ZFC в 1971 году, хотя не известно, что они несовместимы с ZF.
• ?? Сложные конструкции на 6-ти сферах. В 1969 году Альфред Адлер опубликовал статью в Американский журнал математики утверждая, что 6-сфера не имеет сложной структуры. Его аргумент был неполным, и это (по состоянию на 2016 год) все еще серьезная открытая проблема.
• NY Пер Мартин-Лёф оригинальная версия интуиционистская теория типов предложенное в 1971 г. Жан-Ив Жирар в 1972 году и был заменен исправленной версией.
• Y В 1973 г. Бриттон опубликовал 282-страничную попытку решения Проблема Бернсайда. В своем доказательстве он предполагал существование набора параметров, удовлетворяющих некоторым неравенствам, но Адьян указали, что это неравенство несовместимо. Новиков и Адиан ранее нашел правильное решение примерно в 1968 году.
• NY В 1975 году Лейтцель, Мадан и Куин ошибочно утверждали, что существует только 7 функциональных полей над конечные поля с родом> 0 и классом 1, но в 2013 году Стирпе нашел другой; на самом деле их ровно 8.
• ?? Закрытые геодезические. В 1978 г. Вильгельм Клингенберг опубликовал доказательство того, что гладкое компактные многообразия без края иметь бесконечно много замкнутых геодезических. Его доказательство было спорным, и в настоящее время (по состоянию на 2016 год) нет единого мнения о том, является ли его доказательство полным.
• Y Классификация конечных простых групп. В 1983 г. Горенштейн объявил, что доказательство классификации было завершено, но он был дезинформирован о статусе доказательства классификации квазитиновые группы, в котором имелся серьезный пробел. Полное доказательство этого случая было опубликовано Ашбахер и Смит в 2004 году.
• ?? Гипотеза телескопа. Ravenel объявил об опровержении этого в 1992 году, но позже отозвал его, и предположение остается открытым.
• Y Гипотеза Кеплера. Сян опубликовал неполное доказательство этого в 1993 г. В 1998 г. Хейлз опубликовал доказательство, основанное на долгих компьютерных расчетах.
• NY Проблема Буземана – Петти. Чжан опубликовал две статьи в Анналы математики в 1994 и 1999 годах, в первой из которых он доказал, что проблема Буземана – Петти в р⁴ имеет отрицательное решение, и во втором из них он доказал, что имеет положительное решение.
• NY Алгебраические стеки. Книга Лаумон и Морет-Байи (2000) на алгебраических стеках ошибочно утверждал, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-etale Topoi. Результаты в зависимости от этого были исправлены Ольссон (2007).
• ?? Связки Matroid. В 2003 г. Biss опубликовала статью в Annals of Mathematics, в которой утверждала, что связки матроидов эквивалентны реальным векторным расслоениям, но в 2009 г. опубликовали исправление, указывающее на серьезный пробел в доказательстве.^[17] Его поправка была основана на статье Мнёва 2007 года.^[18]

Лекат (1935) представляет собой список из более чем ста страниц опубликованных (в основном довольно тривиальных) ошибок математиков.

Смотрите также

• Список длинных математических доказательств
• Список опровергнутых математических идей

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Дэвид Мамфорд электронное письмо об ошибках итальянской школы алгебраической геометрии под руководством Севери
• Первые 9 страниц [1] упомянуть несколько примеров неправильных результатов в теории гомотопий.

Вопросы MathOverflow

• Илья Никокошев, Самая интересная математическая ошибка?
• Кевин Баззард какие ошибки на самом деле сделали итальянские алгебраические геометры?
• Уилл Джаги, Широко признанные математические результаты, которые позже были неверны?
• Джон Стиллвелл, Какие правильные результаты обнаруживаются при неправильных (или отсутствии) доказательств?
• Мориц. Теоремы опустились до домыслов

Вопросы по StackExchange

• Стивен-Оуэн, Была ли ошибка в истории математики?