Квазиокружность - Quasicircle

В математика, а квазиокружность это Кривая Иордании в комплексная плоскость это образ круг под квазиконформное отображение самолета на себя. Первоначально введено независимо Пфлюгер (1961) и Тиенари (1962), в более древней литературе (на немецком языке) они назывались квазиконформные кривые, терминология, которая также применима к дуги.^[1][2] В комплексный анализ и геометрическая теория функций, квазиокружности играют фундаментальную роль в описании универсальное пространство Тейхмюллера, через квазисимметричные гомеоморфизмы круга. Квазиокружности также играют важную роль в сложные динамические системы.

Определения

Квазиокружность определяется как изображение окружности под квазиконформное отображение из расширенная комплексная плоскость. Это называется K-квазицикружность, если квазиконформное отображение имеет дилатацию K. Определение квазиокружности обобщает характеристику Кривая Иордании как образ круга при гомеоморфизме плоскости. В частности, квазиокружность - это жорданова кривая. Внутренность квазиокружности называется квазидиск.^[3]

Как показано в Лехто и Виртанен (1973), где используется более старый термин «квазиконформная кривая», если жорданова кривая является изображением круга при квазиконформном отображении в окрестности кривой, то это также изображение круга при квазиконформном отображении расширенной плоскости и, следовательно, квазиокружность. То же самое верно и для «квазиконформных дуг», которые могут быть определены как квазиконформные изображения дуги окружности либо в открытом наборе, либо, что эквивалентно, в расширенной плоскости.^[4]

Геометрические характеристики

Альфорс (1963) дала геометрическую характеристику квазицикружений как Кривые Иордании для которого абсолютное значение перекрестное соотношение любых четырех точек, взятых в циклическом порядке, ограничена снизу положительной константой.

Альфорс также доказал, что квазиокружности можно охарактеризовать с помощью неравенства обратного треугольника для трех точек: должна быть постоянная C так что если две точки z₁ и z₂ выбираются на кривой и z₃ лежит на более короткой из полученных дуг, то^[5]

${ displaystyle | z_ {1} -z_ {3} | + | z_ {2} -z_ {3} | leq C | z_ {1} -z_ {2} |.}$

Это свойство еще называют ограниченный поворот^[6] или состояние дуги.^[7]

Для жордановых кривых в расширенной плоскости, проходящей через ∞, Альфорс (1966) дал более простое необходимое и достаточное условие того, чтобы быть квазицикружностью.^[8][9] Есть постоянный C > 0 такое, что еслиz₁, z₂ любые точки на кривой и z₃ лежит на отрезке между ними, то

${ displaystyle displaystyle { left | z_ {3} - {z_ {1} + z_ {2} over 2} right | leq C | z_ {1} -z_ {2} |.}}$

Эти метрические характеристики подразумевают, что дуга или замкнутая кривая квазиконформны всякий раз, когда она возникает как образ интервала или круга под билипшицева карта ж, т.е. удовлетворение

${ Displaystyle C_ {1} | s-t | leq | f (s) -f (t) | leq C_ {2} | s-t |}$

для положительных констант C_я.^[10]

Квазиокружности и квазисимметричные гомеоморфизмы

Если φ - квазисимметричный гомеоморфизм окружности, то существуют конформные отображения ж из [z| <1 и грамм из |z|> 1 на непересекающиеся области такие, что дополнение образов ж и грамм жорданова кривая. Карты ж и грамм продолжаются непрерывно на окружность |z| = 1 и уравнение шитья

${ displaystyle varphi = g ^ {- 1} circ f}$

держит. Образ круга представляет собой квазицикружность.

И наоборот, используя Теорема римана отображения, конформные отображения ж и грамм униформизация внешней части квазиокружности приводит к квазисимметричному гомеоморфизму через указанное выше уравнение.

Фактор-пространство группы квазисимметричных гомеоморфизмов по подгруппе Преобразования Мебиуса предоставляет модель универсальное пространство Тейхмюллера. Приведенное выше соответствие показывает, что пространство квазиокружностей также можно взять за модель.^[11]

Квазиконформное отражение

Квазиконформное отражение в жордановой кривой - это квазиконформное отображение с изменением ориентации периода 2, которое меняет местами внутреннюю и внешнюю стороны кривой, фиксируя точки на кривой. Поскольку карта

${ displaystyle displaystyle {R_ {0} (z) = {1 over { overline {z}}}}}$

обеспечивает такое отражение для единичного круга, любой квазикруг допускает квазиконформное отражение. Альфорс (1963) доказал, что это свойство характеризует квазиокружности.

Альфорс заметил, что этот результат применим к равномерно ограниченным голоморфный однолистные функции ж(z) на единичном диске D. Пусть Ω = ж(D). Как доказал Каратеодори, используя свою теорию прайм заканчивается, ж непрерывно продолжается до единичной окружности тогда и только тогда, когда ∂Ω локально связно, т.е. допускает покрытие конечным числом компактных связных множеств сколь угодно малого диаметра. Расширение окружности равно 1-1, если и только если ∂Ω не имеет точек разреза, то есть точек, которые при удалении из ∂Ω дают несвязное множество. Теорема Каратеодори показывает, что локально множество без точек разреза является просто жордановой кривой и что именно в этом случае является продолжением кривой ж замкнутому единичному кругу гомеоморфизм.^[12] Если ж продолжается до квазиконформного отображения расширенной комплексной плоскости, то ∂Ω по определению является квазицикружностью. Наоборот Альфорс (1963) заметил, что если ∂Ω - квазиокружность и р₁ обозначает квазиконформное отражение в ∂Ω, то присвоение

${ Displaystyle Displaystyle {е (z) = R_ {1} fR_ {0} (z)}}$

для |z| > 1 определяет квазиконформное расширение ж на расширенную комплексную плоскость.

Сложные динамические системы

Коха снежинка

Известно, что квазициклы возникают как Юля наборы рациональных карт р(z). Салливан (1985) доказал, что если Набор Fatou из р состоит из двух компонентов и действие р на множестве Жюлиа является «гиперболическим», т.е. есть константы c > 0 и А > 1 такой, что

${ displaystyle | partial _ {z} R ^ {n} (z) | geq cA ^ {n}}$

на множестве Жюлиа, то множество Жюлиа является квазиокружностью.^[5]

Есть много примеров:^[13][14]

• квадратичные многочлены р(z) = z² + c с притягивающей неподвижной точкой
• то Кролик дуади (c = –0,122561 + 0,744862i, где c³ + 2 c² + c + 1 = 0)
• квадратичные многочлены z² + λz с | λ | <1
• то Коха снежинка

Квазифуксовы группы

Квазифуксовы группы получаются как квазиконформные деформации Фуксовы группы. По определению их предельные наборы являются квазиокружностями.^{[15][16][17][18][19]}

Пусть Γ - фуксова группа первого рода: дискретная подгруппа группы Мёбиуса, сохраняющая единичную окружность. действует правильно, прерывисто на единичном диске D и с пределом установить единичный круг.

Пусть μ (z) - измеримая функция на D с

${ Displaystyle | му | _ { infty} <1}$

такая, что μ является Γ-инвариантной, т. е.

${ Displaystyle му (г (z)) {{ overline { partial _ {z} g (z)}} over partial _ {z} g (z)} = mu (z)}$

для каждого грамм в Γ. (μ, таким образом, является "дифференциалом Бельтрами" на Риманова поверхность D / Γ.)

Продолжим μ до функции на C положив μ (z) = 0 выкл. D.

В Уравнение Бельтрами

${ Displaystyle partial _ { overline {z}} f (z) = mu (z) partial _ {z} f (z)}$

допускает решение, единственное с точностью до композиции с преобразованием Мёбиуса.

Это квазиконформный гомеоморфизм расширенной комплексной плоскости.

Если грамм является элементом Γ, то ж(грамм(z)) дает другое решение уравнения Бельтрами, так что

${ Displaystyle альфа (г) = е сирк г сирк е ^ {- 1}}$

является преобразованием Мёбиуса.

Группа α (Γ) является квазифуксовой группой с предельным множеством квазицикружности, заданной образом единичной окружности при ж.

Хаусдорфово измерение

В Кролик дуади состоит из квазиокружностей с размерностью Хаусдорфа примерно 1,3934^[20]

Известно, что существуют квазицикружности, у которых нет отрезков конечной длины.^[21] В Хаусдорфово измерение квазиокружностей впервые исследовал Геринг и Вяйсяля (1973), который доказал, что может принимать все значения в интервале [1,2).^[22] Астала (1993), используя новую технику «голоморфных движений», смог оценить изменение размерности Хаусдорфа любого плоского множества при квазиконформном отображении с дилатацией K. Для квазиокружностей C, была грубая оценка размерности Хаусдорфа^[23]

${ displaystyle d_ {H} (C) leq 1 + k}$

куда

${ displaystyle k = {K-1 over K + 1}.}$

С другой стороны, размерность Хаусдорфа для Юля наборы J_c итераций рациональные карты

${ Displaystyle R (z) = z ^ {2} + c}$

оценивается как результат работы Руфус Боуэн и Дэвид Рюэлль, кто показал это

${ displaystyle 1$

Поскольку это квазиокружности, соответствующие дилатации

${ displaystyle K = { sqrt {1 + t over 1-t}}}$

куда

${ displaystyle t = | 1 - { sqrt {1-4c}} |,}$

это привело Беккер и Поммеренке (1987) показать это для k маленький

${ displaystyle 1 + 0,36k ^ {2} leq d_ {H} (C) leq 1 + 37k ^ {2}.}$

Улучшив нижнюю оценку, следующие вычисления для Коха снежинка со Штеффеном Роде и Одед Шрамм, Астала (1994) предположил, что

${ displaystyle d_ {H} (C) leq 1 + k ^ {2}.}$

Эта гипотеза была доказана Смирнов (2010); полный отчет о его доказательствах до публикации уже был дан в Астала, Иванец и Мартин (2009).

Для квазифуксовой группы Боуэн (1978) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBowen1978 (помощь) и Салливан (1982) показал, что размерность Хаусдорфа d установленного предела всегда больше 1. Когда d <2, величина

${ Displaystyle лямбда = d (2-d) , in (0,1)}$

- низшее собственное значение лапласиана соответствующего гиперболическое 3-многообразие.^[24][25]

Примечания

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции о квазиконформных отображениях, Ван Ностранд
• Альфорс, Л. (1963), «Квазиконформные отражения», Acta Mathematica, 109: 291–301, Дои:10.1007 / bf02391816, Zbl  0121.06403
• Астала, К. (1993), "Искажение площади и размерности при квазиконформных отображениях на плоскости", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 90 (24): 11958–11959, Bibcode:1993ПНАС ... 9011958А, Дои:10.1073 / пнас.90.24.11958, ЧВК  48104, PMID  11607447
• Astala, K .; Зинсмайстер, М. (1994), "Голоморфные семейства квазифуксовых групп", Эргодическая теория Dynam. Системы, 14 (2): 207–212, Дои:10,1017 / с0143385700007847
• Астала, К. (1994), "Искажение площади квазиконформных отображений", Acta Math., 173: 37–60, Дои:10.1007 / bf02392568
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости, Принстонский математический ряд, 48, Princeton University Press, стр. 332–342, ISBN  978-0-691-13777-3, Раздел 13.2, Размерность квазиокружностей.
• Becker, J .; Поммеренке, К. (1987), "О хаусдорфовой размерности квазицикружений", Анна. Акад. Sci. Фенн. Сер. A I Math., 12: 329–333, Дои:10.5186 / aasfm.1987.1206
• Боуэн, Р. (1979), "Хаусдорфова размерность квазиокружностей", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика., 50: 11–25, Дои:10.1007 / BF02684767
• Карлесон, Л .; Гамелин, Т. Д. У. (1993), Сложная динамика, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97942-7
• Геринг, Ф. В .; Вяйсяля, Дж. (1973), "Хаусдорфова размерность и квазиконформные отображения", Журнал Лондонского математического общества, 6 (3): 504–512, CiteSeerX  10.1.1.125.2374, Дои:10.1112 / jlms / s2-6.3.504
• Геринг, Ф. В. (1982), Характерные свойства квазидисков, Séminaire de Mathématiques Supérieures, 84, Presses de l'Université de Montréal, ISBN  978-2-7606-0601-2
• Imayoshi, Y .; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Тейхмюллера, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-70088-5 +
• Лехто, О. (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера, Springer-Verlag, стр. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN  978-0-387-96310-5
• Lehto, O .; Виртанен, К. И. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 126 (Второе изд.), Springer-Verlag
• Марден, А. (2007), Внешние круги. Введение в трехмерные гиперболические многообразия, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83974-7
• Mumford, D .; Серия, С .; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры. Видение Феликса Кляйна, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-35253-6
• Пфлюгер, А. (1961), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc., 24: 401–412
• Роде, С. (1991), "О конформной сварке и квазиокружности", Michigan Math. Дж., 38: 111–116, Дои:10,1307 / мм / 1029004266
• Салливан Д. (1982), "Дискретные конформные группы и измеримая динамика", Бык. Амер. Математика. Soc., 6: 57–73, Дои:10.1090 / s0273-0979-1982-14966-7
• Салливан, Д. (1985), "Квазиконформные гомеоморфизмы и динамика, I, Решение проблемы Фату-Жюлиа на блуждающих областях", Анналы математики, 122 (2): 401–418, Дои:10.2307/1971308, JSTOR  1971308
• Тиенари, М. (1962), "Fortsetzung einer quasikonformen Abbildung über einen Jordanbogen", Анна. Акад. Sci. Фенн. Сер. А, 321
• Смирнов, С. (2010), «Размерность квазиокружностей», Acta Mathematica, 205: 189–197, arXiv:0904.1237, Дои:10.1007 / s11511-010-0053-8, МИСТЕР  2736155