Анализ сингулярного спектра - Singular spectrum analysis

Анализ сингулярного спектра применительно к временному ряду F, с реконструированными компонентами, сгруппированными в тенденции, колебания и шум.

В анализ временных рядов, анализ сингулярного спектра (SSA) это непараметрический спектральный метод оценки. Он сочетает в себе элементы классического Временные ряды анализ, многомерная статистика, многомерная геометрия, динамические системы и обработка сигналов. Его корни уходят в классический Karhunen (1946) –Loève (1945, 1978). спектральное разложение из Временные ряды и случайные поля и в Mañé (1981) -Takens (1981) теорема вложения. SSA может помочь в разложение временного ряда на сумму компонентов, каждый из которых имеет содержательную интерпретацию. Название «анализ сингулярного спектра» относится к спектру собственные значения в разложение по сингулярным числам из ковариационная матрица, а не прямо в разложение в частотной области.

Краткая история

Истоки SSA и, в более общем плане, методов обработки сигналов, основанных на подпространстве, восходят к восемнадцатому веку (Метод Прони ).^{[нужна цитата ]} Ключевым событием стала формулировка спектральное разложение ковариационного оператора случайных процессов на Кари Карунен и Мишель Лоэв в конце 1940-х гг. (Loève, 1945; Karhunen, 1947).

Брумхед и Кинг (1986a, b) и Fraedrich (1986) предложили использовать SSA и многоканальный SSA (M-SSA) в контексте нелинейной динамики с целью восстановления аттрактор системы из измеренных временных рядов. Эти авторы предоставили расширение и более надежное применение идеи восстановления динамики из одного временного ряда на основе теорема вложения. Несколько других авторов уже применили простые версии M-SSA к наборам метеорологических и экологических данных (Colebrook, 1978; Barnett and Hasselmann, 1979; Weare and Nasstrom, 1982).

Гил, Vautard и их коллеги (Vautard and Ghil, 1989; Ghil and Vautard, 1991; Vautard et al., 1992; Ghil et al., 2002) заметили аналогию между матрицей траекторий Брумхеда и Кинга, с одной стороны, и то Разложение Карунена – Лоэва (Анализ главных компонентов во временной области), с другой. Таким образом, SSA можно использовать как метод частотно-временной области для Временные ряды анализ - независимо от аттрактор реконструкция и в том числе случаи, в которых последняя может выйти из строя. В обзорной статье Ghil et al. (2002) является основой § Методология раздел этой статьи. Важнейшим результатом работы этих авторов является то, что SSA может надежно восстановить «скелет» аттрактора, в том числе при наличии шума. Этот каркас образован наименее нестабильными периодическими орбитами, которые можно идентифицировать в спектрах собственных значений SSA и M-SSA. Идентификация и подробное описание этих орбит может дать очень полезные указатели на лежащую в основе нелинейную динамику.

Так называемая методология «Caterpillar» - это версия SSA, которая была разработана в бывшем Советском Союзе, независимо от основной работы SSA на Западе. Эта методика стала известна в остальном мире совсем недавно (Данилов, Жиглявский, Ред., 1997; Гольяндина и др., 2001; Жиглявский, Ред., 2010; Голяндина, Жиглявский, 2013; Голяндина и др., 2018). «Caterpillar-SSA» подчеркивает концепцию разделимости, концепцию, которая приводит, например, к конкретным рекомендациям относительно выбора параметров SSA. Этот метод подробно описан в § SSA как инструмент без модели этой статьи.

Методология

На практике SSA - это непараметрический метод спектральной оценки, основанный на встраивании Временные ряды ${ Displaystyle {Икс (т): т = 1, ldots, N }}$ в векторном пространстве размерности ${ displaystyle M}$ . SSA продолжает диагонализацию ${ displaystyle M times M}$ матрица запаздывания-ковариации ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ из ${ Displaystyle X (т)}$ чтобы получить спектральная информация на временном ряду, предположительно стационарный в слабом смысле. Матрица ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ можно оценить непосредственно из данных как матрицу Теплица с постоянными диагоналями (Vautard and Ghil, 1989), то есть ее элементы ${ displaystyle c_ {ij}}$ зависит только от отставания ${ displaystyle | i-j |}$ :

{ Displaystyle c_ {ij} = { frac {1} {N- | ij |}} sum _ {t = 1} ^ {N- | ij |} X (t) X (t + | ij |). }

Альтернативный способ вычисления ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ , заключается в использовании ${ Displaystyle N ' раз M}$ "матрица траекторий" ${ displaystyle { textbf {D}}}$ который сформирован ${ displaystyle M}$ копии с запаздыванием ${ displaystyle { it {X (t)}}}$ , которые ${ displaystyle N '= N-M + 1}$ длинный; тогда

{ displaystyle { textbf {C}} _ ​​{X} = { frac {1} {N '}} { textbf {D}} ^ { rm {t}} { textbf {D}}.}

В ${ displaystyle M}$ собственные векторы ${ displaystyle { textbf {E}} _ {k}}$ матрицы запаздывания-ковариации ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ называются временными эмпирические ортогональные функции (ЭОФ). Собственные значения ${ displaystyle lambda _ {k}}$ из ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ учитывать частичную дисперсию в направлении ${ displaystyle { textbf {E}} _ {k}}$ и сумма собственных значений, т.е. след ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ , дает общую дисперсию исходного временного ряда ${ Displaystyle X (т)}$ . Название метода происходит от сингулярных значений ${ displaystyle lambda _ {k} ^ {1/2}}$ из ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}.}$

Разложение и реконструкция

Проецирование временного ряда на каждый EOF дает соответствующие временные главные компоненты (ПК) ${ displaystyle { textbf {A}} _ {k}}$ :

{ Displaystyle A_ {k} (t) = sum _ {j = 1} ^ {M} X (t + j-1) E_ {k} (j).}

Колебательный режим характеризуется парой почти равных собственных значений SSA и связанных с ними PC, которые находятся в приблизительной фазовой квадратуре (Ghil et al., 2002). Такая пара может эффективно представлять нелинейные ангармонические колебания. Это связано с тем, что одна пара собственных мод SSA с адаптацией к данным часто лучше улавливает базовую периодичность колебательного режима, чем методы с фиксированной базисные функции, такой как синусы и косинусы используется в преобразование Фурье.

Ширина окна ${ displaystyle M}$ определяет самую длинную периодичность, фиксируемую SSA. Разделение сигнал-шум можно получить, просто проверив излом на «осыпной диаграмме» собственных значений. ${ displaystyle lambda _ {k}}$ или сингулярные значения ${ displaystyle lambda _ {k} ^ {1/2}}$ против. ${ displaystyle k}$ . Смысл ${ displaystyle k ^ {*} = S}$ не следует путать с "измерением" ${ displaystyle D}$ лежащей в основе детерминированной динамики (Vautard and Ghil, 1989).

Тест Монте-Карло (Allen and Smith, 1996; Allen and Robertson, 1996; Groth and Ghil, 2015) может применяться для определения статистической значимости колебательных пар, обнаруживаемых SSA. Весь временной ряд или его части, которые соответствуют трендам, колебательным режимам или шуму, могут быть восстановлены с помощью линейных комбинаций PC и EOF, которые обеспечивают восстановленные компоненты (RC). ${ displaystyle { textbf {R}} _ {K}}$ :

{ displaystyle R_ {K} (t) = { frac {1} {M_ {t}}} sum _ {k in { textit {K}}} sum _ {j = {L_ {t} }} ^ {U_ {t}} A_ {k} (t-j + 1) E_ {k} (j);}

здесь ${ displaystyle K}$ - набор EOF, на которых строится реконструкция. Значения нормировочного коэффициента ${ displaystyle M_ {t}}$ , а также нижней и верхней границы суммирования ${ displaystyle L_ {t}}$ и ${ displaystyle U_ {t}}$ , различаются между центральной частью временного ряда и близостью его конечных точек (Ghil et al., 2002).

Многовариантное расширение

Многоканальный SSA (или M-SSA) является естественным продолжением SSA для ${ displaystyle L}$ -канальные временные ряды векторов или карт с ${ displaystyle N}$ точки данных ${ displaystyle {X_ {l} (t): l = 1, dots, L; t = 1, dots, N }}$ . В метеорологической литературе часто предполагается, что расширенный анализ EOF (EEOF) является синонимом M-SSA. Оба метода являются расширением классических анализ главных компонент (PCA) но они различаются по акцентам: анализ EEOF обычно использует число ${ displaystyle L}$ пространственных каналов намного больше, чем количество ${ displaystyle M}$ временных лагов, что ограничивает временную и спектральную информацию. С другой стороны, в M-SSA обычно выбирают ${ Displaystyle L leq M}$ . Часто M-SSA применяется к нескольким ведущим компьютерам пространственных данных с ${ displaystyle M}$ выбран достаточно большим, чтобы извлечь подробную временную и спектральную информацию из многомерного временного ряда (Ghil et al., 2002). Однако Groth и Ghil (2015) продемонстрировали возможные отрицательные эффекты сжатия этой дисперсии на скорость обнаружения слабых сигналов, когда число ${ displaystyle L}$ оставшихся ПК становится слишком маленьким. Эта практика может еще больше негативно повлиять на разумную реконструкцию пространственно-временных паттернов таких слабых сигналов, и Groth et al. (2016) рекомендуют сохранять максимальное количество ПК, т. Е. ${ Displaystyle L = N}$ .

Groth и Ghil (2011) продемонстрировали, что классический M-SSA-анализ страдает проблемой вырождения, а именно: EOF плохо разделяются между различными колебаниями, когда соответствующие собственные значения близки по размеру. Эта проблема является недостатком анализа главных компонентов в целом, а не только M-SSA в частности. Чтобы уменьшить эффекты смешения и улучшить физическую интерпретацию, Groth and Ghil (2011) предложили следующий VARIMAX вращение пространственно-временных EOF (ST-EOF) M-SSA. Чтобы избежать потери спектральных свойств (Plaut and Vautard 1994), они ввели небольшую модификацию обычное вращение VARIMAX это действительно принимает во внимание пространственно-временную структуру ST-EOF. В качестве альтернативы была предложена замкнутая матричная формулировка алгоритма одновременного вращения EOF с помощью итерационных SVD-разложений (Portes and Aguirre, 2016).

M-SSA имеет два подхода к прогнозированию: рекуррентный и векторный. Расхождения между этими двумя подходами объясняются организацией единой матрицы траекторий ${ displaystyle { textbf {X}}}$ каждой серии в матрицу блочных траекторий в многомерном случае. Две матрицы траекторий могут быть организованы либо как вертикальные (VMSSA), либо как горизонтальные (HMSSA), как было недавно введено в работе Hassani and Mahmoudvand (2013), и было показано, что эти конструкции приводят к лучшим прогнозам. Соответственно, у нас есть четыре различных алгоритма прогнозирования, которые можно использовать в этой версии MSSA (Hassani and Mahmoudvand, 2013).

Прогноз

В этом подразделе мы сосредоточимся на явлениях, которые демонстрируют значительный колебательный компонент: повторение повышает понимание и, следовательно, уверенность в методе прогнозирования, который тесно связан с таким пониманием.

Анализ сингулярного спектра (SSA) и метод максимальной энтропии (MEM) были объединены для предсказания множества явлений в метеорологии, океанографии и климатической динамике (Ghil et al., 2002 и ссылки в нем). Во-первых, «шум» отфильтровывается путем проецирования временного ряда на подмножество ведущих EOF, полученных с помощью SSA; выбранное подмножество должно включать статистически значимые колебательные режимы. Опыт показывает, что этот подход работает лучше всего, когда частичная дисперсия, связанная с парами RC, которые фиксируют эти моды, велика (Ghil and Jiang, 1998).

Предварительно отфильтрованные RC затем экстраполируются методом наименьших квадратов на авторегрессионная модель AR[п], коэффициенты которого дают MEM-спектр оставшегося «сигнала». Наконец, расширенные RC используются в процессе реконструкции SSA для получения прогнозных значений. Причина, по которой этот подход - через предварительную фильтрацию SSA, AR-экстраполяцию RC и реконструкцию SSA - работает лучше, чем обычное прогнозирование на основе AR, объясняется тем фактом, что отдельные RC являются узкополосными сигналами, в отличие от исходного, зашумленного времени. серии Икс(т) (Penland et al., 1991; Keppenne, Ghil, 1993). Фактически оптимальный порядок п полученный для отдельных RC значительно ниже, чем тот, который дается стандартным информационным критерием Akaike (AIC) или аналогичными критериями.

Заполнение пространственно-временного промежутка

Версия SSA для заполнения пробелов может использоваться для анализа наборов данных, которые неравномерная выборка или содержать отсутствующие данные (Кондрашов, Гил, 2006; Кондрашов и др., 2010). Для одномерных временных рядов процедура заполнения пробелов SSA использует временные корреляции для заполнения недостающих точек. Для многомерного набора данных при заполнении пробелов с помощью M-SSA используются преимущества как пространственной, так и временной корреляции. В любом случае: (i) оценки недостающих точек данных производятся итеративно, а затем используются для вычисления самосогласованной матрицы лаг-ковариации. ${ displaystyle { textbf {C}} _ {X}}$ и его EOF ${ displaystyle { textbf {E}} _ {k}}$ ; и (ii) перекрестная проверка используется для оптимизации ширины окна ${ displaystyle M}$ и количество ведущих режимов SSA для заполнения пропусков с помощью итеративно оцененного "сигнала", в то время как шум отбрасывается.

Как инструмент без модели

Области применения SSA очень широки: климатология, морские науки, геофизика, инженерия, обработка изображений, медицина, эконометрика. Следовательно, были предложены различные модификации SSA, и разные методологии SSA используются в практических приложениях, таких как тенденция добыча периодичность обнаружение сезонная корректировка, сглаживание, подавление шума (Голяндина и др., 2001).

Базовый SSA

SSA может использоваться как безмодельный метод, так что его можно применять к произвольным временным рядам, включая нестационарные временные ряды. Основная цель SSA - разложить временной ряд на сумму интерпретируемых компонентов, таких как тренд, периодические компоненты и шум, без каких-либо априорных предположений о параметрической форме этих компонентов.

Рассмотрим временной ряд с действительным знаком ${ Displaystyle mathbb {X} = (x_ {1}, ldots, x_ {N})}$ длины ${ displaystyle N}$ . Позволять ${ displaystyle L}$ ${ Displaystyle (1$ быть некоторым целым числом, называемым длина окна и ${ Displaystyle К = N-L + 1}$ .

Основной алгоритм

1 шаг: встраивание.

Сформировать матрица траекторий из серии ${ Displaystyle mathbb {X}}$ , какой ${ Displaystyle L ! раз ! K}$ матрица

{ displaystyle mathbf {X} = [X_ {1}: ldots: X_ {K}] = (x_ {ij}) _ {i, j = 1} ^ {L, K} = { begin {bmatrix } x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} & ldots & x_ {K} x_ {2} & x_ {3} & x_ {4} & ldots & x_ {K + 1} x_ {3} & x_ {4} & x_ {5} & ldots & x_ {K + 2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots x_ {L} & x_ {L + 1} & x_ {L + 2} & ldots & x_ {N} конец {bmatrix}}}

куда ${ Displaystyle X_ {я} = (x_ {i}, ldots, x_ {i + L-1}) ^ { mathrm {T}} ; quad (1 leq i leq K)}$ находятся запаздывающие векторы размера ${ displaystyle L}$ . Матрица ${ displaystyle mathbf {X}}$ это Матрица Ганкеля что обозначает ${ displaystyle mathbf {X}}$ имеет равные элементы ${ displaystyle x_ {ij}}$ на антидиагоналях ${ Displaystyle я + J = , { rm {const}}}$ .

2 шаг: Разложение по сингулярным значениям (СВД).

Выполните сингулярное разложение (SVD) матрицы траектории ${ displaystyle mathbf {X}}$ . Набор ${ Displaystyle mathbf {S} = mathbf {X} mathbf {X} ^ { mathrm {T}}}$ и обозначим через ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {L}}$ в собственные значения из ${ displaystyle mathbf {S}}$ взятые в порядке убывания ( ${ displaystyle lambda _ {1} geq ldots geq lambda _ {L} geq 0}$ ) и ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {L}}$ ортонормированная система собственные векторы матрицы ${ displaystyle mathbf {S}}$ соответствующие этим собственным значениям.

Набор ${ displaystyle d = mathop { mathrm {rank}} mathbf {X} = max {i, { mbox {такой, что}} lambda _ {i}> 0 }}$ (Обратите внимание, что ${ displaystyle d = L}$ для типичного реального сериала) и ${ Displaystyle V_ {я} = mathbf {X} ^ { mathrm {T}} U_ {i} / { sqrt { lambda _ {i}}}}$ ${ Displaystyle (я = 1, ldots, d)}$ . В этих обозначениях СВД матрицы траекторий ${ displaystyle mathbf {X}}$ можно записать как

{ Displaystyle mathbf {X} = mathbf {X} _ {1} + ldots + mathbf {X} _ {d},}

куда

{ displaystyle mathbf {X} _ {i} = { sqrt { lambda _ {i}}} U_ {i} V_ {i} ^ { mathrm {T}}}

- матрицы ранга 1; они называются элементарные матрицы. Коллекция ${ displaystyle ({ sqrt { lambda _ {i}}}, U_ {i}, V_ {i})}$ будет называться ${ displaystyle i}$ th восьмой (сокращенно ЕТ) СВД. Векторы ${ displaystyle U_ {i}}$ - левые сингулярные векторы матрицы ${ displaystyle mathbf {X}}$ , числа ${ displaystyle { sqrt { lambda _ {i}}}}$ являются сингулярными числами и обеспечивают особый спектр ${ displaystyle mathbf {X}}$ ; это дает имя SSA. Векторы ${ displaystyle { sqrt { lambda _ {i}}} V_ {i} = mathbf {X} ^ { mathrm {T}} U_ {i}}$ называются векторами главных компонент (ПК).

3-й шаг: восьмеричная группировка.

Разбить набор индексов ${ displaystyle {1, ldots, d }}$ в ${ displaystyle m}$ непересекающиеся подмножества ${ displaystyle I_ {1}, ldots, I_ {m}}$ .

Позволять ${ Displaystyle I = {i_ {1}, ldots, i_ {p} }}$ . Тогда результирующая матрица ${ displaystyle mathbf {X} _ {I}}$ соответствующий группе ${ displaystyle I}$ определяется как ${ displaystyle mathbf {X} _ {I} = mathbf {X} _ {i_ {1}} + ldots + mathbf {X} _ {i_ {p}}}$ . Полученные матрицы вычисляются для групп ${ displaystyle I = I_ {1}, ldots, I_ {m}}$ и групповое расширение СВД ${ displaystyle mathbf {X}}$ теперь можно записать как

{ displaystyle mathbf {X} = mathbf {X} _ {I_ {1}} + ldots + mathbf {X} _ {I_ {m}}.}

4-й шаг: диагональное усреднение.

Каждая матрица ${ displaystyle mathbf {X} _ {I_ {j}}}$ группового разложения ханкелизируется, а затем полученный Матрица Ганкеля превращается в новую серию длины ${ displaystyle N}$ с использованием взаимно однозначного соответствия между матрицами Ганкеля и временными рядами. Диагональное усреднение применяется к результирующей матрице ${ displaystyle mathbf {X} _ {I_ {k}}}$ производит реконструированная серия ${ displaystyle { widetilde { mathbb {X}}} ^ {(k)} = ({ widetilde {x}} _ {1} ^ {(k)}, ldots, { widetilde {x}} _ {N} ^ {(k)})}$ . Таким образом, исходная серия ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {N}}$ раскладывается в сумму ${ displaystyle m}$ реконструированные подсерии:

{ displaystyle x_ {n} = sum limits _ {k = 1} ^ {m} { widetilde {x}} _ {n} ^ {(k)} (n = 1,2, ldots , N).}

Эта декомпозиция является основным результатом алгоритма SSA. Разложение имеет смысл, если каждую реконструированную подсерию можно классифицировать как часть тренда или некоторого периодического компонента или шума.

Теория разделимости SSA

Два основных вопроса, на которые пытается ответить теория SSA: (a) какие компоненты временных рядов могут быть разделены SSA, и (b) как выбрать длину окна. ${ displaystyle L}$ и сделайте правильную группировку для извлечения желаемого компонента. Многие теоретические результаты можно найти в Golyandina et al. (2001, гл.1 и 6).

Тренд (который определяется как медленно меняющийся компонент временного ряда), периодические компоненты и шум асимптотически разделимы как ${ Displaystyle N rightarrow infty}$ . На практике ${ displaystyle N}$ является фиксированным, и нас интересует приблизительная разделимость между компонентами временного ряда. Можно использовать ряд показателей приблизительной разделимости, см. Голяндина и др. (2001, гл.1). Длина окна ${ displaystyle L}$ определяет разрешающую способность метода: большие значения ${ displaystyle L}$ обеспечивают более точное разложение на элементарные компоненты и, следовательно, лучшую разделимость. Длина окна ${ displaystyle L}$ определяет самую длинную периодичность, фиксируемую SSA. Тенденции можно извлечь, группируя собственные тройки с медленно меняющимися собственными векторами. Синусоида с частотой меньше 0,5 дает два приблизительно равных собственных значения и два собственных вектора синусоиды с одинаковыми частотами и ${ displaystyle pi / 2}$ -сдвинутые фазы.

Разделение двух компонентов временного ряда можно рассматривать как выделение одного компонента при наличии возмущения со стороны другого компонента. Теория возмущений SSA развита в Некруткине (2010) и Хассани и др. (2011).

Прогноз по SSA

Если для какой-то серии ${ Displaystyle mathbb {X}}$ шаг SVD в Basic SSA дает ${ displaystyle d$ , то этот ряд называется временной ряд ранга ${ displaystyle d}$ (Гольяндина и др., 2001, гл.5). Подпространство, натянутое на ${ displaystyle d}$ ведущие собственные векторы называются сигнальное подпространство. Это подпространство используется для оценки параметров сигнала в обработка сигналов, например ESPRIT для оценки частоты с высоким разрешением. Также это подпространство определяет линейное однородное рекуррентное соотношение (LRR), управляющий рядом, который может использоваться для прогнозирования. Продолжение серии от LRR аналогично форварду линейное предсказание в обработке сигналов.

Пусть серия управляется минимальным LRR ${ displaystyle x_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {d} b_ {k} x_ {n-k}}$ . Давайте выбирать ${ displaystyle L> d}$ , ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {d}}$ - собственные векторы (левые сингулярные векторы ${ displaystyle L}$ -траекторная матрица), которые обеспечиваются шагом SVD SSA. Тогда этот ряд управляется LRR ${ displaystyle x_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {L-1} a_ {k} x_ {n-k}}$ , куда ${ Displaystyle (а_ {L-1}, ldots, а_ {1}) ^ { mathrm {T}}}$ выражаются через ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {d}}$ (Гольяндина и др., 2001, гл. 5), и может быть продолжена той же ЛРР.

Это составляет основу алгоритмов рекуррентного и векторного прогнозирования SSA (Голяндина и др., 2001, гл.2). На практике сигнал искажается возмущением, например шумом, и его подпространство оценивается SSA приблизительно. Таким образом, прогнозирование SSA может применяться для прогнозирования компонента временного ряда, который приблизительно регулируется LRR и приблизительно отделен от остатка.

Многовариантное расширение

Многоканальный многомерный SSA (или M-SSA) является естественным расширением SSA для анализа многомерных временных рядов, где размер разных одномерных рядов не обязательно должен быть одинаковым. Матрица траекторий многоканальных временных рядов состоит из связанных матриц траекторий отдельных временных рядов. В остальном алгоритм такой же, как и в одномерном случае. Систему рядов можно прогнозировать аналогично рекуррентным и векторным алгоритмам SSA (Голяндина, Степанов, 2005). MSSA имеет множество приложений. Он особенно популярен при анализе и прогнозировании экономических и финансовых временных рядов с короткими и длинными рядами (Patterson et al., 2011, Hassani et al., 2012, Hassani and Mahmoudvand, 2013). Другое многомерное расширение - это 2D-SSA, которое можно применять к двумерным данным, таким как цифровые изображения (Голяндина и Усевич, 2010). Аналог матрицы траекторий строится путем перемещения 2D окон размером ${ displaystyle L_ {x} times L_ {y}}$ .

MSSA и причинно-следственная связь

При анализе временных рядов часто возникает вопрос, может ли одна экономическая переменная помочь в прогнозировании другой экономической переменной. Один из способов решения этого вопроса был предложен Грейнджером (1969), в котором он формализовал концепцию причинности. Комплексный тест на причинно-следственную связь, основанный на MSSA, недавно был введен для измерения причинно-следственной связи. Тест основан на точности прогнозирования и предсказуемости направления изменения алгоритмов MSSA (Hassani et al., 2011 и Hassani et al., 2012).

MSSA и EMH

Результаты прогнозирования MSSA могут быть использованы при изучении противоречия между гипотезами эффективного рынка (EMH). EMH предполагает, что информация, содержащаяся в ценовом ряду актива, отражается «мгновенно, полностью и постоянно» в текущей цене актива. Поскольку ряд цен и содержащаяся в нем информация доступны для всех участников рынка, никто не может получить выгоду, пытаясь воспользоваться информацией, содержащейся в истории цен актива, торгуя на рынках. Это оценивается с использованием двух серий с разной длиной серий в многомерной системе анализа SSA (Hassani et al. 2010).

MSSA, SSA и бизнес-циклы

Деловые циклы играют ключевую роль в макроэкономике и представляют интерес для различных игроков в экономике, включая центральные банки, политиков и финансовых посредников. Недавно были внедрены основанные на MSSA методы отслеживания бизнес-циклов, которые, как было показано, позволяют надежно оценивать циклическое положение экономики в режиме реального времени (de Carvalho et al., 2012 и de Carvalho and Rua, 2017) .

MSSA, SSA и единичный корень

Применимость SSA к любому типу стационарных рядов или рядов с детерминированным трендом была расширена на случай ряда со стохастическим трендом, также известного как ряд с единичным корнем. В Hassani и Thomakos (2010) и Thomakos (2010) дается основная теория свойств и применения SSA в случае рядов из единичного корня, а также несколько примеров. Показано, что SSA в таких рядах создает особый вид фильтра, форма и спектральные свойства которого выводятся, и что прогнозирование единственного восстановленного компонента сводится к скользящему среднему. Таким образом, SSA в единичных корнях обеспечивает "оптимизирующую" непараметрическую основу для сглаживания рядов с единичным корнем. Эта линия работы также распространяется на случай двух серий, каждая из которых имеет единичный корень, но коинтегрирована. Применение SSA в этой двумерной структуре дает сглаженную серию общего корневого компонента.

Заполнение пропусков

Версии SSA, заполняющие пробелы, могут использоваться для анализа наборов данных с неравномерной выборкой или содержащих отсутствующие данные (Schoellhamer, 2001; Голяндина, Осипов, 2007).

Schoellhamer (2001) показывает, что простая идея формального вычисления приблизительных внутренних произведений без неизвестных членов работает для длинных стационарных временных рядов. Голяндина и Осипов (2007) используют идею заполнения недостающих записей в векторах, взятых из данного подпространства. Рекуррентное и векторное прогнозирование SSA можно рассматривать как частные случаи заполнения описанных в статье алгоритмов.

Обнаружение структурных изменений

SSA может быть эффективно использован как непараметрический метод мониторинга временных рядов и обнаружение изменений. Для этого SSA выполняет отслеживание подпространства следующим образом. SSA применяется последовательно к начальным частям ряда, строит соответствующие подпространства сигналов и проверяет расстояния между этими подпространствами и запаздывающими векторами, сформированными из нескольких самых последних наблюдений. Если эти расстояния становятся слишком большими, предполагается, что в серии произошли структурные изменения (Голяндина и др., 2001, гл.3; Москвина, Жиглявский, 2003).

Таким образом, SSA может использоваться для обнаружение изменений не только в тенденциях, но и в изменчивости рядов, в механизме, определяющем зависимость между разными рядами, и даже в структуре шума. Этот метод оказался полезным для решения различных инженерных задач (например, Mohammad and Nishida (2011) в робототехнике).

Связь между SSA и другими методами

SSA и Авторегрессия. Типичная модель для SSA: ${ displaystyle x_ {n} = s_ {n} + e_ {n}}$ , куда ${ displaystyle s_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {r} a_ {k} s_ {n-k}}$ (сигнал удовлетворяет LRR) и ${ displaystyle e_ {n}}$ это шум. Модель AR - это ${ displaystyle x_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {r} a_ {k} x_ {n-k} + e_ {n}}$ . Несмотря на то, что эти две модели выглядят похоже, они очень разные. SSA рассматривает AR только как компонент шума. AR (1), который представляет собой красный шум, является типичной моделью шума для SSA Монте-Карло (Allen and Smith, 1996).

SSA и спектральные Фурье-анализ. В отличие от анализа Фурье с фиксированным базисом функций синуса и косинуса, SSA использует адаптивный базис, генерируемый самим временным рядом. В результате, базовая модель в SSA является более общей, и SSA может извлекать амплитудно-модулированные компоненты синусоидальной волны с частотами, отличными от ${ displaystyle k / N}$ . Методы, связанные с SSA, такие как ESPRIT может оценивать частоты с более высоким разрешением, чем спектральное Анализ Фурье.

SSA и Линейные рекуррентные отношения. Пусть сигнал моделируется серией, которая удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению ${ displaystyle s_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {r} a_ {k} s_ {n-k}}$ ; то есть ряд, который может быть представлен как сумма произведений экспоненциальных, полиномиальных и синусоидальных волновых функций. Это включает модель суммы сброшенных синусоид комплекснозначная форма которого ${ displaystyle s_ {n} = sum _ {k} C_ {k} rho _ {k} ^ {n} e ^ {i2 pi omega _ {k} n}}$ . Методы, связанные с SSA, позволяют оценка частот ${ displaystyle omega _ {k}}$ и экспоненциальные множители ${ displaystyle rho _ {k}}$ (Голяндина, Жиглявский, 2013, раздел 3.8). Коэффициенты ${ displaystyle C_ {k}}$ можно оценить по наименьших квадратов метод. Расширение модели, где ${ displaystyle C_ {k}}$ заменяются полиномами от ${ displaystyle n}$ , также можно рассматривать в рамках методов, связанных с SSA (Badeau et al., 2008).

SSA и Подпространство сигнала методы. SSA можно рассматривать как метод на основе подпространства, поскольку он позволяет оценить подпространство сигнала размерности ${ displaystyle r}$ к ${ displaystyle mathop { mathrm {span}} (U_ {1}, ldots, U_ {r})}$ .

SSA и Государственные космические модели. Основная модель SSA: ${ displaystyle x_ {n} = s_ {n} + e_ {n}}$ , куда ${ displaystyle s_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {r} a_ {k} s_ {n-k}}$ и ${ displaystyle e_ {n}}$ это шум. Формально эта модель принадлежит к общему классу моделей пространства состояний. Специфика SSA заключается в том, что оценка параметров является второстепенной задачей в SSA, а процедуры анализа данных в SSA являются нелинейными, поскольку они основаны на SVD либо траектории, либо матрицы лаг-ковариации.

SSA и Независимый анализ компонентов (МКА). SSA используется в слепое разделение источников с помощью ICA в качестве этапа предварительной обработки (Pietilä et al., 2006). С другой стороны, ICA можно использовать в качестве замены шага SVD в алгоритме SSA для достижения лучшей разделимости (Голяндина, Жиглявский, 2013, раздел 2.5.4).

SSA и Регресс. SSA может извлекать полиномиальные и экспоненциальные тренды. Однако, в отличие от регрессии, SSA не предполагает какой-либо параметрической модели, которая может дать значительные преимущества, когда исследовательский анализ данных выполняется без очевидной модели (Голяндина и др., 2001, гл.1).

SSA и Линейные фильтры. Реконструкция ряда с помощью SSA может рассматриваться как адаптивная линейная фильтрация. Если длина окна ${ displaystyle L}$ мал, то каждый собственный вектор ${ Displaystyle U_ {я} = (и_ {1}, ldots, и_ {L}) ^ { mathrm {T}}}$ генерирует линейный фильтр шириной ${ displaystyle 2L-1}$ для реконструкции середины серии ${ displaystyle { widetilde {x}} _ {s}}$ , ${ Displaystyle L leq s leq K}$ . Фильтрация не является причинной. Тем не менее, так называемая SSA последней точки может использоваться как причинный фильтр (Голяндина, Жиглявский, 2013, раздел 3.9).

SSA и Оценка плотности. Поскольку SSA можно использовать как метод сглаживания данных, его можно использовать как метод непараметрической оценки плотности (Голяндина и др., 2012).

Анализ сингулярного спектра - Singular spectrum analysis

Содержание

Краткая история

Методология

Разложение и реконструкция

Многовариантное расширение

Прогноз

Заполнение пространственно-временного промежутка

Как инструмент без модели

Базовый SSA

Основной алгоритм

Теория разделимости SSA

Прогноз по SSA

Многовариантное расширение

MSSA и причинно-следственная связь

MSSA и EMH

MSSA, SSA и бизнес-циклы

MSSA, SSA и единичный корень

Заполнение пропусков

Обнаружение структурных изменений

Связь между SSA и другими методами

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка