Проблемы самок - Википедия - Smales problems

Проблемы Смейла список из восемнадцати нерешенные проблемы математики это было предложено Стив Смейл в 1998 г.,[1] переиздан в 1999 г.[2] Смейл составил этот список в ответ на запрос от Владимир Арнольд, затем вице-президент Международный математический союз, который попросил нескольких математиков предложить список задач для 21 века. Вдохновение Арнольда исходит из списка Проблемы Гильберта который был опубликован в начале 20 века.

Таблица проблем

ПроблемаКраткое объяснениеПоложение делГод решен
1-йГипотеза Римана: Действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2. (смотрите также Восьмая проблема Гильберта )Нерешенный.
2-йГипотеза Пуанкаре: Каждое односвязное замкнутое 3-многообразие гомеоморфно 3-сфере.Решено. Результат: Да, подтверждено Григорий Перельман с помощью Риччи поток.[3][4][5]2003
3-йПроблема P против NP: Для всех задач, для которых алгоритм может проверять данное решение быстро (то есть в полиномиальное время ), может ли алгоритм также найти это решение быстро?Нерешенный.
4-йТау-гипотеза Шуба – Смейла о целых нулях многочлена одной переменной[6][7]Нерешенный.
5-йМожно ли решить, если Диофантово уравнение ƒ(Икс,у) = 0 (ввод ƒ ∈  [ты,v]) имеет целочисленное решение, (Икс,у), во времени (2s)c для некоторой универсальной постояннойc? То есть можно ли решить проблему за экспоненциальное время?Нерешенный.
ШестойКоличество относительных равновесий (центральные конфигурации ) конечное, в п-тело задачи небесной механики, для любого выбора положительных действительных чисел м1, ..., мп как массы?Частично решено. Доказано А. Албуи и В. Калошиным практически для всех систем пяти тел в 2012 г.[8]2012
7-еАлгоритм нахождения множества так что функция: минимизируется для распределения N точек на 2-сфере. Это эквивалентно Проблема Томсона.Нерешенный.
8-еРасширить математическую модель теория общего равновесия включать цена корректировкиГьерстад (2013)[9] расширяет детерминированную модель корректировки цен до стохастической модели и показывает, что, когда стохастическая модель линеаризуется вокруг равновесия, результатом является модель авторегрессивной корректировки цен, используемая в прикладной эконометрике. Затем он тестирует модель с данными о корректировке цен из эксперимента по общему равновесию. Модель хорошо работает в эксперименте по общему равновесию с двумя товарами.2013
9-еВ линейное программирование проблема: найти сильно полиномиальное время алгоритм, который для данной матрицы А ∈ рм×п и б ∈ рм решает, существует ли Икс ∈ рп с Топор ≥ б.Нерешенный.
10-еЛемма Пью о закрытии (высший порядок гладкости)Частично решено. Доказано для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей М. Асаока и К. Ири в 2016 г.[10]2016
11-еЯвляется ли одномерная динамика вообще гиперболической?

(а) Может ли комплексный многочлен Т быть аппроксимированы одной из тех же степеней со свойством, что каждая критическая точка стремится к периодическому стоку при итерации?

(б) Может ли гладкое отображение Т : [0,1] → [0,1] быть Cр аппроксимируется гиперболическим, для всех р > 1?
(а) Неразрешенный, даже в простейшем пространстве параметров многочленов, Набор Мандельброта.

(b) Решено. Доказано Козловским, Шеном и ван Стриеном.[11]
2007
12-еДля закрытый коллектор и любой позволять быть топологическая группа из диффеоморфизмы из на себя. Учитывая произвольный , можно ли его произвольно хорошо аппроксимировать такими что он коммутирует только со своими итерациями?

Другими словами, это подмножество всех диффеоморфизмов, у которых центраторы тривиально плотны в ?

Частично решено. Решено в C1 топология Кристиана Бонатти, Сильвена Кровизье и Эми Уилкинсон[12] в 2009 году. Все еще открыт в Cр топология для р > 1.2009
13-е16-я проблема Гильберта: Опишите взаимное расположение овалов, исходящих из настоящий алгебраическая кривая и, как предельные циклы полинома векторное поле на самолете.Неразрешенный, даже для алгебраических кривых степени 8.
14-еСделайте свойства Аттрактор Лоренца показать это странного аттрактора?Решено. Результат: Да, решено Уорик Такер с помощью интервальная арифметика.[13]2002
15-еСделайте Уравнения Навье – Стокса в р3 всегда есть уникальное гладкое решение что распространяется на все времена?Нерешенный.
16-еГипотеза о якобиане: Если определитель Якоби F ненулевая константа и k имеет характеристика 0, тогда F имеет обратную функцию грамм : kN → kN, и грамм является обычный (в том смысле, что его компоненты являются многочленами).Нерешенный.
17-еРешение полиномиальные уравнения в полиномиальное время в среднем случаеРешено. К. Бельтран и Л. М. Пардо нашли однородный вероятностный алгоритм (среднее Алгоритм Лас-Вегаса ) для 17-й проблемы Смейла[14][15]

Ф. Кукер и П. Бюргиссер сделано сглаженный анализ вероятностного алгоритма à la Beltrán-Pardo а затем продемонстрировал детерминированный алгоритм, работающий во времени .[16]

Ну наконец то, П. Лайрес нашел альтернативный метод дерандомизации алгоритма и, таким образом, нашел детерминированный алгоритм, который работает в среднем за полиномиальное время.[17]

Все эти работы являются продолжением основополагающей работы Шуба и Смейла («Серия Безу»), начатой ​​в[18]
2008-2016
18-еПределы интеллект (в нем говорится о фундаментальных проблемах интеллекта и обучения как с человеческой, так и с машинной стороны)[19]Нерешенный.

В более поздних версиях Смейл также перечислил три дополнительные проблемы, «которые не кажутся достаточно важными, чтобы занять место в нашем основном списке, но все же было бы неплохо их решить»:[20][21]

  1. Проблема среднего значения
  2. Это трехсферный а минимальный набор (Гипотеза Готшалка )?
  3. Является Диффеоморфизм Аносова из компактный коллектор топологически такой же, как Группа Ли модель Джона Фрэнкса?

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Смейл, Стив (1998). «Математические задачи следующего века». Математический интеллигент. 20 (2): 7–15. CiteSeerX  10.1.1.35.4101. Дои:10.1007 / bf03025291.
  2. ^ Смейл, Стив (1999). «Математические задачи следующего века». В Arnold, V. I .; Atiyah, M .; Lax, P .; Мазур, Б. (ред.). Математика: рубежи и перспективы. Американское математическое общество. С. 271–294. ISBN  978-0821820704.
  3. ^ Перельман, Григорий (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv:math.DG / 0211159.
  4. ^ Перельман, Григорий (2003). «Поток Риччи с операцией на трехмерных многообразиях». arXiv:math.DG / 0303109.
  5. ^ Перельман, Григорий (2003). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv:math.DG / 0307245.
  6. ^ Шуб, Михаил; Смейл, Стив (1995). «О неразрешимости Nullstellensatz Гильберта и алгебраической версии» NP ≠ P?"". Duke Math. J. 81: 47–54. Дои:10.1215 / S0012-7094-95-08105-8. Zbl  0882.03040.
  7. ^ Bürgisser, Питер (2000). Полнота и редукция теории алгебраической сложности. Алгоритмы и вычисления в математике. 7. Берлин: Springer-Verlag. п. 141. ISBN  978-3-540-66752-0. Zbl  0948.68082.
  8. ^ Albouy, A .; Калошин, В. (2012). «Конечность центральных конфигураций пяти тел в плоскости». Анналы математики. 176: 535–588. Дои:10.4007 / анналы.2012.176.1.10.
  9. ^ Гьерстад, Стивен (2013). «Динамика цен в биржевой экономике». Экономическая теория. 52 (2): 461–500. CiteSeerX  10.1.1.415.3888. Дои:10.1007 / s00199-011-0651-5.
  10. ^ Asaoka, M .; Ири, К. (2016). "А C лемма о замыкании для гамильтоновых диффеоморфизмов замкнутых поверхностей ». Геометрический и функциональный анализ. 26 (5): 1245–1254. Дои:10.1007 / s00039-016-0386-3.
  11. ^ Козловский, О .; Shen, W .; ван Стриен, С. (2007). «Плотность гиперболичности в одном измерении». Анналы математики. 166: 145–182. Дои:10.4007 / анналы.2007.166.145.
  12. ^ Bonatti, C .; Crovisier, S .; Уилкинсон, А. (2009). "The C1-генерический диффеоморфизм имеет тривиальный централизатор ». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 109: 185–244. arXiv:0804.1416. Дои:10.1007 / s10240-009-0021-z.
  13. ^ Такер, Уорик (2002). «Строгий решатель ODE и 14-я проблема Смейла» (PDF). Основы вычислительной математики. 2 (1): 53–117. CiteSeerX  10.1.1.545.3996. Дои:10.1007 / s002080010018.
  14. ^ Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2008). «О 17-й проблеме Смейла: вероятностный положительный ответ» (PDF). Основы вычислительной математики. 8 (1): 1–43. CiteSeerX  10.1.1.211.3321. Дои:10.1007 / s10208-005-0211-0.
  15. ^ Бельтран, Карлос; Пардо, Луис Мигель (2009). «17-я проблема Смейла: среднее полиномиальное время для вычисления аффинных и проективных решений» (PDF). Журнал Американского математического общества. 22 (2): 363–385. Bibcode:2009JAMS ... 22..363B. Дои:10.1090 / s0894-0347-08-00630-9.
  16. ^ Кукер, Фелипе; Bürgisser, Питер (2011). «О проблеме, поставленной Стивом Смейлом». Анналы математики. 174 (3): 1785–1836. arXiv:0909.2114. Дои:10.4007 / летопись.2011.174.3.8.
  17. ^ Лайрес, Пьер (2016). «Детерминированный алгоритм для вычисления приближенных корней полиномиальных систем за полиномиальное среднее время». Основы вычислительной математики. появиться.
  18. ^ Шуб, Михаил; Смейл, Стивен (1993). «Сложность теоремы Безу. I. Геометрические аспекты». J. Amer. Математика. Soc. 6 (2): 459–501. Дои:10.2307/2152805. JSTOR  2152805..
  19. ^ «Тусон - День 3 - Интервью со Стивом Смейлом». Рекурсивность. 3 февраля 2006 г.
  20. ^ Смейл, Стив. «Математические задачи следующего века» (PDF).
  21. ^ Смейл, Стив. «Математические проблемы следующего века, Математика: рубежи и перспективы». Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд: 271–294.