Псевдотензор напряжения-энергии-импульса - Википедия - Stress–energy–momentum pseudotensor

В теории общая теория относительности, а псевдотензор напряжения-энергии-импульса, такой как Псевдотензор Ландау – Лифшица, является продолжением негравитационного тензор энергии-импульса который включает энергию-импульс гравитации. Он позволяет определить энергию-импульс системы гравитирующего вещества. В частности, он позволяет всей материи плюс гравитирующей энергии-импульсу образовывать сохраненный ток в рамках общая теория относительности, таким образом общий энергия-импульс, пересекающий гиперповерхность (3-мерная граница) любой компактный пространство-время гиперобъем (4-мерное подмногообразие) обращается в нуль.

Некоторые люди (например, Эрвин Шредингер^{[нужна цитата ]}) возразили против этого вывода на том основании, что псевдотензоры являются неподходящими объектами в общей теории относительности, но закон сохранения требует только использования 4-расхождение псевдотензора, который в данном случае является тензором (который также обращается в нуль). Кроме того, большинство псевдотензоров - это участки жгуты, которые теперь признаются в GR как вполне допустимые объекты.

Псевдотензор Ландау – Лифшица

Использование Псевдотензор Ландау – Лифшица, напряжение – энергия – импульс псевдотензор для комбинированной материи (включая фотоны и нейтрино) плюс гравитация,^[1] позволяет распространить законы сохранения энергии-импульса на общая теория относительности. Вычитание материи тензор энергии-импульса-импульса из комбинированного псевдотензора приводит к гравитационному псевдотензору напряжения-энергии-импульса.

Требования

Ландо и Лифшиц при поиске псевдотензора гравитационного импульса энергии руководствовались четырьмя требованиями: ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} ,}$ :^[1]

чтобы он был построен полностью из метрический тензор, так что они имеют чисто геометрическое или гравитационное происхождение.
чтобы он был симметричным по индексу, т.е. ${ Displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = t_ {LL} ^ { nu mu} ,}$ , (чтобы сохранить угловой момент )
что при добавлении к тензор энергии-импульса материи, ${ Displaystyle Т ^ { му ню} ,}$ , всего 4-расхождение исчезает (это требуется для любого сохраненный ток ) так что мы имеем сохраняющееся выражение для полного напряжения-энергии-импульса.
что он исчезает локально в инерциальная система отсчета (что требует, чтобы он содержал только первую, а не вторую или более высокую производные метрики). Это потому, что принцип эквивалентности требует, чтобы гравитационное силовое поле, Символы Кристоффеля, исчезают локально в некоторых кадрах. Если гравитационная энергия является функцией его силового поля, как это обычно бывает для других сил, тогда соответствующий гравитационный псевдотензор также должен исчезнуть локально.

Определение

Ландау и Лифшиц показали, что существует уникальная конструкция, удовлетворяющая этим требованиям, а именно:

{ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = - { frac {c ^ {4}} {8 pi G}} G ^ { mu nu} + { frac {c ^ {4 }} {16 pi G (-g)}} ((- g) (g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta} -g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta})) _ {, alpha beta}}

куда:

грамм^μν это Тензор Эйнштейна (который построен из метрики)
грамм^μν инверсия метрический тензор
грамм = det (грамм_μν) это детерминант метрического тензора и <0. Отсюда его появление в виде ${ displaystyle -g}$ .
${ displaystyle, _ { alpha beta} = { frac { partial ^ {2}} { partial x ^ { alpha} partial x ^ { beta}}} ,}$ находятся частные производные, нет ковариантные производные.
грамм это Ньютон гравитационная постоянная.

Проверка

Изучив 4 условия требований, мы видим, что первые 3 относительно легко продемонстрировать:

Поскольку тензор Эйнштейна, ${ Displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ , строится из метрики, поэтому ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu}}$
Поскольку тензор Эйнштейна, ${ Displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ , симметричен, поэтому ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu}}$ поскольку дополнительные члены симметричны при осмотре.
Псевдотензор Ландау – Лифшица построен так, что при добавлении к тензор энергии-импульса материи, ${ Displaystyle Т ^ { му ню} ,}$ , всего 4-расхождение исчезает: ${ displaystyle ((-g) (T ^ { mu nu} + t_ {LL} ^ { mu nu})) _ {, mu} = 0}$ . Это следует из сокращения тензора Эйнштейна, ${ Displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ , с тензор энергии-импульса, ${ Displaystyle Т ^ { му ню} ,}$ посредством Уравнения поля Эйнштейна; оставшийся член алгебраически обращается в нуль из-за коммутативности частных производных, применяемых по антисимметричным индексам.
Псевдотензор Ландау – Лифшица, по-видимому, включает в себя члены второй производной в метрике, но на самом деле явные члены второй производной в псевдотензоре сокращаются с неявными членами второй производной, содержащимися в Тензор Эйнштейна, ${ Displaystyle G ^ { mu nu} ,}$ . Это более очевидно, когда псевдотензор прямо выражается через метрический тензор или Леви-Чивита связь; сохраняются только первые производные члены в метрике, и они исчезают, если система отсчета локально инерционна в любой выбранной точке. В результате весь псевдотензор исчезает локально (опять же, в любой выбранной точке) ${ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = 0}$ , что демонстрирует делокализацию гравитационной энергии-импульса.^[1]

Космологическая постоянная

При формулировке псевдотензора Ландау – Лифшица обычно предполагалось, что космологическая постоянная, ${ displaystyle Lambda ,}$ , было ноль. Настоящее время мы не делаем этого предположения, а выражение требует добавления ${ displaystyle Lambda ,}$ срок, дающий:

{ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} = - { frac {c ^ {4}} {8 pi G}} (G ^ { mu nu} + Lambda g ^ { mu nu}) + { frac {c ^ {4}} {16 pi G (-g)}} ((- g) (g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta} -g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta})) _ {, alpha beta}}

Это необходимо для согласования с Уравнения поля Эйнштейна.

Версии с метрическим и аффинным подключением

Ландау и Лифшиц также предоставляют два эквивалентных, но более длинных выражения для псевдотензора Ландау – Лифшица:

Метрический тензор версия:

{ displaystyle (-g) (t_ {LL} ^ { mu nu} + { frac {c ^ {4} Lambda g ^ { mu nu}} {8 pi G}}) = { frac {c ^ {4}} {16 pi G}} (({ sqrt {-g}} g ^ { mu nu}), _ { alpha} ({ sqrt {-g}} g ^ { alpha beta}), _ { beta} -}

{ displaystyle - ({ sqrt {-g}} g ^ { mu alpha}), _ { alpha} ({ sqrt {-g}} g ^ { nu beta}), _ { beta} + { frac {1} {2}} g ^ { mu nu} g _ { alpha beta} ({ sqrt {-g}} g ^ { alpha sigma}), _ { rho} ({ sqrt {-g}} g ^ { rho beta}), _ { sigma} -}

{ displaystyle - (g ^ { mu alpha} g _ { beta sigma} ({ sqrt {-g}} g ^ { nu sigma}), _ { rho} ({ sqrt {- g}} g ^ { beta rho}), _ { alpha} + g ^ { nu alpha} g _ { beta sigma} ({ sqrt {-g}} g ^ { mu sigma }), _ { rho} ({ sqrt {-g}} g ^ { beta rho}), _ { alpha}) +}

{ displaystyle + g _ { alpha beta} g ^ { sigma rho} ({ sqrt {-g}} g ^ { mu alpha}), _ { sigma} ({ sqrt {-g }} g ^ { nu beta}), _ { rho} + ,}

{ displaystyle + { frac {1} {8}} (2g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta} -g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta}) ( 2g _ { sigma rho} g _ { lambda omega} -g _ { rho lambda} g _ { sigma omega}) ({ sqrt {-g}} g ^ { sigma omega}), _ { alpha} ({ sqrt {-g}} g ^ { rho lambda}), _ { beta})}

^[2]

Аффинная связь версия:

{ displaystyle t_ {LL} ^ { mu nu} + { frac {c ^ {4} Lambda g ^ { mu nu}} {8 pi G}} = { frac {c ^ { 4}} {16 pi G}} ((2 Gamma _ { alpha beta} ^ { sigma} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho} - Gamma _ { alpha rho } ^ { sigma} Gamma _ { beta sigma} ^ { rho} - Gamma _ { alpha sigma} ^ { sigma} Gamma _ { beta rho} ^ { rho}) (g ^ { mu alpha} g ^ { nu beta} -g ^ { mu nu} g ^ { alpha beta}) +}

{ displaystyle + g ^ { mu alpha} g ^ { beta sigma} ( Gamma _ { alpha rho} ^ { nu} Gamma _ { beta sigma} ^ { rho} + Gamma _ { beta sigma} ^ { nu} Gamma _ { alpha rho} ^ { rho} - Gamma _ { sigma rho} ^ { nu} Gamma _ { alpha бета} ^ { rho} - Gamma _ { alpha beta} ^ { nu} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho}) +}

{ displaystyle + g ^ { nu alpha} g ^ { beta sigma} ( Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} Gamma _ { beta sigma} ^ { rho} + Gamma _ { beta sigma} ^ { mu} Gamma _ { alpha rho} ^ { rho} - Gamma _ { sigma rho} ^ { mu} Gamma _ { alpha бета} ^ { rho} - Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho}) +}

{ displaystyle + g ^ { alpha beta} g ^ { sigma rho} ( Gamma _ { alpha sigma} ^ { mu} Gamma _ { beta rho} ^ { nu} - Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} Gamma _ { sigma rho} ^ { nu}))}

^[3]

Это определение энергии-импульса ковариантно применимо не только при преобразованиях Лоренца, но и при общих преобразованиях координат.

Псевдотензор Эйнштейна

Этот псевдотензор был первоначально разработан Альберт Эйнштейн.^[4]^[5]

Поль Дирак показал^[6] что смешанный псевдотензор Эйнштейна

{ displaystyle {t _ { mu}} ^ { nu} = { frac {c ^ {4}} {16 pi G { sqrt {-g}}}} ((g ^ { alpha beta } { sqrt {-g}}) _ {, mu} ( Gamma _ { alpha beta} ^ { nu} - delta _ { beta} ^ { nu} Gamma _ { alpha sigma} ^ { sigma}) - delta _ { mu} ^ { nu} g ^ { alpha beta} ( Gamma _ { alpha beta} ^ { sigma} Gamma _ { sigma rho} ^ { rho} - Gamma _ { alpha sigma} ^ { rho} Gamma _ { beta rho} ^ { sigma}) { sqrt {-g}})}

удовлетворяет закону сохранения

{ displaystyle (({T _ { mu}} ^ { nu} + {t _ { mu}} ^ { nu}) { sqrt {-g}}) _ {, nu} = 0.}

Ясно, что этот псевдотензор для гравитационного стресса – энергии построен исключительно на основе метрического тензора и его первых производных. Следовательно, он обращается в нуль в любом случае, когда система координат выбирается так, чтобы первые производные метрики обращались в нуль, потому что каждый член в псевдотензоре квадратичен по первым производным метрики. Однако он несимметричен и поэтому не подходит в качестве основы для определения углового момента.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c Лев Давидович Ландау и Евгений Михайлович Лифшиц, Классическая теория поля, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 Глава 11, Раздел № 96
^ Уравнение Ландау – Лифшица 96.9
^ Уравнение Ландау – Лифшица 96.8
^ Альберт Эйнштейн Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (Принцип Гамильтона и общая теория относительности). Sitzungsber. преусс. Акад. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
^ Альберт Эйнштейн Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Закон сохранения энергии в общей теории относительности). Sitzungsber. преусс. Акад. Wiss. 1918, 1, 448–459.
^ П.А.М. Дирак, Общая теория относительности (1975), Princeton University Press, краткое изложение основ GTR. ISBN 0-691-01146-X страницы 61—63