Пространство Берковича - Berkovich space

В математика, а Пространство Берковича, представлен Беркович (1990 ), является вариантом аналитического пространства над неархимедово поле (например. п-адическое поле ), уточняя представление Тейта о жесткое аналитическое пространство.

Мотивация

в сложный дело, алгебраическая геометрия начинается с определения сложного аффинного пространства как ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ Для каждого ${ Displaystyle U подмножество mathbb {C} ^ {n},}$ мы определяем ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {U},}$ то звенеть из аналитические функции на ${ displaystyle U}$ быть кольцом голоморфные функции, т.е. функционирует на ${ displaystyle U}$ который может быть записан как сходящийся степенной ряд в район каждой точки.

Затем мы определяем пространство локальной модели для ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {n} in { mathcal {O}} _ {U}}$ быть

{ displaystyle X: = {x in U: f_ {1} (x) = cdots = f_ {n} (x) = 0 }}

с ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} = { mathcal {O}} _ {U} / (f_ {1}, ldots, f_ {n}).}$ А сложное аналитическое пространство локально окольцованный ${ displaystyle mathbb {C}}$ -Космос ${ displaystyle (Y, { mathcal {O}} _ {Y})}$ которое локально изоморфно локальному модельному пространству.

Когда ${ displaystyle k}$ это полный неархимедово поле, мы имеем ${ displaystyle k}$ является полностью отключен. В таком случае, если мы продолжим то же определение, что и в сложном случае, мы не получим хорошей аналитической теории. Беркович дал определение, которое дает хорошие аналитические пространства над такими ${ displaystyle k}$ , а также возвращает обычное определение над ${ displaystyle mathbb {C}.}$

В дополнение к определению аналитических функций над неархимедовыми полями пространства Берковича также имеют приятную основу топологическое пространство.

Спектр Берковича

А полунорма на кольце ${ displaystyle A}$ непостоянная функция ${ Displaystyle | ! - ! |: от А до mathbb {R} _ { geq 0}}$ такой, что

{ displaystyle { begin {align} | 0 | & = 0 | 1 | & = 1 | f + g | & leqslant | f | + | g | | fg | & leqslant | f || g | конец {выровнено}}}

для всех ${ displaystyle f, g in A}$ . Это называется мультипликативный если ${ displaystyle | fg | = | f || g |}$ и называется норма если ${ displaystyle | f | = 0}$ подразумевает ${ displaystyle f = 0}$ .

Если ${ displaystyle A}$ нормированное кольцо с нормой ${ Displaystyle | ! - ! |}$ затем Спектр Берковича из ${ displaystyle A}$ , обозначенный ${ Displaystyle { mathcal {M}} (А)}$ , это набор мультипликативных полунорм на ${ displaystyle A}$ ограниченные нормой ${ displaystyle A}$ .

Спектр Берковича снабжен самым слабым топология такой, что для любого ${ displaystyle f in A}$ карта

{ displaystyle { begin {cases} varphi _ {f}: { mathcal {M}} (A) to mathbb {R} | cdot | mapsto | f | end {cases}} }

является непрерывный.

Спектр Берковича нормированного кольца ${ displaystyle A}$ является непустой если ${ displaystyle A}$ является ненулевой и является компактный если ${ displaystyle A}$ завершено.

Если ${ displaystyle x}$ является точкой спектра ${ displaystyle A}$ тогда элементы ${ displaystyle f}$ с ${ displaystyle | f | _ {x} = 0}$ сформировать главный идеал из ${ displaystyle A}$ . В поле частного фактора по этому простому идеалу есть нормированное поле, пополнение которого есть полное поле с мультипликативной нормой; это поле обозначается ${ Displaystyle { mathcal {H}} (х)}$ и изображение элемента ${ displaystyle f in A}$ обозначается ${ displaystyle f (x)}$ . Поле ${ Displaystyle { mathcal {H}} (х)}$ порождается изображением ${ displaystyle A}$ .

Обратно ограниченное отображение из ${ displaystyle A}$ к полному нормированному полю с мультипликативной нормой, порожденным образом ${ displaystyle A}$ дает точку в спектре ${ displaystyle A}$ .

Спектральный радиус ${ displaystyle f,}$

{ displaystyle rho (f) = lim _ {n to infty} left | f ^ {n} right | ^ { frac {1} {n}}}

равно

{ displaystyle sup _ {x in { mathcal {M}} (A)} | f | _ {x}.}

Примеры

Спектр поля, завершенного относительно оценки, представляет собой единственную точку, соответствующую его оценке.

Если ${ displaystyle A}$ это коммутативная C * -алгебра то спектр Берковича совпадает с Спектр Гельфанда. Точка спектра Гельфанда - это, по сути, гомоморфизм к ${ displaystyle mathbb {C}}$ , а по модулю - соответствующая полунорма в спектре Берковича.

Теорема Островского показывает, что спектр Берковича целые числа (с обычной нормой) состоит из степеней ${ displaystyle | f | _ {p} ^ { varepsilon}}$ обычной оценки, для ${ displaystyle p}$ а основной или же ${ displaystyle infty}$ . Если ${ displaystyle p}$ тогда простое число ${ Displaystyle 0 leqslant varepsilon leqslant infty,}$ и если ${ displaystyle p = infty}$ тогда ${ Displaystyle 0 leqslant varepsilon leqslant 1.}$ Когда ${ displaystyle varepsilon = 0}$ все они совпадают с тривиальной оценкой, которая ${ displaystyle 1}$ на всех ненулевых элементах. Для каждого ${ displaystyle p}$ (простое число или бесконечность) мы получаем ветвь, которая гомеоморфный к настоящему интервал, ветви встречаются в точке, соответствующей тривиальной оценке. Открытые окрестности тривиальных оценок таковы, что они содержат все ветви, кроме конечного, и их пересечение с каждой ветвью открыто.

Аффинное пространство Берковича

Если ${ displaystyle k}$ это поле с оценка, то п-мерное аффинное пространство Берковича над ${ displaystyle k}$ , обозначенный ${ displaystyle mathbb {A} _ {k} ^ {n}}$ , - множество мультипликативных полунорм на ${ Displaystyle к [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ распространяя норму на ${ displaystyle k}$ .

Аффинное пространство Берковича оснащено самой слабой топологией, такой что для любого ${ displaystyle f in k}$ карта ${ displaystyle varphi _ {f}: mathbb {A} ^ {n} to mathbb {R}}$ принимая ${ Displaystyle | cdot | в mathbb {A} ^ {n}}$ к ${ displaystyle | f |}$ является непрерывным, это не спектр Берковича, а возрастающее объединение спектров Берковича кольца степенных рядов, сходящиеся в некотором шаре (поэтому он локально компактен).

Определим аналитическую функцию на открытом подмножестве ${ Displaystyle U подмножество mathbb {A} ^ {n}}$ это карта

{ displaystyle f: U to prod _ {x in U} { mathcal {H}} (x)}

с ${ Displaystyle е (х) in { mathcal {H}} (х)}$ который является локальным пределом рациональных функций, т. е. таким, что каждая точка ${ Displaystyle х в U}$ имеет открытый район ${ Displaystyle U ' подмножество U}$ со следующим свойством:

{ displaystyle forall varepsilon> 0 , exists g, h in { mathcal {k}} [x_ {1}, ldots, x_ {n}]: qquad forall x ' in U' left (h (x ') neq 0 , land left | f (x') - { frac {g (x ')} {h (x')}} right | < varepsilon верно).}

Продолжая с теми же определениями, что и в комплексном случае, можно определить кольцо аналитических функций, локальное модельное пространство и аналитические пространства над любым полем с оценкой (можно также определить подобные объекты над нормированными кольцами). Это дает разумные объекты для полей, полных относительно нетривиальной оценки и кольца целых чисел ${ displaystyle mathbb {Z}.}$

В случае, когда ${ Displaystyle к = mathbb {C},}$ это даст те же объекты, что описаны в разделе мотивации.

Не все эти аналитические пространства являются аналитическими пространствами над неархимедовыми полями.

Аффинная линия Берковича

В 1-мерное аффинное пространство Берковича называется Аффинная линия Берковича. Когда ${ displaystyle k}$ алгебраически замкнутый неархимедово поле, с учетом его оценки, можно описать все точки аффинной линии.

Есть канонический встраивание ${ Displaystyle к hookrightarrow mathbb {A} _ {k} ^ {1}}$ .

Космос ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$ является локально компактным, Хаусдорф, и однозначно соединенный путём топологическое пространство, содержащее ${ displaystyle k}$ как плотный подпространство.

Можно также определить проективную прямую Берковича ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ путем присоединения к ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$ подходящим образом - бесконечно удаленную точку. Полученное пространство представляет собой компактное хаусдорфово однозначно линейно связное топологическое пространство, содержащее ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1} (к)}$ как плотное подпространство.

Пространство Берковича - Berkovich space

Содержание

Мотивация

Спектр Берковича

Примеры

Аффинное пространство Берковича

Аффинная линия Берковича

Рекомендации

внешняя ссылка