Материя Дирака - Dirac matter

эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Ноябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Период, термин Материя Дирака относится к классу конденсированное вещество системы, которые можно эффективно описать Уравнение Дирака. Хотя Уравнение Дирака сам был сформулирован для фермионы, квазичастицы, присутствующие в материи Дирака, могут иметь любую статистику. Как следствие, материю Дирака можно выделить в фермионный, бозонный или анонимный Дело Дирака. Выдающиеся примеры дираковской материи^{[1][2][3][4][5]} находятся Графен, топологические изоляторы, Полуметаллы Дирака, Полуметаллы Вейля, различный высокотемпературные сверхпроводники с участием ${ displaystyle d}$-волновое сопряжение и жидкий гелий-3. Эффективная теория таких систем классифицируется особым выбором Масса Дирака, скорость Дирака, Матрицы Дирака и искривление пространства-времени. Универсальное рассмотрение класса дираковской материи с точки зрения эффективной теории приводит к общим чертам в отношении плотность состояний, то теплоемкость и примесное рассеяние.

Определение

Члены класса дираковской материи существенно различаются по своей природе. Однако все примеры дираковской материи объединены сходством в алгебраической структуре описывающей их эффективной теории.

Общее

Общее определение материи Дирака - это система конденсированного состояния, в которой квазичастица возбуждения можно описать в искривленном пространстве-времени обобщенным уравнением Дирака:

${ displaystyle left [я hbar v_ {D} gamma ^ {a} e_ {a} ^ { mu} d _ { mu} (p) -mv_ {D} ^ {2} right] Psi = 0.}$

В приведенном выше определении ${ displaystyle d _ { mu}}$ обозначает ковариантный вектор в зависимости от ${ displaystyle (d + 1)}$-мерный импульс ${ displaystyle p}$ (${ displaystyle d}$ Космос ${ displaystyle +1}$ измерение времени), ${ displaystyle e_ {a} ^ { mu}}$ это Vierbein описывая кривизну пространства, ${ displaystyle m}$ то квазичастица масса и ${ displaystyle v_ {D}}$ скорость Дирака. Обратите внимание, что поскольку в веществе Дирака уравнение Дирака дает эффективную теорию квазичастиц, энергия массового члена равна ${ displaystyle mv_ {D} ^ {2}}$, а не остальная масса ${ displaystyle mc ^ {2}}$ массивной частицы. ${ displaystyle gamma ^ { mu}}$ относится к набору Матрицы Дирака, где определение конструкции дается антикоммутационным соотношением,

${ displaystyle left { gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right } = gamma ^ { mu} gamma ^ { nu} + gamma ^ { nu} гамма ^ { mu} = eta ^ { mu nu} I_ {d}.}$

${ displaystyle eta ^ { mu nu}}$ это Метрика Минковского с подписью (+ - - -) и ${ displaystyle I_ {d}}$ это ${ displaystyle d times d}$-мерная единичная матрица. Во всех уравнениях неявное суммирование по ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle mu}$ используется (Конвенция Эйнштейна ). Более того, ${ displaystyle Psi}$ это волновая функция. Объединяющей чертой всей материи Дирака является матричная структура уравнения, описывающего квазичастичные возбуждения.

В пределе где ${ displaystyle d _ { mu} (p) = D _ { mu}}$, т.е. ковариантная производная, получается обычная дираковская материя. Однако это общее определение позволяет описывать материю с помощью дисперсионных соотношений более высокого порядка и в искривленном пространстве-времени до тех пор, пока эффективная Гамильтониан демонстрирует матрица структура, характерная для Уравнение Дирака.

Обычный (обычный)

Большинство экспериментальных реализаций дираковской материи на сегодняшний день находятся в пределах ${ displaystyle d _ { mu} (p) = D _ { mu}}$ что, таким образом, определяет обычную дираковскую материю, в которой квазичастицы описываются Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени,

${ displaystyle left [я hbar v_ {D} gamma ^ {a} e_ {a} ^ { mu} D _ { mu} -mv_ {D} ^ {2} right] Psi = 0. }$

Вот, ${ displaystyle D _ { mu}}$ обозначает ковариантная производная. Например, для плоской метрики энергия свободной дираковской частицы существенно отличается от классической кинетической энергии, где энергия пропорциональна квадрату импульса:

${ displaystyle { begin {align} mathrm {Free ~ Dirac ~ Particle: ;} E & = pm { sqrt { hbar ^ {2} v_ {D} ^ {2} mathbf {k} ^ { 2} + m ^ {2} c ^ {4}}} mathrm {Кинетическая ; энергия: ;} E & = { frac {m | mathbf {v} | ^ {2}} {2} } = { frac {| mathbf {k} | ^ {2}} {2m}}. end {align}}}$

Скорость Дирака ${ displaystyle v_ {D}}$ дает градиент ${ displaystyle E-k}$ дисперсия при больших импульсах ${ displaystyle k}$, ${ displaystyle m}$ это масса частицы или объекта. В случае безмассовой дираковской материи, такой как фермионные квазичастицы в графен или Полуметаллы Вейля, зависимость энергия-импульс линейна,

${ Displaystyle E ( mathbf {k}) = hbar v_ {D} | mathbf {k} |}$

Следовательно, обычная материя Дирака включает в себя все системы, которые имеют линейное пересечение или линейное поведение в некоторой области соотношения энергия-импульс. Они характеризуются чертами, которые напоминают крестик, иногда наклонены или перекошены, а иногда с зазором между верхом. ${ displaystyle vee}$ и ниже ${ Displaystyle клин}$ детали (точки поворота которых становятся закругленными, если происхождение зазора является массовым членом).

Общие особенности и некоторые конкретные примеры обычной дираковской материи обсуждаются в следующих разделах.

Общие свойства дираковской материи

Технологическая актуальность и настройка материи Дирака

Настройка дираковской материи: поскольку плотность состояний хорошо определена, плотность состояний на уровне Ферми (для фермионной дираковской материи) может быть хорошо настроена путем сдвига химического потенциала ${ displaystyle mu}$. Кроме того, вводя массовый термин ${ displaystyle m}$ приводит к зазору между двумя конусами, и дисперсия становится квадратичной вблизи ${ displaystyle k = 0}$.

Материя Дирака, особенно фермионная материя Дирака, имеет большой потенциал для технологических приложений. Например, 2010-е гг. Нобелевская премия по физике был присужден Андре Гейм и Константин Новоселов «За новаторские эксперименты с материалом графен». В официальном пресс-релизе Шведская королевская академия наук утверждается, что^[6]

[...] теперь появляется возможность широкого разнообразия практических приложений, включая создание новых материалов и производство инновационной электроники. По прогнозам, графеновые транзисторы будут значительно быстрее, чем современные кремниевые транзисторы, и приведут к созданию более эффективных компьютеров.

— Шведская королевская академия наук

В общем, свойствами безмассовой фермионной дираковской материи можно управлять, сдвигая химический потенциал посредством допинг или в пределах полевой эффект настроить. Настраивая химический потенциал, можно точно контролировать количество присутствующих состояний, поскольку плотность состояний изменяется четко определенным образом с энергией.

Кроме того, в зависимости от конкретной реализации материала Дирака, может быть возможно ввести массовый член ${ displaystyle m}$ что открывает брешь в спектре - запрещенная зона. В общем, массовый член является результатом нарушения определенной симметрии системы. Размер запрещенная зона можно точно контролировать, контролируя силу массового члена.

Плотность состояний

В плотность состояний из ${ displaystyle d}$-мерная дираковская материя вблизи точки Дирака масштабируется как ${ Displaystyle N ( epsilon) propto | epsilon | ^ {d-1}}$ где ${ displaystyle epsilon}$ - энергия частицы.^[7] Исчезающая плотность состояний квазичастиц в материи Дирака имитирует полуметалл физика для физического измерения ${ displaystyle d> 1}$. В двумерных системах, таких как графен и топологические изоляторы, плотность состояний дает V-образную форму по сравнению с постоянным значением для массивных частиц с дисперсией ${ displaystyle E = k ^ {2} / 2m}$.

Экспериментальное измерение плотности состояний вблизи точки Дирака стандартными методами, такими как сканирующая туннельная микроскопия, часто отличается от теоретической формы из-за эффектов беспорядка и взаимодействий.^[8]

Удельная теплоемкость

Удельная теплоемкость, теплоемкость на единицу массы, описывает энергию, необходимую для изменения температуры образца. Низкотемпературный электронный удельная теплоемкость материи Дирака ${ Displaystyle С (Т к 0) сим Т ^ {d}}$ который отличается от ${ displaystyle C (T to 0) sim T}$ встречается для нормальных металлов.^[7] Следовательно, для систем, физический размер которых больше 1, удельная теплоемкость может дать четкое представление о дираковской природе квазичастиц.

Квантование Ландау

Квантование Ландау относится к квантованию циклотронных орбит заряженных частиц в магнитных полях. В результате заряженные частицы могут занимать только орбиты с дискретными значениями энергии, называемые уровнями Ландау. Для двумерных систем с перпендикулярным магнитным полем энергия уровней Ландау для обычного вещества, описываемого уравнением Шредингера, и материи Дирака определяется выражением^[7]

${ displaystyle { begin {align} mathrm {Ordinary ;atter: ;} E & = hbar omega _ {c} left (n + { frac {1} {2}} right), mathrm {Дирак ; Материя: ;} E & = hbar omega _ {c} { sqrt {| n |}}. end {выравнивается}}}$

Вот, ${ displaystyle omega _ {c}}$ это циклотронная частота которое линейно зависит от приложенного магнитного поля и заряда частицы. Между квантованием уровней Ландау для 2D-фермионов Шредингера (обычная материя) и 2D-фермионов Дирака есть две отличительные особенности. Во-первых, энергия фермионов Шредингера линейно зависит от целого квантового числа ${ displaystyle n}$, в то время как для дираковских фермионов он имеет корневая зависимость. Это ключевое отличие играет важную роль в экспериментальной проверке дираковской материи.^[9][10] Кроме того, для ${ displaystyle n = 0}$ для фермионов Дирака существует нулевой уровень энергии, который не зависит от циклотронной частоты ${ displaystyle omega _ {c}}$ и приложенного магнитного поля. Например, наличие нулевого уровня Ландау приводит к возникновению квантовый эффект холла где проводимость Холла квантована при полуцелых значениях.^[11][7]

Фермионное дираковское вещество

В контексте фермионных квазичастиц скорость Дирака идентична скорости Ферми; в бозонных системах скорость Ферми отсутствует, поэтому скорость Дирака является более общим свойством таких систем.

Графен

Графен представляет собой двумерный кристаллический аллотроп из углерод, где атомы углерода расположены на шестиугольная решетка.Каждый атом углерода образует ${ displaystyle sigma}$-связи с тремя соседними атомами, лежащими в плоскости графена под углами 120${ Displaystyle ^ { circ}}$. Эти связи опосредуются тремя из четырех атомов углерода. электроны а четвертый электрон, занимающий ${ displaystyle mathrm {p} _ {z}}$ орбитальный, посредник вне плоскости π-бонд что приводит к электронные группы на Уровень Ферми. Уникальные транспортные свойства и полуметаллический состояния графена являются результатом делокализованных электронов, занимающих эти p${ displaystyle _ {z}}$ орбитали.^[12]

Полуметаллическое состояние соответствует линейному пересечению энергетических зон на ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle K '}$ точки шестиугольника графена Зона Бриллюэна. В этих двух точках электронная структура может быть эффективно описана Гамильтониан

${ displaystyle { cal {H}} = hbar v_ {D} left ( tau k_ {x} sigma _ {x} + k_ {y} sigma _ {y} right).}$

Вот, ${ displaystyle sigma _ {x}}$ и ${ displaystyle sigma _ {y}}$ два из трех Матрицы Паули.Фактор ${ Displaystyle тау = + / -}$ указывает, центрирован ли гамильтониан на ${ displaystyle K}$ или ${ displaystyle K '}$ долина на углу шестиугольника Зона Бриллюэна. Для графена скорость Дирака составляет около ${ displaystyle hbar v_ {D} приблизительно 5,8}$ эВ ${ Displaystyle mathrm { AA}}$.^[12] Энергетическая щель в дисперсии графена может быть получена из низкоэнергетического гамильтона, имеющего вид

${ displaystyle { begin {align} { cal {H}} = hbar v_ {D} ( tau k_ {x} sigma _ {x} + k_ {y} sigma _ {y}) + M sigma _ {z}, end {align}}}$

который теперь содержит массовый член ${ displaystyle M}$. Есть несколько различных способов введения массового члена, и результаты имеют разные характеристики.^[13][14] Наиболее практичный подход к созданию зазора (введение массового члена) состоит в нарушении симметрии подрешетки решетки, где каждый атом углерода немного отличается от своего ближайшего, но идентичен своим ближайшим соседям; эффект, который может быть результатом воздействия субстрата.

Топологические изоляторы

А топологический изолятор представляет собой материал, который ведет себя как изолятор внутри (в объеме), но поверхность которого содержит проводящие состояния. Это свойство представляет собой нетривиальную, защищенную от симметрии топологический порядок. Как следствие, электроны в топологических изоляторах могут двигаться только по поверхность материала. В объеме невзаимодействующего топологического изолятора Уровень Ферми находится в промежутке между зоны проводимости и валентные зоны. На поверхности внутри объема есть особые состояния. энергетический разрыв который можно эффективно описать гамильтонианом Дирака:

${ displaystyle { begin {align} { cal {H}} = hbar v_ {D} ( mathbf {k} times mathbf { sigma}) cdot { hat { mathbf {z}} } конец {выровнено}}}$

где ${ displaystyle { hat { mathbf {z}}}}$ нормально к поверхности и ${ Displaystyle { mathbf { sigma}}}$ на самом деле вращение основание. Однако, если мы повернем спин на унитарный оператор, ${ Displaystyle U = { rm {diag}} [1, я]}$, мы получим стандартные обозначения гамильтониана Дирака: ${ displaystyle { cal {H}} = hbar v_ {D} { mathbf { sigma}} cdot { mathbf {k}}}$. Такие конусы Дирака, возникающие на поверхности трехмерных кристаллов, наблюдались экспериментально, например: селенид висмута (Би${ displaystyle _ {2}}$Se${ displaystyle _ {3}}$),^[15][16] теллурид олова (SnTe)^[17] и многие другие материалы.^[18]

Дихалькогениды переходных металлов (TMDC)

Пока они зажаты, возле ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle K ^ { prime}}$ В точках их гексагональной зоны Бриллюэна дисперсии дихалькогенидов переходных металлов можно описать массивным уравнением Дирака с дополнительными членами спин-орбитальной связи, которые приводят к спин-расщеплению в валентной зоне.

Низкоэнергетические свойства некоторых полупроводниковых монослои дихалькогенидов переходных металлов, может быть описана двумерным массивным (разрывным) гамильтонианом Дирака с дополнительным членом, описывающим сильную спин-орбитальная связь:^{[19][20][21][22]}

${ displaystyle { begin {align} { cal {H}} = hbar v_ {D} ( tau k_ {x} sigma _ {x} + k_ {y} sigma _ {y}) + Дельта sigma _ {z} + lambda (1- sigma _ {z}) tau s + ( alpha + beta sigma _ {z}) (k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}). End {выравнивается}}}$

Спин-орбитальная связь ${ displaystyle lambda}$ обеспечивает большое спин-расщепление в валентной зоне и ${ displaystyle s}$ указывает на вращение степень свободы. Что касается графена, ${ Displaystyle тау}$ дает долине степень свободы - будь то рядом с ${ displaystyle K}$ или ${ displaystyle K ^ { prime}}$ точка гексагональной зоны Бриллюэна. Монослои дихалькогенидов переходных металлов часто обсуждаются в связи с потенциальными применениями в Valleytronics.

Полуметаллы Вейля

Полуметаллы Вейля, например, арсенид тантала (TaAs) и родственные материалы,^{[23][24][25][26][27][28]} силицид стронция (SrSi${ displaystyle _ {2}}$)^[29] имеют гамильтониан, который очень похож на гамильтониан графена, но теперь включает все три матрицы Паули, а линейные пересечения происходят в 3D:

${ displaystyle { cal {H}} = hbar v_ {D} (k_ {x} sigma _ {x} + k_ {y} sigma _ {y} + k_ {z} sigma _ {z} ).}$

Поскольку все три Матрицы Паули присутствуют, нет другой матрицы Паули, которая могла бы открыть пробел в спектре, и поэтому точки Вейля топологически защищенный.^[7] Наклон линейных конусов в сторону изменения скорости Дирака приводит к полуметаллам Вейля II типа.^[30][31]Отличительной, экспериментально наблюдаемой особенностью полуметаллов Вейля является то, что поверхностные состояния образуют Дуги Ферми так как Поверхность Ферми не образует замкнутого цикла.

Полуметаллы Дирака

В кристаллах, симметричных относительно инверсия и обращение времени, электронные энергетические зоны двукратно вырождены. Это вырождение называется Крамерсовское вырождение. Следовательно, полуметаллы с линейным пересечением двух энергетических зон (двукратное вырождение) на Энергия Ферми демонстрируют четырехкратное вырождение в точке пересечения. Эффективный Гамильтониан для этих состояний можно записать как

${ displaystyle { cal {H}} = hbar v_ {D} left ({ begin {array} {cc} { vec {k}} cdot { vec { sigma}} & 0 0 & - { vec {k}} cdot { vec { sigma}} end {array}} right).}$

Это в точности матричная структура дираковской материи. Примеры экспериментально реализованных полуметаллов Дирака: висмутид натрия (Na${ displaystyle _ {3}}$Би)^[32][33][34] и арсенид кадмия (Компакт диск${ displaystyle _ {3}}$Так как${ displaystyle _ {2}}$)^[35][36][37]

Бозонная материя Дирака

Дисперсии для бозонных (слева) и фермионных (справа) дираковских материалов. В отличие от фермионного случая, когда запрет Паули ограничивает возбуждения, близкие к энергии Ферми, для описания бозона требуется вся зона Бриллиуна.

Хотя исторический интерес был сосредоточен на фермионных квазичастицах, у которых есть потенциал для технологических приложений, особенно в электронике, математическая структура Уравнение Дирака не ограничивается статистика частиц. Это привело к недавнему развитию концепции бозонной дираковской материи.

На случай, если бозоны, здесь нет Принцип исключения Паули ограничить возбуждение близким к химический потенциал (Энергия Ферми для фермионов), поэтому вся Зона Бриллюэна должны быть включены. При низких температурах бозоны будут собираться в точке с наименьшей энергией, т.е. ${ displaystyle Gamma}$-точка нижней полосы. Для возбуждения квазичастиц в окрестности точки линейного пересечения необходимо добавить энергию.

Несколько примеров дираковской материи с фермионными квазичастицами встречаются в системах с гексагональной кристаллической решеткой; поэтому бозонные квазичастицы на гексагональной решетке являются естественными кандидатами в бозонную дираковскую материю. Фактически, симметрия, лежащая в основе кристаллической структуры, сильно ограничивает и защищает появление линейных пересечений зон. Типичный бозон квазичастицы в конденсированное вещество находятся магноны, фононы, поляритоны и плазмоны.

Существующие примеры бозонной дираковской материи включают переходный металл. галогениды такие как CrX${ displaystyle _ {3}}$ (X = Cl, Br, I), где магнон спектр показывает линейные пересечения,^[38] гранулированный сверхпроводники в сотовая решетка ^[39] и гексагональные массивы полупроводниковые микрополости хостинг поляритоны микрополости с линейными переходами.^[40] Как и графен, все эти системы имеют гексагональную решетчатую структуру.

Материалы Anyonic Dirac

Аньоновская дираковская материя - это гипотетическая область, которая до сих пор не исследована. An анйон это тип квазичастиц, который может встречаться только в двумерных системах. Учитывая бозоны и фермионы, обмен двух частиц дает вклад в волновую функцию с коэффициентом 1 или -1. Напротив, операция обмена двумя идентичными анионами вызывает глобальный фазовый сдвиг. Anyons обычно классифицируются как абелевский или неабелева, в зависимости от того, трансформируются ли элементарные возбуждения теории под действием абелевский представление из группа кос или неабелева.^[41] Абелевы эйоны были обнаружены в связи с дробный квантовый эффект Холла. Возможное построение анионной дираковской материи основано на защите симметрии пересечений анионных энергетических зон. По сравнению с бозонами и фермионами ситуация усложняется, поскольку трансляции в пространстве не обязательно коммутируют. Кроме того, для данной пространственной симметрии групповая структура, описывающая энион, сильно зависит от конкретной фазы обмена анионами. Например, для бозонов вращение частицы примерно на 2π т.е. 360${ Displaystyle ^ { circ}}$, не изменит своей волновой функции. Для фермионов вращение частицы около 2π, внесет фактор ${ displaystyle -1}$ волновой функции, тогда как 4π вращение, то есть вращение около 720${ Displaystyle ^ { circ}}$, даст ту же волновую функцию, что и раньше. Для энионов может потребоваться даже более высокая степень вращения, например, 6π, 8πи т.д., чтобы волновая функция оставалась неизменной.

Смотрите также

• Конус Дирака

дальнейшее чтение

• Новоселов, К.С .; Гейм, А. (2007). «Возвышение графена». Материалы Природы. 6 (3): 183–191. Bibcode:2007НатМа ... 6..183Г. Дои:10.1038 / nmat1849. PMID  17330084.
• Hasan, M. Z .; Xu, S.-Y .; Неупане, М (2015). «Топологические изоляторы, топологические полуметаллы Дирака, топологические кристаллические изоляторы и топологические изоляторы Кондо». В Ortmann, F .; Roche, S .; Валенсуэла, С. О. (ред.). Топологические изоляторы. Джон Вили и сыновья. С. 55–100. Дои:10.1002 / 9783527681594.ch4. ISBN  9783527681594.
• Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). "Фермионы Вейля наконец-то заметили". Мир физики. Получено 22 ноября 2018.
• Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный». Материалы Природы. 14 (9): 863. Дои:10.1038 / nmat4411. ISSN  1476-1122. PMID  26288972.
• Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). "Где твари Вейля". Физика. 8: 84. Bibcode:2015PhyOJ ... 8 ... 84В. Дои:10.1103 / Физика.8.84. Получено 22 ноября 2018.
• Цзя, Шуанг; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия». Материалы Природы. 15 (11): 1140–1144. arXiv:1612.00416. Bibcode:2016НатМа..15.1140J. Дои:10.1038 / nmat4787. PMID  27777402.

использованная литература