Громовский рубеж - Gromov boundary

В Граф Кэли из свободная группа с двумя генераторами. Это гиперболическая группа граница Громова которого является Кантор набор. Гиперболические группы и их границы - важные темы в геометрическая теория групп, как и графы Кэли.

(6,4,2) треугольный гиперболический тайлинг. В группа треугольников соответствующая этому замощению имеет границу Громова окружность.

В математике Громовский рубеж из δ-гиперболическое пространство (особенно гиперболическая группа ) - абстрактное понятие, обобщающее граничную сферу гиперболическое пространство. Концептуально граница Громова - это совокупность всех указывает на бесконечность. Например, граница Громова реальная линия это две точки, соответствующие положительной и отрицательной бесконечности.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений границы Громова геодезического и собственного δ-гиперболического пространства. Одно из наиболее распространенных применений классов эквивалентности геодезический лучи.^[1]

Выберите точку ${ displaystyle O}$ гиперболического метрического пространства ${ displaystyle X}$ быть источником. А геодезический луч это путь, заданный изометрия ${ displaystyle gamma: [0, infty) rightarrow X}$ так что каждый сегмент ${ displaystyle gamma ([0, t])}$ путь кратчайшей длины от ${ displaystyle O}$ к ${ Displaystyle gamma (т)}$ .

Две геодезические ${ displaystyle gamma _ {1}, gamma _ {2}}$ считаются эквивалентными, если существует константа ${ displaystyle K}$ такой, что ${ Displaystyle д ( гамма _ {1} (т), гамма _ {2} (т)) leq К}$ для всех ${ displaystyle t}$ . В класс эквивалентности из ${ displaystyle gamma}$ обозначается ${ displaystyle [ gamma]}$ .

В Громовский рубеж геодезического и собственного гиперболического метрического пространства ${ displaystyle X}$ это набор ${ Displaystyle частичный Икс = {[ гамма] | гамма}$ геодезический луч в ${ Displaystyle X }}$ .

Топология

Полезно использовать Громова произведение из трех точек. Произведение трех точек по Громову ${ displaystyle x, y, z}$ в метрическом пространстве ${ displaystyle (x, y) _ {z} = 1/2 (d (x, z) + d (y, z) -d (x, y))}$ . В дерево (теория графов), это измеряет длину пути от ${ displaystyle z}$ к ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ оставайтесь вместе, прежде чем расходиться. Поскольку гиперболические пространства древовидны, произведение Громова измеряет длину геодезических из ${ displaystyle z}$ к ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ держитесь близко, прежде чем расходиться

Учитывая точку ${ displaystyle p}$ в границе Громова определим множества ${ Displaystyle В (п, г) = {д ин частичный X |}$ есть геодезические лучи ${ displaystyle gamma _ {1}, gamma _ {2}}$ с ${ Displaystyle [ gamma _ {1}] = p, [ gamma _ {2}] = q}$ и ${ displaystyle lim inf _ {s, t rightarrow infty} ( gamma _ {1} (s), gamma _ {2} (t)) _ {O} geq r }}$ . Эти открытые наборы образуют основа для топологии границы Громова.

Эти открытые множества - это просто набор геодезических лучей, которые следуют за одним фиксированным геодезическим лучом на расстоянии ${ displaystyle r}$ прежде чем расходиться.

Эта топология превращает границу Громова в компактный метризуемый Космос.

Количество заканчивается гиперболической группы - это количество составные части границы Громова.

Свойства границы Громова

Граница Громова обладает рядом важных свойств. Одним из наиболее часто используемых свойств в теории групп является следующее: если группа ${ displaystyle G}$ действует геометрически на δ-гиперболическое пространство, тогда ${ displaystyle G}$ является гиперболическая группа и ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle X}$ имеют гомеоморфные границы Громова.^[2]

Одним из наиболее важных свойств является то, что это квазиизометрия инвариантный; то есть, если два гиперболических метрических пространства квазиизометричны, то квазиизометрия между ними дает гомеоморфизм между их границами.^[3]^[4] Это важно, потому что гомеоморфизмы компактных пространств намного легче понять, чем квазиизометрии пространств.

Примеры

Граница Громова дерево это Канторовское пространство.
Громовская граница гиперболическое n-пространство является (п-1)-размерный сфера.
Граница Громова фундаментальной группы компактная риманова поверхность - единичный круг.
Громовская граница наиболее гиперболические группы - это Губка менгера.^[5]

Обобщения

Визуальная граница пространства CAT (0)

Для полный CAT (0) пробел Икс, визуальная граница Икстак же, как граница Громова δ-гиперболического пространства, состоит из класса эквивалентности асимптотических геодезических лучей. Однако произведение Громова нельзя использовать для определения топологии на нем. Например, в случае плоской плоскости любые два геодезических луча, выходящие из точки, не идущей в противоположных направлениях, будут иметь бесконечное произведение Громова по отношению к этой точке. Визуальная граница вместо этого наделена коническая топология. Зафиксируйте точку о в Икс. Любую граничную точку можно представить в виде уникального геодезического луча, выходящего из о. Учитывая луч ${ displaystyle gamma}$ исходящий из о, и положительные числа т > 0 и р > 0, а основа соседства в граничной точке ${ displaystyle [ gamma]}$ задается множествами вида

{ displaystyle U ( gamma, t, r) = {[ gamma _ {1}] in partial X | gamma _ {1} (0) = о, d ( gamma _ {1} ( t), gamma (t))

Топология конуса, как определено выше, не зависит от выбора о.

Если Икс является правильный, то визуальная граница с топологией конуса будет компактный. Когда Икс является одновременно CAT (0) и собственным геодезическим δ-гиперболическим пространством, топология конуса совпадает с топологией границы Громова.^[6]

Гипотеза Кэннона

Гипотеза Кэннона касается классификации групп с бесконечно удаленной двумерной сферой:

Гипотеза Кэннона: Каждый Громов гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности действует геометрически на гиперболическое 3-пространство.^[7]

Известно, что аналог этой гипотезы верен для 1-сфер и неверен для сфер всех размерностей больше 2.

Примечания

^ Капович и Бенакли 2002
^ Громов 1987
^ Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г.
^ Гиз и де ла Харп 1996
^ Champetier 1995
^ Бридсон и Хефлигер, 1999 г.
^ Пушка 1994