Гиперконус - Hypercone

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Гиперконус»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Стереографическая проекция образующих сферического конуса (красный), параллели (зеленый) и гипермеридианы (синий). Из-за конформный Свойство стереографической проекции кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги или прямые линии. Образующие и параллели образуют трехмерный двойной конус. Гипермеридианы образуют набор концентрических сфер.

В геометрия, а гиперконус (или же сферический конус) - фигура в 4-мерном Евклидово пространство представлен уравнением

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -w ^ {2} = 0.}$

Это квадрика поверхность, и является одним из возможных 3-коллекторы которые являются 4-мерными эквивалентами коническая поверхность в 3-х измерениях. Его также называют сферический конус потому что его пересечения с гиперплоскости перпендикулярно к ш-оси сферы. Четырехмерный правый сферический гиперконус можно представить себе как сферу, которая расширяется со временем, начиная свое расширение из единственного точечного источника, так что центр расширяющейся сферы остается неподвижным. An косой сферический гиперкон будет сферой, которая расширяется со временем, снова начиная свое расширение из точечного источника, но так, чтобы центр расширяющейся сферы двигался с постоянной скоростью.

Параметрическая форма

Правый сферический гиперкон можно описать функцией

${displaystyle {vec {sigma}} (phi, heta, t) = (tscos heta cos phi, tscos heta sin phi, tssin heta, t)}$

с вершиной в начале координат и скоростью расширения s.

Тогда наклонный сферический гиперкон можно описать функцией

${displaystyle {vec {sigma}} (phi, heta, t) = (v_ {x} t + tscos heta cos phi, v_ {y} t + tscos heta sin phi, v_ {z} t + tssin heta, t) }$

куда ${displaystyle (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ представляет собой 3-скорость центра расширяющейся сферы. Примером такого конуса может быть расширяющийся звуковая волна как видно с точки зрения движущейся системы отсчета: например, звуковая волна реактивный самолет как видно из собственной системы отсчета джета.

Обратите внимание, что 3D-поверхности выше включают 4D-гиперобъемы, которые являются собственно 4-конусами.

Геометрическая интерпретация

Сферический конус состоит из двух неограниченных пеленки, которые пересекаются в начале координат и являются аналогами перьев трехмерной конической поверхности. В верхний покров соответствует половине с положительным ш-координаты, а нижний покров соответствует половине с отрицательным ш-координаты.

Если он ограничен между гиперплоскостями ш = 0 и ш = р для некоторого ненулевого р, то его можно закрыть 3 мяча радиуса рс центром в (0,0,0,р), так что он ограничивает конечный 4-мерный объем. Этот объем определяется формулой 1/3πр⁴, и является 4-мерным эквивалентом сплошной конус. Мяч можно рассматривать как «крышку» у основания 4-мерного конуса, а начало координат становится его «вершиной».

Эта форма может быть прогнозируемый в трехмерное пространство различными способами. Если проецировать на xyz гиперплоскость, его образ - мяч. Если проецировать на xyw, xzw, или же yzw гиперплоскостей, его образ - сплошной конус. При проецировании на наклонную гиперплоскость его изображение является либо эллипсоид или цельный конус с эллипсоидальным основанием (напоминающий рожок мороженого ). Эти изображения являются аналогами возможных изображений твердого конуса в двухмерной проекции.

Строительство

(Половина) гиперконус может быть построен аналогично построению трехмерного конуса. Трехмерный конус можно рассматривать как результат наложения дисков все меньшего размера друг на друга, пока они не сойдутся в одну точку. В качестве альтернативы трехмерный конус можно рассматривать как объем, выметаемый вертикальной равнобедренный треугольник поскольку он вращается вокруг своего основания.

Гиперконус 4D может быть построен аналогично: путем наложения все более мелких шариков друг на друга в 4-м направлении до тех пор, пока они не сужаются к точке, или путем взятия гиперобъема, сметаемого вертикально стоящим тетраэдром в 4-м направлении, когда он свободно вращается вокруг своей оси. основание в трехмерной гиперплоскости, на которой оно покоится.

Временная интерпретация

Если ш-координата уравнения сферического конуса интерпретируется как расстояние ct, куда т является координировать время и c это скорость света (константа), то это форма световой конус в специальная теория относительности. В этом случае уравнение обычно записывается как:

${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ct) ^ {2} = 0,}$

которое также является уравнением для сферические волновые фронты света.^[1] Тогда верхний покров - это световой конус будущего а нижний покров - это световой конус.^[2]

Смотрите также

• 3-сфера
• Гиперкуб
• Гиперплоскость
• Гиперповерхность
• Многообразие
• Световой конус

Рекомендации