Гипердетерминант - Hyperdeterminant

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья ведущий раздел не может адекватно подвести итог его содержание. Чтобы соответствовать требованиям Википедии руководство по ведению секции, пожалуйста, подумайте об изменении интереса к предоставить доступный обзор ключевых моментов статьи таким образом, чтобы она могла стоять сама по себе как краткая версия статьи. (Март 2013 г.) Эта статья может требовать уборка встретиться с Википедией стандарты качества. Конкретная проблема: Вики-ссылки непоследовательны, обозначения вводятся без достаточного контекста, различные разделы статьи находятся в сомнительном порядке и несколько разрознены. Пожалуйста помоги улучшить эту статью если вы можете. (Март 2013 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В гипердетерминант является обобщением детерминант в алгебра. В то время как детерминант скаляр ценится функция определено на п × п квадратная матрица, гипердетерминант определяется на многомерном массиве чисел или тензор. Подобно определителю, гипердетерминант - это однородный многочлен с целыми коэффициентами в компонентах тензора. Многие другие свойства детерминант каким-то образом обобщаются на гипердетерминанты, но в отличие от детерминанта, гипердетерминант не имеет простой геометрической интерпретации в терминах объемов.

Есть как минимум три определения гипердетерминанта. Первый был открыт Артур Кэли в 1843 г. (опубликовано в 1849 г. и переиздано в первом томе его собрания математических работ. Кембриджское философское общество в 1843 г. Он состоит из двух частей, и первый гипердетерминант Кэли рассматривается во второй части).^[1] Обычно обозначается как det₀. Второй гипердетерминант Кэли возник в 1845 году и часто называется Det. Это определение дискриминант для особой точки на скалярнозначном многолинейная карта.^[2]

Первый гипердетерминант Кэли определен только для гиперкубы имеющий четное число измерений (хотя существуют вариации в нечетных размерах). Второй гипердетерминант Кэли определен для ограниченного диапазона форматов гиперматриц (включая гиперкубы любых измерений). Третий гипердетерминант, совсем недавно определенный Глинном, встречается только для полей простой характеристики п. Обозначается через det_п и действует на все гиперкубы над таким полем.^[3]

"Мультипликативными" являются только первая и третья гипердетерминанты, за исключением второго гипердетерминанта в случае "граничных" форматов. Первый и третий гипердетерминанты также имеют замкнутые формулы как полиномы, и поэтому их степени известны, тогда как второй, похоже, не имеет замкнутой формулы или степени во всех известных случаях.

Обозначение детерминант может быть расширено до гипердетерминант без изменений или двусмысленности. Следовательно, гипердетерминант гиперматрицы А может быть записано с использованием обозначения вертикальной черты как |А| или как Det(А).

Стандартный современный учебник по второму гипердетерминанту Кэли Det (а также по многим другим результатам) - это «Дискриминанты, результаты и многомерные детерминанты» автора Гельфанд, Капранов и Зелевинский.^[4] Их обозначения и терминология приведены в следующем разделе.

Второй гипердетерминант Кэли Det

В частном случае гиперматрицы 2 × 2 × 2 гипердетерминант известен как гипердетерминант Кэли в честь открывшего его британского математика Артура Кэли. В квартика выражение для гипердетерминанта Кэли гиперматрицы А с компонентами а_ijk, я,j,k = 0 или 1 определяется выражением

Det(А) = а₀₀₀²а₁₁₁² + а₀₀₁²а₁₁₀² + а₀₁₀²а₁₀₁² + а₁₀₀²а₀₁₁²

− 2а₀₀₀а₀₀₁а₁₁₀а₁₁₁ − 2а₀₀₀а₀₁₀а₁₀₁а₁₁₁ − 2а₀₀₀а₀₁₁а₁₀₀а₁₁₁ − 2а₀₀₁а₀₁₀а₁₀₁а₁₁₀ − 2а₀₀₁а₀₁₁а₁₁₀а₁₀₀ − 2а₀₁₀а₀₁₁а₁₀₁а₁₀₀ + 4а₀₀₀а₀₁₁а₁₀₁а₁₁₀ + 4а₀₀₁а₀₁₀а₁₀₀а₁₁₁

Это выражение действует как дискриминант в том смысле, что оно равно нулю. если и только если есть ненулевое решение с шестью неизвестными Икс^я, у^я, z^я, (с индексом i = 0 или 1) следующей системы уравнений

а₀₀₀Икс⁰у⁰ + а₀₁₀Икс⁰у¹ + а₁₀₀Икс¹у⁰ + а₁₁₀Икс¹у¹ = 0

а₀₀₁Икс⁰у⁰ + а₀₁₁Икс⁰у¹ + а₁₀₁Икс¹у⁰ + а₁₁₁Икс¹у¹ = 0

а₀₀₀Икс⁰z⁰ + а₀₀₁Икс⁰z¹ + а₁₀₀Икс¹z⁰ + а₁₀₁Икс¹z¹ = 0

а₀₁₀Икс⁰z⁰ + а₀₁₁Икс⁰z¹ + а₁₁₀Икс¹z⁰ + а₁₁₁Икс¹z¹ = 0

а₀₀₀у⁰z⁰ + а₀₀₁у⁰z¹ + а₀₁₀у¹z⁰ + а₀₁₁у¹z¹ = 0

а₁₀₀у⁰z⁰ + а₁₀₁у⁰z¹ + а₁₁₀у¹z⁰ + а₁₁₁у¹z¹ = 0

Гипердетерминант можно записать в более компактной форме, используя Конвенция Эйнштейна для суммирования по индексам и Символ Леви-Чивита которая представляет собой знакопеременную тензорную плотность с компонентами ε^ij заданный ε⁰⁰ = ε¹¹ = 0, ε⁰¹ = −ε¹⁰ = 1:

б_кн = (1/2) ε^ilε^jmа_ijkа_lmn

Det(А) = (1/2) ε^ilε^jmб_ijб_lm

Используя те же соглашения, мы можем определить полилинейная форма

ж(Икс,у,z) = а_ijkИкс^яу^jz^k

Тогда гипердетерминант равен нулю тогда и только тогда, когда существует нетривиальная точка, в которой все частные производные ж исчезнуть.

Как тензорное выражение

Вышеупомянутый определитель можно записать в терминах обобщения Символ Леви-Чивита:

${displaystyle Det (A) = f ^ {ijkl} f ^ {nmop} f ^ {qrst} a_ {inq} a_ {jmr} a_ {kos} a_ {lpt}}$

куда ж является обобщением или символом Леви-Чивиты, который позволяет двум индексам быть одинаковыми:

${displaystyle f ^ {0011} = f ^ {1100} = f ^ {0110} = f ^ {1001} = - 1/2}$

${displaystyle f ^ {0101} = f ^ {1010} = 1}$

где ж удовлетворить:

${displaystyle f ^ {... abc ....} + f ^ {... bca ...} + f ^ {... cab ...} + f ^ {... cba .... } + f ^ {... acb ...} + f ^ {... bac ...} = 0}$

Как дискриминант

Для симметричных гиперматриц 2x2x2x .. гипердетерминантой является дискриминант полинома. Например,

${displaystyle a_ {000} = a}$

${displaystyle a_ {001} = a_ {010} = a_ {100} = b}$

${displaystyle a_ {110} = a_ {101} = a_ {011} = c}$

${displaystyle a_ {111} = d}$

Тогда Det (A) - дискриминант ${displaystyle ax ^ {3} + 3bx ^ {2} + 3cx + d}$

Другие общие гипердетерминанты, связанные с Det Кэли

Определения

В общем случае гипердетерминант определяется как дискриминант полилинейного отображения ж из конечномерный векторные пространства V_я к их основе поле K который может быть ${displaystyle mathbb {R}}$ или же ${displaystyle mathbb {C}}$.

${displaystyle f: V_ {1} otimes V_ {2} otimes cdots otimes V_ {r} o K}$

ж можно отождествить с тензором в тензорном произведении каждого двойное пространство V^*_я

${displaystyle fin V_ {1} ^ {*} иногда V_ {2} ^ {*} иногда cdots иногда V_ {r} ^ {*}}$

По определению гипердетерминант Det(ж) - многочлен от компонент тензора ж который равен нулю тогда и только тогда, когда отображение ж имеет нетривиальную точку, где все частные производные относительно компонентов его векторных аргументов обращаются в нуль (нетривиальная точка означает, что ни один из векторных аргументов не равен нулю.)

Векторные пространства V_я необязательно иметь одинаковые размеры, и гипердетерминант считается имеющим формат (k₁, ..., k_р) k_я > 0, если размерность каждого пространства V_я является k_я + 1. Можно показать, что гипердетерминант существует для данного формата и уникален с точностью до скалярного множителя тогда и только тогда, когда наибольшее число в формате меньше или равно сумме других чисел в формате.^[5]

Это определение не дает средства для построения гипердетериминанта, и в целом это трудная задача. Для гипердетерминант с форматами, где р ≥ 4 количество членов обычно слишком велико, чтобы полностью описать гипердетерминант. Для большего р даже степень многочлена быстро увеличивается и не имеет удобной общей формулы.

Примеры

Случай форматов с р = 1 имеет дело с векторами длины k₁ + 1. В этом случае сумма чисел в других форматах равна нулю и k₁ всегда больше нуля, поэтому гипердетерминанты не существуют.

Случай р = 2 имеет дело с (k₁ + 1)×(k₂ + 1) матрицы. Каждый номер формата должен быть больше или равен другому, поэтому только квадратные матрицы S имеют гипердетерминанты и их можно отождествить с определителем det (S). Применение определения гипердетерминанта как дискриминанта в этом случае требует, чтобы det (S) равен нулю при наличии векторов Икс и Y такие, что матричные уравнения SX = 0 и YS = 0 имеют решения для ненулевых Икс иY.

За р > 2 есть гипердетерминанты с разными форматами, удовлетворяющими форматному неравенству. например Гипердетерминант Кэли 2 × 2 × 2 имеет формат (1,1,1), также существует гипердетерминант 2 × 2 × 3 формата (1, 1, 2). Однако гипердетерминант 2 × 2x4 имел бы формат (1, 1, 3), но 3> 1 + 1, поэтому его не существует.

Степень

Поскольку гипердетерминант однороден по своим переменным, он имеет четко определенную степень, которая является функцией формата и записывается N(k₁, ..., k_р). В особых случаях мы можем записать выражение для степени. Например, гипердетерминант считается граничным форматом, когда наибольшее число формата является суммой других, и в этом случае мы имеем ^[6]

${displaystyle N (k_ {2} + cdots + k_ {r}, k_ {2}, ldots, k_ {r}) = {frac {(k_ {2} + cdots + k_ {r} +1)!} { k_ {2}! cdots k_ {r}!}}.}$

Для гипердетерминант размерности 2^р удобная порождающая формула для степеней N_р является ^[7]

${displaystyle sum _ {r = 0} ^ {infty} N_ {r} {frac {z ^ {r}} {r!}} = {frac {e ^ {- 2z}} {(1-z) ^ { 2}}}.}$

В частности для р = 2,3,4,5,6 степень соответственно 2,4,24,128,880 и затем очень быстро растет.

Три другие специальные формулы для вычисления степени гипердетерминант приведены в ^[7]

для 2 × м × м использовать N(1,м − 1,м − 1) = 2м(м − 1)

для 3 × м × м использовать N(2,м − 1,м − 1) = 3м(м − 1)²

для 4 × м × м использовать N(3,м − 1,м − 1) = (2/3)м(м − 1)(м − 2)(5м − 3)

Общий результат, который следует из правила произведения гипердетерминантов и свойств инвариантности, перечисленных ниже, заключается в том, что наименьший общий множитель размерностей векторных пространств, на которых действует линейное отображение, делит степень гипердетерминанта, т.е.

lcm (k₁ + 1,...,k_р + 1) | N(k₁, ... , k_р).

Свойства гипердетерминант

Гипердетерминанты обобщают многие свойства детерминант. Свойство быть дискриминантом - одно из них, и оно используется в приведенном выше определении.

Мультипликативные свойства

Одним из наиболее известных свойств определителей является правило умножения, которое иногда называют правилом умножения. Формула Бине-Коши. Для квадрата п × п матрицы А и B правило гласит, что

det (AB) = det (А) det (B)

Это одно из самых сложных правил для обобщения от детерминант к гипердетерминантам, потому что обобщения произведений гиперматриц могут давать гиперматрицы разного размера. Полная область случаев, в которых правило продукта может быть обобщено, все еще является предметом исследования. Однако есть несколько основных примеров, которые можно констатировать.

Учитывая полилинейную форму ж(Икс₁, ..., Икс_р) мы можем применить линейное преобразование к последнему аргументу, используя п × п матрица B, у_р = B Икс_р. Это создает новую полилинейную форму того же формата,

грамм(Икс₁,...,Икс_р) = ж(Икс₁,...,у_р)

В терминах гиперматриц это определяет продукт, который можно записать грамм = ж.B

Тогда можно использовать определение гипердетерминанта, чтобы показать, что

det (ж.B) = det (ж) det (B)^N/п

куда п степень гипердетерминанта. Это обобщает правило произведения для матриц.

Дальнейшие обобщения правила произведения были продемонстрированы для соответствующих произведений гиперматриц граничного формата. ^[8]

Свойства инвариантности

Детерминант обычно не рассматривается с точки зрения его свойств как алгебраический инвариант но когда детерминанты обобщаются на гипердетерминанты, инвариантность становится более заметной. Используя приведенное выше правило умножения на гипердетерминант гиперматрицы ЧАС умножить на матрицу S с определителем, равным единице, дает

det (ЧАС.S) = det (ЧАС)

Другими словами, гипердетерминант является алгебраическим инвариантом относительно действия специальная линейная группа SL(п) на гиперматрице. Преобразование может быть одинаково хорошо применено к любому из векторных пространств, на которых действует полилинейное отображение, чтобы дать другую отличную инвариантность. Это приводит к общему результату

Гипердетерминант формата ${displaystyle (k_ {1}, ldots, k_ {r})}$ инвариант относительно действия группы ${displaystyle SL (k_ {1} +1) otimes cdots otimes SL (k_ {r} +1)}$

Например. определитель п × п матрица SL(п)² инвариант, а гипердетерминант Кэли для гиперматрицы 2 × 2 × 2 является SL(2)³ инвариантный.

Более знакомым свойством определителя является то, что если вы добавляете число, кратное строке (или столбцу), к другой строке (или столбцу) квадратной матрицы, то его определитель не изменяется. Это частный случай его инвариантности в случае, когда специальная матрица линейного преобразования представляет собой единичную матрицу плюс матрицу только с одним ненулевым недиагональный элемент. Это свойство немедленно обобщается на гипердетерминанты, подразумевая инвариантность, когда вы добавляете несколько из одного фрагмента гиперматрицы к другому параллельному фрагменту.

Гипердетерминант - не единственный полиномиальный алгебраический инвариант для группы, действующей на гиперматрице. Например, другие алгебраические инварианты могут быть сформированы путем сложения и умножения гипердетерминантов. В общем случае инварианты образуют звенеть алгебры и следует из Базисная теорема Гильберта что кольцо конечно порождено. Другими словами, для заданного формата гиперматрицы все полиномиальные алгебраические инварианты с целыми коэффициентами могут быть сформированы с использованием сложения, вычитания и умножения, начиная с их конечного числа. В случае гиперматрицы 2 × 2 × 2 все такие инварианты могут быть сгенерированы таким образом только из второго гипердетерминанта Кэли, но это не типичный результат для других форматов. Например, второй гипердетерминант для гиперматрицы формата 2 × 2 × 2 × 2 является алгебраическим инвариантом степени 24, однако все инварианты могут быть сгенерированы из набора из четырех более простых инвариантов степени 6 и меньше. ^[9]

История и приложения

Второй гипердетерминант был изобретен и назван Артуром Кейли в 1845 году, который смог записать выражение для формата 2 × 2 × 2, но Кэли продолжал использовать термин для любого алгебраического инварианта и позже отказался от концепции в пользу общая теория полиномиальных форм, которую он назвал «квантикой».^[10] В течение следующих 140 лет в этой области было мало разработок, и гипердетерминанты были в значительной степени забыты, пока они не были заново открыты Гельфандом, Капрановым и Зелевинским в 1980-х годах в качестве ответвления их работы по обобщению. гипергеометрические функции .^[11] Это привело к тому, что они написали свой учебник, в котором гипердетерминант вновь вводится как дискриминант. Действительно, первый гипердетерминант Кэли более фундаментален, чем его второй, поскольку он представляет собой прямое обобщение обычного детерминанта и недавно нашел приложения в гипотезе Алон-Тарси.^[12][13]

С тех пор гипердетерминант нашел применение в широком спектре дисциплин, включая алгебраическая геометрия, теория чисел, квантовые вычисления и теория струн.

В алгебраическая геометрия второй гипердетерминант изучается как частный случай X-дискриминанта. Главный результат состоит в том, что существует соответствие между вершинами Многогранник Ньютона для гипердетерминант и «триангуляции» куба на симплексы. ^[4]

В квантовые вычисления инварианты на гиперматрицах формата 2^N используются для изучения запутанности N кубиты.^[14]

В теория струн гипердетерминант впервые появился в связи с дуальностями струн и энтропией черной дыры.^[15]

Рекомендации

Источники

• Кэли, А. (1849). «К теории детерминантов». Пер. Camb. Филос. Soc. VIII: 1–16.
• Кэли, А. (1845). «К теории линейных преобразований». Cambridge Math. J. 4: 193–209.
• Глинн, Дэвид Г. (1998). «Модульные аналоги гипердетерминантов Кэли». Бюллетень Австралийского математического общества. 57 (3): 479. Дои:10.1017 / с0004972700031890.
• Гельфанд, И. М .; Капранов, М. М .; Зелевинский, А. В. (1994). Дискриминанты, результирующие и многомерные детерминанты. Бостон: Биркхойзер. ISBN  9780817636609.
• Диониси, Карла; Оттавиани, Джорджио. "Теорема Бине-Коши для гипердетерминанта многомерных матриц граничного формата". arXiv:математика / 0104281.
• Luque, JG .; Тибон, Дж-Й. «Полиномиальные инварианты четырех кубитов». Физический обзор A. 67. arXiv:Quant-ph / 0212069. Bibcode:2003PhRvA..67d2303L. Дои:10.1103 / PhysRevA.67.042303.
• Крилли, Тони; Крилли, А. Дж. (2006). Артур Кейли: математик-лауреат викторианской эпохи. Балтимор, Мэриленд: Университет Джона Хопкинса. ISBN  9780801880117.
• Мияке, А. «Классификация многочастных запутанных состояний по многомерным детерминантам». Физический обзор A. 67. arXiv:Quant-ph / 0206111. Bibcode:2003ПхРвА..67а2108М. Дои:10.1103 / PhysRevA.67.012108.
• Дафф М. "Струнная тройственность, энтропия черной дыры и гипердетерминант Кэли". Физический обзор D. 76. arXiv:hep-th / 0601134. Bibcode:2007ПхРвД..76б5017Д. Дои:10.1103 / PhysRevD.76.025017.
• Заппа, Паоло (июль 1997 г.). "Определитель Кэли детерминантного тензора и гипотеза Алон-Тарси". Успехи в прикладной математике. 19 (1): 31–44. Дои:10.1006 / aama.1996.0522.
• Глинн, Дэвид Г. (январь 2010 г.). "Гипотезы Алон-Тарси и Рота в Простом Измерении Минус Один". Журнал SIAM по дискретной математике. 24 (2): 394–399. Дои:10.1137/090773751.

дальнейшее чтение

О других исторических событиях, не вошедших в книгу Гельфанда, Капранова и Зелевинского, см .:

• Лекат, Морис (1910). Уроки теории детерминантов и измерений. Ганд: Ad. Хост.
• Лекат, Морис (1911). Histoire de la Theorie des Determinants a plusieurs Dimensions. Ганд: Ad. Хост.
• Паскаль, Э. (1897). I Determinanti. Милан: Хёпли. (также переведено на немецкий язык: «Die Determinanten», H. Leitzmann, Halle, 1900.) Есть небольшой раздел о гипердетерминантах и ​​их истории до 1900 года.