Доказательства маленькой теоремы Фермаца - Википедия - Proofs of Fermats little theorem

В этой статье собраны различные доказательства из Маленькая теорема Ферма, в котором говорится, что

${ Displaystyle а ^ {р} эквив а { pmod {p}}}$

для каждого простое число п и каждый целое число а (видеть модульная арифметика ).

Упрощения

Несколько из доказательства малой теоремы Ферма приведенные ниже зависят от двух упрощений.

Во-первых, мы можем предположить, что а находится в диапазоне 0 ≤ а ≤ п − 1. Это простое следствие законов модульная арифметика; мы просто говорим, что мы можем сначала уменьшить а по модулюп. Это соответствует сокращению ${ displaystyle a ^ {p}}$ по модулюп, как можно проверить.

Во-вторых, достаточно доказать, что

${ Displaystyle а ^ {р-1} эквив 1 { pmod {p}}}$

за а В диапазоне 1 ≤ а ≤ п − 1. В самом деле, если предыдущее утверждение верно для таких а, умножая обе части на а дает исходную форму теоремы,

${ Displaystyle а ^ {р} эквив а { pmod {p}}}$

С другой стороны, если а = 0, теорема выполняется тривиально.

Комбинаторные доказательства

Доказательство подсчетом ожерелий

Это, пожалуй, самое простое из известных доказательств, требующее минимум математических знаний. Это привлекательный пример комбинаторное доказательство (доказательство, включающее подсчет коллекции объектов двумя разными способами ).

Приведенное здесь доказательство является адаптацией Голомб доказательство.^[1]

Для простоты предположим, что а это положительное число. Рассмотрим все возможные струны из п символы, используя алфавит с а разные символы. Общее количество таких строк а^п, поскольку есть а возможности для каждого из п позиции (см. правило продукта ).

Например, если п = 5 и а = 2, то мы можем использовать алфавит с двумя символами (скажем, А и B), и здесь 2⁵ = 32 струны длиной 5:

AAAAA, AAAAB, AAABA, AAABB, AABAA, AABAB, AABBA, AABBB,

ABAAA, ABAAB, АБАБА, ABABB, ABBAA, ABBAB, ABBBA, ABBBB,

BAAAA, BAAAB, БААБА, BAABB, БАБАА, БАБАБ, БАББА, BABBB,

BBAAA, BBAAB, BBABA, BBABB, BBBAA, BBBAB, BBBBA, BBBBB.

Ниже мы будем утверждать, что если мы удалим из списка строки, состоящие из одного символа (в нашем примере, AAAAA и BBBBB), остальные а^п − а строки могут быть организованы в группы, каждая группа содержит ровно п струны. Следует, что а^п − а делится нап.

Украшения на шею

Ожерелье, представляющее семь разных струн (ABCBAAC, BCBAACA, CBAACAB, BAACABC, AACABCB, ACABCBA, CABCBAA)

Ожерелье, представляющее только одну струну (AAAAAAA)

Давайте думать о каждой такой строке как о представлении ожерелье. То есть мы соединяем два конца нити вместе и рассматриваем две нити как одно и то же ожерелье, если можем. вращать одна строка для получения второй строки; в этом случае мы скажем, что две строки друзья. В нашем примере все следующие строки являются друзьями:

AAAAB, AAABA, AABAA, ABAAA, BAAAA.

Точно так же каждая строка следующего списка соответствует одному ожерелью.

AAABB, AABBA, ABBAA, BBAAA, BAAAB,

AABAB, АБАБА, БАБАА, ABAAB, БААБА,

AABBB, ABBBA, BBBAA, BBAAB, BAABB,

ABABB, БАББА, ABBAB, BBABA, БАБАБ,

ABBBB, BBBBA, BBBAB, BBABB, BABBB,

BAAAA, AAAAB, AAABA, AABAA, ABAAA,

AAAAA,

BBBBB.

Обратите внимание, что в приведенном выше списке каждое ожерелье с более чем одним символом представлено 5 разными строками, а количество ожерелий, представленных только одной строкой, равно 2, то есть является количеством различных символов. Таким образом, список очень ясно показывает, почему 32 − 2 делится на 5.

Можно использовать следующее правило, чтобы определить, сколько друзей в данной строке S имеет:

Если S состоит из нескольких копий строки Т, и Т само по себе не может быть разбито на повторяющиеся строки, тогда количество друзей S (включая S сам) равен длина из Т.

Например, предположим, что мы начинаем со строки S = ABBABBABBABB, который состоит из нескольких копий более короткой строки Т = ABB. Если мы будем вращать его по одному символу за раз, мы получим следующие 3 строки:

ABBABBABBABB,

BBABBABBABBA,

BABBABBABBAB.

Других нет, потому что ABB имеет длину ровно 3 символа и не может быть разбит на повторяющиеся строки.

Завершение доказательства

Используя приведенное выше правило, мы можем довольно легко завершить доказательство малой теоремы Ферма следующим образом. Наш стартовый пул а ^п Строки можно разделить на две категории:

• Некоторые строки содержат п идентичные символы. Есть ровно а из них по одному на каждый символ в алфавите. (В нашем текущем примере это строки AAAAA и BBBBB.)
• В остальных строках используются как минимум два различных символа алфавита. Если мы сможем расстаться S в повторяющиеся копии некоторой строки Т, длина Т должен разделить длину S. Но, поскольку длина S это премьер п, единственная возможная длина для Т это также п. Следовательно, приведенное выше правило говорит нам, что S точно п друзья (в том числе S сам).

Вторая категория содержит а ^п − а строк, и их можно объединить в группы п струны, по одной группе на каждое ожерелье. Следовательно, а ^п − а должен делиться на п, как и обещал.

Доказательство с использованием динамических систем

В этом доказательстве используются некоторые основные концепции из динамические системы.^[2]

Начнем с рассмотрения семьи функции Т_п(Икс), куда п ≥ 2 - это целое число, отображая интервал [0, 1] себе по формуле

${ displaystyle T_ {n} (x) = { begin {case} {nx } & 0 leq x <1, 1 & x = 1, end {cases}}}$

куда {у} обозначает дробная часть из у. Например, функция Т₃(Икс) показано ниже:

Число Икс₀ считается фиксированная точка функции ж(Икс) если ж(Икс₀) = Икс₀; другими словами, если ж листья Икс₀ фиксированный. Неподвижные точки функции можно легко найти графически: это просто Икс координаты точек, где график из ж(Икс) пересекает график прямой у = Икс. Например, неподвижные точки функции Т₃(Икс) равны 0, 1/2 и 1; они отмечены черными кружками на следующей схеме:

Нам потребуются следующие две леммы.

Лемма 1. Для любого п ≥ 2 функция Т_п(Икс) имеет ровно п фиксированные точки.

Доказательство. На иллюстрации выше есть 3 фиксированные точки, и те же геометрические аргументы применимы для любого п ≥ 2.

Лемма 2. Для любых положительных целых чисел п и м, и любой 0 ≤ x ≤ 1,

${ Displaystyle T_ {m} (T_ {n} (x)) = T_ {mn} (x).}$

Другими словами, Т_мин(Икс) это сочинение из Т_п(Икс) и Т_м(Икс).

Доказательство. Доказательство этой леммы несложно, но нужно быть осторожнее с концом Икс = 1. В этом случае лемма, очевидно, верна, поскольку

${ displaystyle T_ {m} (T_ {n} (1)) = T_ {m} (1) = 1 = T_ {mn} (1).}$

Итак, допустим, что 0 ≤ Икс <1. В этом случае

${ Displaystyle T_ {n} (х) = {nx } <1,}$

так Т_м(Т_п(Икс)) дан кем-то

${ Displaystyle T_ {m} (T_ {n} (x)) = {m {nx } }.}$

Поэтому нам действительно нужно показать, что

${ displaystyle {m {nx } } = {mnx }.}$

Для этого заметим, что {nx} = nx − k, куда k это целая часть из nx; тогда

${ Displaystyle {м {nx } } = {mnx-mk } = {mnx },}$

поскольку мк целое число.

Теперь приступим к доказательству малой теоремы Ферма с изучения функции Т_а^п(Икс). Будем считать, что а ≥ 2. Из леммы 1 мы знаем, что он имеет а^п фиксированные точки. По лемме 2 мы знаем, что

${ Displaystyle T_ {a ^ {p}} (x) = underbrace {T_ {a} (T_ {a} ( cdots T_ {a} (x) cdots))} _ {p { text {times }}},}$

так что любая неподвижная точка Т_а(Икс) автоматически является фиксированной точкой Т_а^п(Икс).

Нас интересуют неподвижные точки Т_а^п(Икс) которые нет фиксированные точки Т_а(Икс). Назовем множество таких точек S. Есть а^п − а указывает в S, поскольку снова по лемме 1 Т_а(Икс) имеет ровно а фиксированные точки. Следующая диаграмма иллюстрирует ситуацию для а = 3 и п = 2. Черные кружки - точки S, из них 3² − 3 = 6.

Основная идея доказательства теперь состоит в том, чтобы разбить множество S в его орбиты под Т_а. Это означает, что мы выбираем точку Икс₀ в S, и повторно применять Т_а(x) к нему, чтобы получить последовательность точек

${ displaystyle x_ {0}, T_ {a} (x_ {0}), T_ {a} (T_ {a} (x_ {0})), T_ {a} (T_ {a} (T_ {a} (x_ {0}))), ldots.}$

Эта последовательность называется орбитой Икс₀ под Т_а. По лемме 2 эту последовательность можно переписать в виде

${ displaystyle x_ {0}, T_ {a} (x_ {0}), T_ {a ^ {2}} (x_ {0}), T_ {a ^ {3}} (x_ {0}), ldots.}$

Поскольку мы предполагаем, что Икс₀ неподвижная точка Т_{а ^п}(Икс), после п шаги, которые мы ударили Т_а^п(Икс₀) = Икс₀, и с этого момента последовательность повторяется.

Однако последовательность не можешь начать повторяться раньше этого. Если бы это было так, длина повторяющегося раздела должна была бы быть делителем п, поэтому он должен быть 1 (поскольку п простое). Но это противоречит нашему предположению, что Икс₀ не является фиксированной точкой Т_а.

Другими словами, орбита содержит ровно п отдельные точки. Это верно для каждой орбиты S. Следовательно, множество S, который содержит а^п − а точек, можно разбить на орбиты, каждая из которых содержит п очков, поэтому а^п − а делится на п.

(Это доказательство по сути такое же, как и доказательство подсчета ожерелий приведенный выше, просто просмотренный через другую линзу: можно представить интервал [0, 1] как заданный последовательностями цифр в базе а (наше различие между 0 и 1 соответствует знакомому различию между представлением целых чисел как оканчивающихся на «.0000 ...» и «.9999 ...»). Т_а^п сводится к сдвигу такой последовательности на п много цифр. Неподвижными точками этого будут последовательности, которые являются циклическими с периодом деления п. В частности, неподвижные точки Т_а^п можно рассматривать как ожерелья длины п, с Т_а^п соответствующее вращению таких ожерелий на п пятна.

Это доказательство также может быть представлено без различия между 0 и 1, просто используя полуинтервал [0, 1); тогда Т_п будет только п - 1 фиксированная точка, но Т_а^п − Т_а все равно будет работать а^п − а, по мере необходимости.)

Полиномиальные доказательства

Доказательство с помощью биномиальной теоремы

Это доказательство, благодаря Эйлер,^[3] использует индукция чтобы доказать теорему для всех целых чисел а ≥ 0.

Базовый шаг, который 0^п ≡ 0 (модп), тривиально. Далее мы должны показать, что если теорема верна для а = k, то это верно и для а = k + 1. Для этого индуктивного шага нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Для любых целых чисел Икс и у и для любого прайма п, (Икс + у)^п ≡ Икс^п + у^п (модп).

Лемма представляет собой случай мечта первокурсника. Оставив доказательство на потом, перейдем к индукции.

Доказательство. Предполагать k^п ≡ k (мод п), и рассмотрим (k+1)^п. По лемме имеем

${ displaystyle (k + 1) ^ {p} Equiv k ^ {p} + 1 ^ {p} { pmod {p}}.}$

Используя предположение индукции, имеем k^п ≡ k (мод п); и, очевидно, 1^п = 1. Таким образом

${ Displaystyle (к + 1) ^ {p} Equiv k + 1 { pmod {p}},}$

что является формулировкой теоремы для а = k+1. ∎

Чтобы доказать лемму, мы должны ввести биномиальная теорема, который утверждает, что для любого положительного целого числа п,

${ displaystyle (x + y) ^ {n} = sum _ {i = 0} ^ {n} {n choose i} x ^ {n-i} y ^ {i},}$

где коэффициенты - это биномиальные коэффициенты,

${ displaystyle {n choose i} = { frac {n!} {i! (n-i)!}},}$

описан с точки зрения факториал функция п! = 1×2×3×⋯×п.

Доказательство леммы. Мы рассматриваем биномиальный коэффициент, когда показатель является простым п:

${ displaystyle {p choose i} = { frac {p!} {i! (p-i)!}}}$

Все биномиальные коэффициенты - целые числа. В числителе стоит множитель п по определению факториала. Когда 0 < я < п, ни одно из членов в знаменателе не включает множитель п (полагаясь на примитивность п), оставляя сам коэффициент иметь простой множитель п из числителя, подразумевая, что

${ displaystyle {p choose i} Equiv 0 { pmod {p}}, qquad 0$

По модулю п, это исключает все, кроме первого и последнего членов суммы в правой части биномиальной теоремы для простых чисел. п. ∎

Первобытность п является существенным для леммы; в противном случае у нас есть такие примеры, как

${ displaystyle {4 choose 2} = 6,}$

который не делится на 4.

Доказательство с использованием полиномиального разложения

Доказательство, впервые обнаруженное Лейбниц (кто не публиковал)^[4] а позже заново открыл Эйлер,^[3] это очень простое приложение полиномиальная теорема который приведен здесь для простоты.

${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m}) ^ {n} = sum _ {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} { n выберите k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} cdots x_ {m} ^ {k_ {m}}.}$

Суммирование ведется по всем последовательностям целочисленных неотрицательных индексов. k₁ через k_м такая сумма всех k_я является п.

Таким образом, если мы выразим а как сумму единиц (единиц), получаем

${ displaystyle a ^ {p} = sum _ {k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {a}} {p choose k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ { а}}}$

Очевидно, что если п простое, и если k_j не равно п для любого j, у нас есть

${ displaystyle {p select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {a}} Equiv 0 { pmod {p}}}$

и

${ displaystyle {p select k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {a}} Equiv 1 { pmod {p}}}$

если k_j равно п для некоторых j.

Поскольку есть ровно а такие элементы, что k_j = п, следует теорема.

(Это доказательство является, по сути, более грубым вариантом доказательство подсчета ожерелий данные ранее; полиномиальные коэффициенты подсчитывают количество способов, которыми строка может быть переставлена ​​в произвольные анаграммы, в то время как аргумент ожерелья подсчитывает количество способов, которыми строка может быть повернута в циклические анаграммы. То есть здесь нетривиальные полиномиальные коэффициенты делятся на п можно рассматривать как следствие того, что каждое нетривиальное колье длины п можно развернуть в строку в п много способов.

Это полиномиальное разложение, конечно же, и лежит в основе доказательство на основе биномиальной теоремы над)

Доказательство с использованием расширений Power Product

Аддитивно-комбинаторное доказательство, основанное на разложении формального степенного произведения, было дано Гедрюсом Алкаускасом.^[5] Это доказательство не использует ни Евклидов алгоритм ни биномиальная теорема, а скорее использует формальный степенной ряд с рациональными коэффициентами.

Доказательство как частный случай теоремы Эйлера