Стабильный основной пакет - Stable principal bundle

В математика, и особенно дифференциальная геометрия и алгебраическая геометрия, а стабильный основной пакет является обобщением понятия стабильное векторное расслоение к настройке основные связки. Понятие устойчивости главных расслоений было введено Аннамалай Раманатан с целью определения пространства модулей G-главных расслоений над Риманова поверхность, обобщение более ранней работы Дэвид Мамфорд и другие о пространствах модулей векторных расслоений.^[1][2][3]

Многие утверждения об устойчивости векторных расслоений можно перевести на язык стабильных главных расслоений. Например, аналог Переписка Кобаяши – Хитчина для главных расслоений, что голоморфное главное расслоение над компактом Кэлерово многообразие признает Связь Эрмита – Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно является полистабильным, как было показано Буджемой Аншушем и Индранил Бисвас.^[4]

Определение

Существенное определение устойчивости для главных расслоений было сделано Раманатаном, но применимо только к случаю римановых поверхностей.^[2] В этом разделе мы формулируем определение из работ Аншуша и Бисваса, которое справедливо для любого кэлерова многообразия и действительно имеет смысл в более общем смысле для алгебраические многообразия.^[4] Это сводится к определению Раманатана в случае, когда многообразие является римановой поверхностью.

Позволять ${ displaystyle G}$ быть связаны редуктивный алгебраическая группа над комплексными числами ${ Displaystyle mathbb {C}}$. Позволять ${ displaystyle (X, omega)}$ - компактное кэлерово многообразие комплексной размерности ${ displaystyle n}$. Предполагать ${ displaystyle P to X}$ является голоморфным главным ${ displaystyle G}$- связать ${ displaystyle X}$. Голоморфность здесь означает, что функции перехода для ${ displaystyle P}$ изменяются голоморфно, что имеет смысл, поскольку структурная группа является комплексная группа Ли. Основной комплект ${ displaystyle P}$ называется стабильный (соотв. полустабильный) если для каждого сокращение структурной группы ${ displaystyle sigma: U to P / Q}$ за ${ Displaystyle Q подмножество G}$ максимальный параболическая подгруппа куда ${ Displaystyle U подмножество X}$ некоторое открытое подмножество коразмерности ${ Displaystyle OperatorName {codim} (X обратная косая черта U) geq 2}$, у нас есть

${ displaystyle deg sigma ^ {*} T _ { operatorname {rel}} P / Q> 0 quad ({ text {resp.}} geq 0).}$

Здесь ${ displaystyle T _ { operatorname {rel}} P / Q}$ относительный касательный пучок пучка волокон ${ displaystyle left.P / Q right | _ {U} to U}$ иначе известный как вертикальный пучок из ${ Displaystyle Т ( left.P / Q right | _ {U})}$. Напомним, что степень из векторный набор (или же связный пучок ) ${ displaystyle F to X}$ определяется как

${ displaystyle operatorname {deg} (F): = int _ {X} c_ {1} (F) wedge omega ^ {n-1},}$

куда ${ displaystyle c_ {1} (F)}$ это первый Черн класс из ${ displaystyle F}$. В приведенной выше настройке степень вычисляется для пакета, определенного по ${ displaystyle U}$ внутри ${ displaystyle X}$, но поскольку коразмерность дополнения ${ displaystyle U}$ больше двух, значение интеграла будет совпадать с этим по всем ${ displaystyle X}$.

Обратите внимание, что в случае, когда ${ Displaystyle тусклый X = 1}$, вот где ${ displaystyle X}$ это Риманова поверхность по предположению о коразмерности ${ displaystyle U}$ мы должны иметь это ${ Displaystyle U = X}$, поэтому достаточно рассмотреть редукции структурной группы на всей ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle sigma: X to P / Q}$.

Связь с устойчивостью векторных расслоений

Учитывая принципала ${ displaystyle G}$-расслоение для комплексной группы Ли ${ displaystyle G}$ ему можно сопоставить несколько естественных векторных расслоений.

Во-первых, если ${ Displaystyle G = OperatorName {GL} (п, mathbb {C})}$, то общая линейная группа, то стандартное представление ${ Displaystyle OperatorName {GL} (п, mathbb {C})}$ на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ позволяет построить связанный пакет ${ displaystyle E = P times _ { operatorname {GL} (n, mathbb {C})} mathbb {C} ^ {n}}$. Это голоморфное векторное расслоение над ${ displaystyle X}$, а приведенное выше определение устойчивости главного расслоения эквивалентно устойчивости наклонов ${ displaystyle E}$. Существенно то, что максимальная параболическая подгруппа ${ Displaystyle Q подмножество OperatorName {GL} (п, mathbb {C})}$ соответствует выбору флага ${ Displaystyle 0 подмножество W подмножество mathbb {C} ^ {n}}$, куда ${ displaystyle W}$ инвариантна относительно подгруппы ${ displaystyle Q}$. Поскольку структурная группа ${ displaystyle P}$ был уменьшен до ${ displaystyle Q}$, и ${ displaystyle Q}$ сохраняет векторное подпространство ${ Displaystyle W подмножество mathbb {C} ^ {n}}$, можно взять связанный пучок ${ displaystyle F = P times _ {Q} W}$, который является подгруппой ${ displaystyle E}$ по подмножеству ${ Displaystyle U подмножество X}$ на котором определена редукция структурной группы, и, следовательно, подпучок ${ displaystyle E}$ по всему ${ displaystyle X}$. Затем можно вычислить, что

${ Displaystyle deg sigma ^ {*} T _ { operatorname {rel}} P / Q = mu (E) - mu (F)}$

куда ${ displaystyle mu}$ обозначает склон векторных расслоений.

Когда структурная группа не ${ Displaystyle G = OperatorName {GL} (п, mathbb {C})}$ есть еще естественное связанное векторное расслоение с ${ displaystyle P}$, то сопряженный пучок ${ displaystyle operatorname {ad} P}$, с волокном, заданным Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$. Основной комплект ${ displaystyle P}$ полустабильно тогда и только тогда, когда присоединенное расслоение ${ displaystyle operatorname {ad} P}$ полустабильный наклон, и, кроме того, если ${ displaystyle P}$ стабильно, то ${ displaystyle operatorname {ad} P}$ склон полистабильный.^[4] И снова ключевым моментом здесь является то, что для параболической подгруппы ${ Displaystyle Q подмножество G}$, получается параболическая подалгебра ${ Displaystyle { mathfrak {q}} subset { mathfrak {g}}}$ и может взять связанный подгруппу. В этом случае следует проявлять большую осторожность, потому что присоединенное представительство из ${ displaystyle G}$ на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ не всегда верный или же несводимый, последнее условие намекает на то, почему устойчивость главного расслоения приводит только к полистабильность присоединенного расслоения (поскольку представление, которое расщепляется как прямая сумма, приведет к соответствующему расщеплению связки как прямой сумме).

Обобщения

Так же, как можно обобщить векторное расслоение до понятия Связка Хиггса, можно сформулировать определение принципала ${ displaystyle G}$-Хиггс связка. Приведенное выше определение стабильности для главных расслоений обобщается на эти объекты, требуя, чтобы редукции структурной группы были совместимы с полем Хиггса главного расслоения Хиггса. Аншуш и Бисвас показали, что аналог неабелевская переписка Ходжа для векторных расслоений Хиггса верно для основных ${ displaystyle G}$-Пучки Хиггса в случае, когда базовое многообразие ${ displaystyle (X, omega)}$ это комплексное проективное многообразие.^[4]

Рекомендации