Группа треугольников - Википедия - Triangle group

Внешнее видео
	Деформированная модульная черепица - визуализация карты (2,3, ∞) → (2,3,7) путем морфирования ассоциированных мозаик.

В математика, а группа треугольников это группа что может быть реализовано геометрически последовательностями размышления по сторонам треугольник. Треугольник может быть обычным Евклидово треугольник, а треугольник на сфере, или гиперболический треугольник. Каждая группа треугольников - это группа симметрии из черепица из Евклидова плоскость, то сфера, или гиперболическая плоскость к конгруэнтный треугольники называются Треугольники Мебиуса, каждый по фундаментальная область за действие.

Определение

Позволять л, м, п быть целые числа больше или равно 2. A группа треугольников Δ (л,м,п) представляет собой группу движений евклидовой плоскости, двумерной сферы, действительной проективной плоскости или гиперболической плоскости, порожденной размышления по бокам треугольник с углами π /л, π /м и π /п (измеряется в радианы ). Произведение отражений в двух смежных сторонах равно вращение на угол, в два раза превышающий угол между этими сторонами, 2π /л, 2π /м и 2π /п. Следовательно, если образующие отражения помечены а, б, c а углы между ними в циклическом порядке такие, как указано выше, то выполняются следующие соотношения:

${ Displaystyle а ^ {2} = Ь ^ {2} = с ^ {2} = 1}$
${ displaystyle (ab) ^ {l} = (bc) ^ {n} = (ca) ^ {m} = 1.}$

Это теорема, что все другие отношения между а, б, в являются следствием этих соотношений и что Δ (л, м, н) это дискретная группа движений соответствующего пространства. Таким образом, группа треугольников является группа отражения который допускает групповая презентация

{ displaystyle Delta (l, m, n) = langle a, b, c mid a ^ {2} = b ^ {2} = c ^ {2} = (ab) ^ {l} = (bc ) ^ {n} = (ca) ^ {m} = 1 rangle.}

Абстрактная группа с этим представлением - это Группа Кокстера с тремя генераторами.

Классификация

Учитывая любые натуральные числа л, м, п > 1 ровно одна из классических двумерных геометрий (евклидова, сферическая или гиперболическая) допускает треугольник с углами (π / l, π / m, π / n), а пространство замощено отражениями треугольника. Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по Теорема Гаусса – Бонне: он евклидов, если сумма углов в точности равна π, сферический, если он превышает π, и гиперболический, если он строго меньше π. Более того, любые два треугольника с данными углами конгруэнтны. Каждая группа треугольников определяет мозаику, которая обычно окрашивается в два цвета, так что любые две соседние плитки имеют противоположные цвета.

Что касается цифр л, м, п > 1 возможны следующие варианты.

Евклидов случай

${ displaystyle { frac {1} {l}} + { frac {1} {m}} + { frac {1} {n}} = 1.}$

Группа треугольников - это бесконечная группа симметрии определенного мозаика (или замощение) евклидовой плоскости треугольниками, сумма углов которых равна π (или 180 °). С точностью до перестановок тройка (л, м, п) является одной из троек (2,3,6), (2,4,4), (3,3,3). Соответствующие группы треугольников являются экземплярами группы обоев.

(2,3,6)	(2,4,4)	(3,3,3)

пополам шестиугольная мозаика	квадратная плитка тетракис	треугольная черепица
Более подробные диаграммы, помечающие вершины и показывающие, как работает отражение:

Сферический корпус

{ displaystyle { frac {1} {l}} + { frac {1} {m}} + { frac {1} {n}}> 1.}

Группа треугольников - это конечная группа симметрии замощения единичной сферы сферическими треугольниками, или Треугольники Мебиуса, углы которого в сумме дают число больше π. С точностью до перестановок тройка (л,м,п) имеет вид (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5) или (2,2,п), п > 1. Сферические треугольные группы можно отождествить с группами симметрии правильные многогранники в трехмерном евклидовом пространстве: Δ (2,3,3) соответствует тетраэдр, ∆ (2,3,4) как на куб и октаэдр (которые имеют одну и ту же группу симметрии), Δ (2,3,5) для обоих додекаэдр и икосаэдр. Группы ∆ (2,2,п), п > 1 из двугранная симметрия можно интерпретировать как группы симметрии семейства дигедра, которые представляют собой вырожденные твердые тела, образованные двумя одинаковыми обычный п-угольники соединены вместе или попарно Hosohedra, которые образуются путем присоединения п дигоны вместе в двух вершинах.

В сферическая черепица соответствующий правильному многограннику получается путем образования барицентрическое подразделение многогранника и проецируя полученные точки и линии на описанную сферу. В случае тетраэдра есть четыре грани, и каждая грань представляет собой равносторонний треугольник, который разделен на 6 меньших частей медианами, пересекающимися в центре. В результате тесселяция имеет 4 × 6 = 24 сферических треугольника (это сферический куб дисдякиса ).

Эти группы конечны, что соответствует компактности сферы - площади дисков в сфере сначала увеличиваются по радиусу, но в конечном итоге покрывают всю сферу.

Треугольные мозаики изображены ниже:

(2,2,2)	(2,2,4)	(2,2,6)

(2,3,3)	(2,3,4)	(2,3,5)

Сферические мозаики, соответствующие октаэдру и икосаэдру, и двугранные сферические мозаики с четными п находятся центрально-симметричный. Следовательно, каждый из них определяет замощение действительной проективной плоскости, эллиптическая мозаика. Его группа симметрии - это фактор группы сферических треугольников по отражение через начало координат (-я), который является центральным элементом порядка 2. Поскольку проективная плоскость является моделью эллиптическая геометрия такие группы называются эллиптический группы треугольников.^[1]

Гиперболический случай

{ displaystyle { frac {1} {l}} + { frac {1} {m}} + { frac {1} {n}} <1.}

Группа треугольников - это бесконечная группа симметрии замощение гиперболической плоскости гиперболическими треугольниками, сумма углов которых меньше π. Все тройки, не указанные в списке, представляют собой мозаики гиперболической плоскости. Например, тройка (2,3,7) дает (2,3,7) треугольная группа. Таких групп бесконечно много; мозаики, связанные с некоторыми небольшими значениями:

Гиперболическая плоскость

Модель диска Пуанкаре фундаментальных треугольников области
Пример прямоугольных треугольников (2 p q)
(2 3 7)	(2 3 8)	(2 3 9)	(2 3 ∞)
(2 4 5)	(2 4 6)	(2 4 7)	(2 4 8)	(2 4 ∞)
(2 5 5)	(2 5 6)	(2 5 7)	(2 6 6)	(2 ∞ ∞)
Пример общих треугольников (p q r)
(3 3 4)	(3 3 5)	(3 3 6)	(3 3 7)	(3 3 ∞)
(3 4 4)	(3 6 6)	(3 ∞ ∞)	(6 6 6)	(∞ ∞ ∞)

Группы гиперболических треугольников являются примерами неевклидова кристаллографическая группа и были обобщены в теории Громов гиперболические группы.

Группы фон Дейка

Обозначим через D(л,м,п) подгруппа из индекс 2 в Δ (l, m, n) генерируется словами четной длины в генераторах. Такие подгруппы иногда называют «обычными» треугольными группами.^[2] или же группы фон Дейка, после Вальтер фон Дейк. Для сферических, евклидовых и гиперболических треугольников они соответствуют элементам группы, сохраняющим ориентация треугольника - группа вращений. Для проективных (эллиптических) треугольников их нельзя интерпретировать таким образом, поскольку проективная плоскость неориентируема, поэтому нет понятия «сохраняющий ориентацию». Однако отражения локально изменение ориентации (и каждое многообразие является локально ориентируемым, потому что локально евклидово): они фиксируют линию, и в каждой точке линии отражается линия.^[3]

Группа D(л,м,п) определяется следующим представлением:

{ displaystyle D (l, m, n) = langle x, y mid x ^ {l}, y ^ {m}, (xy) ^ {n} rangle.}

Что касается генераторов, указанных выше, это х = ab, y = ca, yx = cb. Геометрически три элемента Икс, у, ху соответствуют поворотам на 2π /л, 2π /м и 2π /п о трех вершинах треугольника.

Обратите внимание, что D(л,м,п) ≅ D(м,л,п) ≅ D(п,м,л), так D(л,м,п) не зависит от порядка л,м,п.

Гиперболическая группа фон Дейка - это Фуксова группа, дискретная группа, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости.

Перекрывающиеся плитки

Группы треугольников сохраняют мозаику треугольниками, а именно фундаментальная область для действия (треугольник, определяемый линиями отражения), называемый Треугольник Мебиуса, и даются тройкой целые числа, (л,м,п), - целые числа соответствуют (2л,2м,2п) треугольники, сходящиеся в вершине. Также существуют мозаики перекрывающимися треугольниками, которые соответствуют Треугольники Шварца с рациональный числа (л/а,м/б,п/c), где знаменатели совмещать к числителям. Это соответствует краям, встречающимся под углами аπ /л (соответственно), что соответствует повороту на 2аπ /л (соответственно), который имеет порядок л и, таким образом, идентичен как абстрактный групповой элемент, но отличается, когда представлен отражением.

Например, треугольник Шварца (2 3 3) дает плотность 1 мозаика сферы, а треугольник (2 3/2 3) дает мозаику сферы плотности 3, но с той же абстрактной группой. Эти симметрии перекрывающихся мозаик не считаются треугольными группами.

История

Группы треугольников датируются по крайней мере до презентации группа икосаэдров как (вращательную) (2,3,5) треугольную группу по Уильям Роуэн Гамильтон в 1856 г. в своей статье о икозианское исчисление.^[4]

Приложения

Группы треугольников возникают в арифметическая геометрия. В модульная группа порождается двумя элементами, S и Т, при условии отношений S² = (ST) ³ = 1 (нет связи на Т), представляет собой группу треугольников вращения (2,3, ∞) и отображается на все группы треугольников (2,3,п) добавлением соотношения Т^п = 1. В более общем смысле Группа Hecke ЧАС_q порождается двумя элементами, S и Т, при условии отношений S² = (ST)^q = 1 (нет отношения Т), - группа вращательного треугольника (2,q, ∞) и отображается на все треугольные группы (2,q,п) добавлением соотношения Т^п = 1 модулярная группа - это группа Гекке ЧАС₃. В Гротендик теория детские рисунки, а Функция Белого приводит к мозаике Риманова поверхность областями отражения треугольной группы.

Все 26 спорадические группы являются факторами треугольных групп,^[6] из которых 12 являются Группы Гурвица (факторы группы (2,3,7)).

Смотрите также

Треугольник Шварца
В Карта треугольника Шварца это карта треугольников к верхняя полуплоскость.
Геометрическая теория групп

внешняя ссылка

Роберт Доусон Некоторые сферические мозаики (без даты, ранее 2004 г.) (Показывает ряд интересных мозаик сфер, большинство из которых не являются мозаиками группы треугольников.)
Элизабет Р Чен группы треугольников (2010) фоновые изображения рабочего стола

В эту статью вошли материалы из групп Triangle по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] (Магнус 1974 )

[2] (Гросс и Такер 2001 )

[3] (Магнус 1974, п. 65)

[4] Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF), Философский журнал, 12: 446

[westendorp-5] Платоновы мозаики римановых поверхностей: модульная группа, Джерард Вестендорп

[6] (Уилсон 2001, Таблица 2, стр. 7)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]