Модель Уоттса – Строгаца - Watts–Strogatz model

Модель маленького мира Уоттса – Строгаца, созданная с помощью igraph и визуализированная с помощью Cytoscape 2.5. 100 узлов.

В Модель Уоттса – Строгаца это случайный граф модель генерации, которая создает графики с небольшая собственность, в том числе короткие средняя длина пути и высокий кластеризация. Это было предложено Дункан Дж. Уоттс и Стивен Строгац в их совместном 1998 Природа бумага.^[1] Модель также стала известна как (Watts). бета модель после того, как ватт использовал ${displaystyle eta}$ сформулировать это в своей научно-популярной книге Шесть градусов.

Обоснование модели

Формальное изучение случайные графы восходит к работе Пол Эрдёш и Альфред Реньи.^[2] Рассмотренные ими графики, известные теперь как классические или Эрдеш – Реньи (ER) графики, предлагают простую и мощную модель с множеством приложений.

Тем не менее ER Графы не обладают двумя важными свойствами, наблюдаемыми во многих реальных сетях:

Они не генерируют локальную кластеризацию и триадные замыкания. Вместо этого, поскольку они имеют постоянную, случайную и независимую вероятность соединения двух узлов, графы ER имеют низкую коэффициент кластеризации.
Они не учитывают образование узлов. Формально степень распределение графов ER сходится к распределение Пуассона, а не сила закона наблюдается во многих реальных, безмасштабные сети.^[3]

Модель Уоттса и Строгаца была разработана как простейшая возможная модель, учитывающая первый из двух ограничений. Он учитывает кластеризацию, сохраняя при этом короткие средние длины пути модели ER. Это достигается путем интерполяции между рандомизированной структурой, близкой к графам ER, и регулярным кольцом. решетка. Следовательно, модель способна хотя бы частично объяснить феномен «маленького мира» в различных сетях, таких как электросеть, нейронная сеть и т.д. C. elegans, сети киноактеров или обмен информацией о метаболизме жиров в бутоньерки.^[4]

Алгоритм

График Ватса – Строгаца

Учитывая желаемое количество узлов ${displaystyle N}$ , значение степень ${displaystyle K}$ (предполагается, что это четное целое число) и специальный параметр ${displaystyle eta}$ , удовлетворяющий ${displaystyle 0leq eta leq 1}$ и ${displaystyle Ngg Kgg ln Ngg 1}$ модель строит неориентированный граф с ${displaystyle N}$ узлы и ${displaystyle {frac {NK} {2}}}$ ребра следующим образом:

Постройте регулярную кольцевую решетку, граф с ${displaystyle N}$ узлов, каждый из которых подключен к ${displaystyle K}$ соседи, ${displaystyle K / 2}$ с каждой стороны. То есть, если узлы помечены ${displaystyle 0ldots {N-1}}$ , есть край ${displaystyle (i, j)}$ если и только если ${displaystyle 0 <| i-j | mathrm {mod} left (N-1- {frac {K} {2}} ight) leq {frac {K} {2}}.}$
Для каждого узла ${displaystyle i = 0, точки, {N-1}}$ взять все грани, соединяющие ${displaystyle i}$ к его ${displaystyle K / 2}$ крайние правые соседи, то есть каждое ребро ${displaystyle (i, j mathrm {mod} N)}$ с ${displaystyle i$ , и перепрограммируем с вероятностью ${displaystyle eta}$ . Перенастройка производится заменой ${displaystyle (i, j mathrm {mod} N)}$ с ${displaystyle (i, k)}$ куда ${displaystyle k}$ выбирается равномерно случайным образом из всех возможных узлов, избегая при этом петель ( ${displaystyle keq i}$ ) и дублирование ссылок (нет края ${displaystyle (i, {k '})}$ с ${displaystyle k '= k}$ на этом этапе алгоритма).

Характеристики

Базовая решетчатая структура модели создает локально кластерную сеть, в то время как случайно перепрограммированные ссылки значительно сокращают средняя длина пути. Алгоритм вводит около ${displaystyle eta {frac {NK} {2}}}$ таких нерешетчатых ребер. Различный ${displaystyle eta}$ позволяет выполнять интерполяцию между регулярной решеткой ( ${displaystyle eta = 0}$ ) и структуру, близкую к Случайный граф Эрдеша – Реньи ${displaystyle G (N, p)}$ с ${displaystyle p = {frac {K} {N-1}}}$ в ${displaystyle eta = 1}$ . Это не подходит к реальной модели ER, поскольку каждый узел будет подключен как минимум к ${displaystyle K / 2}$ другие узлы.

Три интересующих свойства: средняя длина пути, то коэффициент кластеризации, а распределение степеней.

Средняя длина пути

Для кольцевой решетки средняя длина пути^[1] является ${displaystyle ell (0) приблизительно N / 2Kgg 1}$ и линейно масштабируется с размером системы. в предельный случай из ${displaystyle eta ightarrow 1}$ , граф приближается к случайному графу с ${displaystyle ell (1) приблизительно {frac {ln N} {ln K}}}$ , хотя на самом деле не сходится к нему. В промежуточном регионе ${displaystyle 0$ , средняя длина пути очень быстро падает с увеличением ${displaystyle eta}$ , быстро приближаясь к своему предельному значению.

Коэффициент кластеризации

Для кольцевой решетки коэффициент кластеризации^[5] ${displaystyle C (0) = {гидроразрыв {3 (K-2)} {4 (K-1)}}}$ , и поэтому имеет тенденцию ${displaystyle 3/4}$ в качестве ${displaystyle K}$ растет независимо от размера системы.^[6] В предельном случае ${displaystyle eta ightarrow 1}$ коэффициент кластеризации имеет тот же порядок, что и коэффициент кластеризации для классических случайных графов, ${displaystyle C = K / (N-1)}$ и, таким образом, обратно пропорционален размеру системы. В промежуточной области коэффициент кластеризации остается довольно близким к значению для регулярной решетки и падает только при относительно высоких значениях. ${displaystyle eta}$ . В результате получается область, в которой средняя длина пути быстро падает, а коэффициент кластеризации - нет, что объясняет феномен «маленького мира».

Если мы используем Баррат и Вейгт^[6] мера для кластеризации

{displaystyle C '(eta)}

определяется как доля между средним количеством ребер между соседями узла и средним количеством возможных ребер между этими соседями, или, альтернативно,

{displaystyle C '(eta) Equiv {frac {3 imes {ext {количество треугольников}}} {ext {количество связанных троек}}}}

тогда мы получаем

{displaystyle C '(eta) sim C (0) (1- eta) ^ {3}.}

Распределение степеней

Распределение степеней в случае кольцевой решетки - это просто Дельта-функция Дирака сосредоточен на ${displaystyle K}$ . Распределение степеней для ${displaystyle 0$ можно записать как,^[6]

{displaystyle P (k) = sum _ {n = 0} ^ {f (k, K)} {{K / 2} select {n}} (1- eta) ^ {n} eta ^ {K / 2- n} {frac {(eta K / 2) ^ {kK / 2-n}} {(kK / 2-n)!}} e ^ {- eta K / 2}}

куда ${displaystyle k_ {i}}$ количество ребер, которые ${displaystyle i ^ {ext {th}}}$ узел имеет или его степень. Здесь ${displaystyle kgeq K / 2}$ , и ${displaystyle f (k, K) = min (k-K / 2, K / 2)}$ . Форма распределения степеней похожа на случайный график и имеет ярко выраженный пик на ${displaystyle k = K}$ и экспоненциально затухает при больших ${displaystyle | k-K |}$ . Топология сети относительно однородна, что означает, что все узлы имеют одинаковую степень.

Ограничения

Основное ограничение модели состоит в том, что она дает нереалистичный степень распределение. Напротив, настоящие сети часто безмасштабные сети неоднородный по степени, имеющий ступицы и безмасштабное распределение степеней. Такие сети лучше описывать в этом отношении преференциальная привязанность семейство моделей, таких как Модель Барабаши – Альберта (BA). (С другой стороны, модель Барабаши-Альберта не может обеспечить высокие уровни кластеризации, наблюдаемые в реальных сетях, и этот недостаток не разделяется моделью Уоттса и Строгаца. Таким образом, ни модель Уоттса и Строгаца, ни модель Барабаши-Альберта не должны можно рассматривать как полностью реалистичные.)

Модель Уоттса и Строгаца также подразумевает фиксированное количество узлов и, следовательно, не может использоваться для моделирования роста сети.