Модуль Юнга - Википедия - Youngs modulus

Модуль Юнга - это наклон линейной части кривая напряжения-деформации

Модуль для младших ${ displaystyle E}$, то Модуль Юнга или модуль упругости при растяжении, это механическое свойство, которое измеряет растяжение жесткость из твердый материал. Он количественно определяет взаимосвязь между растяжением стресс ${ displaystyle sigma}$ (сила на единицу площади) и осевой напряжение ${ displaystyle varepsilon}$ (пропорциональная деформация) в линейная эластичность области материала и определяется по формуле:^[1]

${ Displaystyle E = { гидроразрыва { sigma} { varepsilon}}}$

Модули Юнга обычно настолько велики, что выражаются не в паскали но в гигапаскалях (ГПа).

Хотя модуль Юнга назван в честь британского ученого 19 века Томас Янг, концепция была разработана в 1727 г. Леонард Эйлер. Первые эксперименты, в которых использовалась концепция модуля Юнга в его нынешнем виде, были выполнены итальянским ученым. Джордано Риккати в 1782 году, на 25 лет раньше, чем работа Янга.^[2] Термин модуль происходит от латинского корневого термина способ что значит мера.

Определение

Линейная эластичность

Твердый материал подвергнется упругая деформация когда к нему прилагается небольшая нагрузка при сжатии или растяжении. Упругая деформация обратима (материал возвращается к исходной форме после снятия нагрузки).

При близких к нулю напряжениях и деформациях кривая напряжения – деформации имеет вид линейный, а связь между напряжением и деформацией описывается формулой Закон Гука в котором говорится, что напряжение пропорционально деформации. Коэффициент пропорциональности - это модуль Юнга. Чем выше модуль, тем большее напряжение требуется для создания такой же степени деформации; идеализированный жесткое тело имел бы бесконечный модуль Юнга. И наоборот, очень мягкий материал, такой как жидкость, будет деформироваться без силы и иметь нулевой модуль Юнга.

Не многие материалы являются линейными и эластичными за пределами небольшой деформации.^{[нужна цитата ]}

Примечание

Не следует путать жесткость материала с этими свойствами:

• Сила: максимальное напряжение, которое может выдержать материал при нахождении в режиме упругой (обратимой) деформации;
• Геометрическая жесткость: общая характеристика тела, которая зависит от его формы, а не только от локальных свойств материала; например, Двутавровая балка имеет более высокую жесткость на изгиб, чем стержень из того же материала при данной массе на длину;
• Твердость: относительное сопротивление поверхности материала проникновению более твердым телом;
• Стойкость: количество энергии, которое материал может поглотить до разрушения.

использование

Модуль Юнга позволяет рассчитать изменение размера стержня из изотропный эластичный материал под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. Например, он предсказывает, насколько образец материала расширяется при растяжении или укорачивается при сжатии. Модуль Юнга напрямую применяется к случаям одноосного напряжения, то есть напряжения растяжения или сжатия в одном направлении и отсутствия напряжения в других направлениях. Модуль Юнга также используется для прогнозирования прогиба, который произойдет в статически определен луч когда нагрузка приложена к точке между опорами балки.

Другие расчеты упругости обычно требуют использования одного дополнительного свойства упругости, например модуль сдвига грамм, объемный модуль K, и Коэффициент Пуассона ν. Любых двух из этих параметров достаточно, чтобы полностью описать эластичность изотропного материала. Для однородных изотропных материалов простые отношения существуют между упругими константами, которые позволяют вычислить их все, если известны две:

${ Displaystyle E = 2G (1+ nu) = 3K (1-2 nu). ,}$

Линейное против нелинейного

Модуль Юнга представляет собой коэффициент пропорциональности в Закон Гука, связывающий напряжение и деформацию. Однако закон Гука действителен только при допущении эластичный и линейный отклик. Любой настоящий материал со временем разрушится и сломается при растяжении на очень большом расстоянии или с очень большой силой; однако все твердые материалы демонстрируют почти гуковское поведение при достаточно малых деформациях или напряжениях. Если диапазон, в котором действует закон Гука, достаточно велик по сравнению с типичным напряжением, которое ожидается приложить к материалу, материал называется линейным. В противном случае (если применяемое типичное напряжение выходит за пределы линейного диапазона) материал называется нелинейным.

Стали, углеродное волокно и стекло среди прочих обычно считаются линейными материалами, в то время как другие материалы, такие как резинка и почвы нелинейны. Однако это не абсолютная классификация: если к нелинейному материалу приложены очень небольшие напряжения или деформации, отклик будет линейным, но если к линейному материалу приложены очень высокие напряжения или деформации, линейная теория не будет довольно. Например, как следует из линейной теории обратимость, было бы абсурдно использовать линейную теорию для описания разрушения стального моста под высокой нагрузкой; Хотя сталь является линейным материалом для большинства применений, в таких случаях катастрофический отказ не наблюдается.

В механика твердого тела, наклон кривая напряжение – деформация в любой момент называется касательный модуль. Экспериментально это можно определить из склон кривой напряжения-деформации, созданной во время испытания на растяжение проводится на выборке материала.

Направленные материалы

Модуль Юнга не всегда одинаков для всех ориентаций материала. Большинство металлов и керамики, как и многие другие материалы, являются изотропный, а их механические свойства одинаковы во всех ориентациях. Однако металлы и керамика можно обрабатывать определенными примесями, а металлы можно обрабатывать механически, чтобы сделать их зернистую структуру направленной. Эти материалы затем становятся анизотропный, а модуль Юнга будет меняться в зависимости от направления вектора силы.^[3] Анизотропия также наблюдается во многих композитах. Например, углеродное волокно имеет гораздо более высокий модуль Юнга (намного более жесткий), когда сила нагружается параллельно волокнам (вдоль волокон). Другие такие материалы включают дерево и железобетон. Инженеры могут использовать это явление направленности в своих интересах при создании конструкций.

Температурная зависимость

Модуль Юнга металлов изменяется в зависимости от температуры и может быть реализован за счет изменения межатомных связей атомов, и, следовательно, его изменение, как обнаружено, зависит от изменения работы выхода металла. Хотя классически это изменение предсказывается путем подгонки и без четкого базового механизма (например, формулы Вочмана), модель Рахеми-Ли^[4] демонстрирует, как изменение работы выхода электрона приводит к изменению модуля Юнга металлов, и предсказывает это изменение с помощью вычисляемых параметров, используя обобщение потенциала Леннарда-Джонса на твердые тела. Как правило, с повышением температуры модуль Юнга уменьшается на величину${ Displaystyle Е (Т) = бета ( varphi (T)) ^ {6}}$Где работа выхода электрона зависит от температуры как ${ displaystyle varphi (T) = varphi _ {0} - gamma { frac {(k_ {B} T) ^ {2}} { varphi _ {0}}}}$ и ${ displaystyle gamma}$ - это вычисляемое свойство материала, которое зависит от кристаллической структуры (например, BCC, FCC и т. д.). ${ displaystyle varphi _ {0}}$ - работа выхода электрона при T = 0 и ${ displaystyle beta}$ постоянно на протяжении всего изменения.

Расчет

Модуль для младших E, можно рассчитать, разделив растягивающее напряжение,${ displaystyle sigma ( varepsilon)}$, посредством инженерная деформация растяжения, ${ displaystyle varepsilon}$, в упругой (начальной, линейной) части физического кривая напряжение – деформация:

${ Displaystyle E Equiv { frac { sigma ( varepsilon)} { varepsilon}} = { frac {F / A} { Delta L / L_ {0}}} = { frac {FL_ {0 }} {A , Delta L}}}$

куда

E модуль Юнга (модуль упругости)

F сила, действующая на объект под напряжением;

А - фактическая площадь поперечного сечения, которая равна площади поперечного сечения, перпендикулярного приложенной силе;

ΔL - величина, на которую изменяется длина объекта (ΔL положительный, если материал растянут, и отрицательный, если материал сжимается);

L₀ - исходная длина объекта.

Сила со стороны растянутого или сжатого материала

Модуль Юнга материала можно использовать для расчета силы, которую он оказывает при определенной деформации.

${ displaystyle F = { frac {EA , Delta L} {L_ {0}}}}$

куда F сила, прилагаемая материалом при сжатии или растяжении ${ displaystyle Delta L}$.

Закон Гука для натянутой проволоки можно вывести по этой формуле:

${ Displaystyle F = left ({ frac {EA} {L_ {0}}} right) , Delta L = kx ,}$

где это происходит в насыщенности

${ Displaystyle к экв { гидроразрыва {EA} {L_ {0}}} ,}$ и ${ Displaystyle х эквив Delta L. ,}$

Но учтите, что упругость витых пружин происходит от модуль сдвига, а не модуль Юнга.

Упругая потенциальная энергия

В упругая потенциальная энергия хранится в линейно-упругом материале, дается интегралом закона Гука:

${ displaystyle U_ {e} = int {kx} , dx = { frac {1} {2}} kx ^ {2}.}$

теперь, объясняя интенсивные переменные:

${ displaystyle U_ {e} = int { frac {EA , Delta L} {L_ {0}}} , d Delta L = { frac {EA} {L_ {0}}} int Delta L , d Delta L = { frac {EA , { Delta L} ^ {2}} {2L_ {0}}}}$

Это означает, что плотность упругой потенциальной энергии (т. Е. На единицу объема) определяется как:

${ displaystyle { frac {U_ {e}} {AL_ {0}}} = { frac {E , { Delta L} ^ {2}} {2L_ {0} ^ {2}}}}$

или, простыми обозначениями, для линейно-упругого материала:${ Displaystyle и_ {е} ( varepsilon) = int {E , varepsilon} , d varepsilon = { frac {1} {2}} E { varepsilon} ^ {2}}$, поскольку деформация определяется ${ Displaystyle varepsilon Equiv { frac { Delta L} {L_ {0}}}}$.

В нелинейном упругом материале модуль Юнга является функцией деформации, поэтому вторая эквивалентность больше не выполняется, и упругая энергия не является квадратичной функцией деформации:

${ Displaystyle и_ {е} ( varepsilon) = int E ( varepsilon) , varepsilon , d varepsilon neq { frac {1} {2}} E varepsilon ^ {2}}$

Приблизительные значения

Влияние добавок выбранных стеклянных компонентов на модуль Юнга определенного базового стекла

Модуль Юнга может несколько отличаться из-за различий в составе образцов и методах испытаний. Скорость деформации имеет наибольшее влияние на собираемые данные, особенно в полимерах. Значения здесь приблизительные и предназначены только для относительного сравнения.

Смотрите также

• Жесткость на изгиб
• Прогиб
• Деформация
• Модуль упругости при изгибе
• Закон Гука
• Техника импульсного возбуждения
• Список свойств материалов
• Доходность (инженерная)

Рекомендации

дальнейшее чтение

• ASTM E 111, «Стандартный метод испытаний модуля Юнга, модуля упругости и хорды»
• В Справочник ASM (различные тома) содержит модуль Юнга для различных материалов и информацию по расчетам. Онлайн-версия (требуется подписка)

внешняя ссылка

• Matweb: бесплатная база данных инженерных свойств для более чем 115 000 материалов
• Модуль Юнга для групп материалов и их стоимость.

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам.
	${ Displaystyle К = ,}$	${ Displaystyle E = ,}$	${ Displaystyle lambda = ,}$	${ Displaystyle G = ,}$	${ Displaystyle Nu = ,}$	${ Displaystyle M = ,}$	Примечания
${ Displaystyle (К, , Е)}$			${ displaystyle { tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-E} {6K}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${ Displaystyle (К, , лямбда)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (K- lambda)} {3K- lambda}}}$		${ Displaystyle { tfrac {3 (K- lambda)} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {3K- lambda}}}$	${ displaystyle 3K-2 lambda ,}$
${ Displaystyle (К, , G)}$		${ displaystyle { tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${ displaystyle K - { tfrac {2G} {3}}}$		${ Displaystyle { tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${ displaystyle K + { tfrac {4G} {3}}}$
${ Displaystyle (К, , ню)}$		${ Displaystyle 3К (1-2 ню) ,}$	${ displaystyle { tfrac {3K nu} {1+ nu}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K (1-2 nu)} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {3K (1- nu)} {1+ nu}}}$
${ Displaystyle (К, , М)}$		${ displaystyle { tfrac {9K (M-K)} {3K + M}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {2}}}$	${ Displaystyle { tfrac {3 (М-К)} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3K-M} {3K + M}}}$
${ Displaystyle (Е, , лямбда)}$	${ displaystyle { tfrac {E + 3 lambda + R} {6}}}$			${ displaystyle { tfrac {E-3 lambda + R} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {2 lambda} {E + lambda + R}}}$	${ displaystyle { tfrac {E- lambda + R} {2}}}$	${ displaystyle R = { sqrt {E ^ {2} +9 lambda ^ {2} + 2E lambda}}}$
${ Displaystyle (Е, , G)}$	${ displaystyle { tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${ displaystyle { tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${ displaystyle { tfrac {E} {2G}} - 1}$	${ displaystyle { tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${ Displaystyle (Е, , ню)}$	${ displaystyle { tfrac {E} {3 (1-2 nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E nu} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$	${ displaystyle { tfrac {E} {2 (1+ nu)}}}$		${ displaystyle { tfrac {E (1- nu)} {(1+ nu) (1-2 nu)}}}$
${ Displaystyle (Е, , М)}$	${ displaystyle { tfrac {3M-E + S} {6}}}$		${ displaystyle { tfrac {M-E + S} {4}}}$	${ displaystyle { tfrac {3M + E-S} {8}}}$	${ displaystyle { tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${ displaystyle S = pm { sqrt {E ^ {2} + 9M ^ {2} -10EM}}}$ Есть два верных решения. Знак плюс ведет к ${ displaystyle nu geq 0}$. Знак минус ведет к ${ displaystyle nu leq 0}$.
${ Displaystyle ( лямбда, , G)}$	${ displaystyle lambda + { tfrac {2G} {3}}}$	${ Displaystyle { tfrac {G (3 lambda + 2G)} { lambda + G}}}$			${ Displaystyle { tfrac { lambda} {2 ( lambda + G)}}}$	${ displaystyle lambda + 2G ,}$
${ Displaystyle ( лямбда, , ню)}$	${ displaystyle { tfrac { lambda (1+ nu)} {3 nu}}}$	${ Displaystyle { tfrac { лямбда (1+ ню) (1-2 ню)} { ню}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1-2 nu)} {2 nu}}}$		${ displaystyle { tfrac { lambda (1- nu)} { nu}}}$	Не может использоваться, когда ${ displaystyle nu = 0 Leftrightarrow lambda = 0}$
${ Displaystyle ( лямбда, , М)}$	${ displaystyle { tfrac {M + 2 lambda} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {(M- lambda) (M + 2 lambda)} {M + lambda}}}$		${ displaystyle { tfrac {M- lambda} {2}}}$	${ displaystyle { tfrac { lambda} {M + lambda}}}$
${ Displaystyle (г, , ню)}$	${ Displaystyle { tfrac {2G (1+ nu)} {3 (1-2 nu)}}}$	${ Displaystyle 2G (1+ ню) ,}$	${ displaystyle { tfrac {2G nu} {1-2 nu}}}$			${ Displaystyle { tfrac {2G (1- nu)} {1-2 nu}}}$
${ Displaystyle (G, , M)}$	${ displaystyle M - { tfrac {4G} {3}}}$	${ displaystyle { tfrac {G (3M-4G)} {M-G}}}$	${ Displaystyle M-2G ,}$		${ displaystyle { tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${ Displaystyle ( ню, , М)}$	${ Displaystyle { tfrac {M (1+ nu)} {3 (1- nu)}}}$	${ Displaystyle { tfrac {М (1+ ню) (1-2 ню)} {1- ню}}}$	${ Displaystyle { tfrac {M nu} {1- nu}}}$	${ Displaystyle { tfrac {М (1-2 ню)} {2 (1- ню)}}}$