Эквивалентные определения математических структур - Equivalent definitions of mathematical structures

В математике эквивалентные определения используются двумя разными способами. Во-первых, в рамках конкретной математической теории (например, Евклидова геометрия ), понятие (например, эллипс или минимальная поверхность ) может иметь более одного определения. Эти определения эквивалентны в контексте данного математическая структура (Евклидово пространство, в этом случае). Во-вторых, математическая структура может иметь более одного определения (например, топологическое пространство имеет по крайней мере семь определений; упорядоченное поле имеет по крайней мере два определения ).

В первом случае эквивалентность двух определений означает, что математический объект (например, геометрическое тело) удовлетворяет одному определению. если и только если он удовлетворяет другому определению.

В последнем случае значение эквивалентности (между двумя определениями структуры) более сложное, поскольку структура более абстрактна, чем объект. Многие разные объекты могут реализовывать одну и ту же структуру.

Изоморфные реализации

Натуральные числа может быть реализовано как 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0, 1} = {{}, {{}}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} и так далее; или, как вариант, 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {1} = {{{}}} и т. д. Это два разных, но изоморфный реализации натуральных чисел в теории множеств. они изоморфны как модели Аксиомы Пеано, то есть троек (N,0,S) где N - множество, 0 - элемент N, и S (называется функция преемника ) карта N самому себе (удовлетворяющему соответствующим условиям). В первой реализации S(п) = п ∪ {п}; во второй реализации S(п) = {п}. Как подчеркивается в Проблема идентификации Бенацеррафа, две реализации отличаются своим ответом на вопрос, является ли 0 ∈ 2; тем не менее, это не законный вопрос о натуральных числах (поскольку отношение ∈ не обусловлено соответствующей подписью (подписями), см. следующий раздел).^{[подробнее 1]} Точно так же используются разные, но изоморфные реализации для сложные числа.

Выведенные структуры и криптоморфизмы

Функция преемника S на натуральные числа приводит к арифметические операции, сложение и умножение, а также общий порядок, таким образом обеспечивая N с упорядоченное полукольцо структура. Это пример выведенной структуры. Упорядоченная структура полукольца (N, +, ·, ≤) выводится из структуры Пеано (N, 0, S) следующим образом:п + 0 = п,   м + S (п) = S (м + п),   м · 0 = 0,   м · S (п) = м + (м · п), и м ≤ п тогда и только тогда, когда существует k ∈ N такой, что м + k = п. И наоборот, структура Пеано выводится из упорядоченной структуры полукольца следующим образом: S (п) = п + 1, а 0 определяется как 0 + 0 = 0. Это означает, что две структуры на N эквивалентны посредством этих двух процедур.

Две изоморфные реализации натуральных чисел, упомянутые в предыдущем разделе, изоморфны как тройки (N,0,S), т.е. структуры одного и того же подпись (0,S), состоящий из постоянного символа 0 и унарной функции S. Упорядоченная структура полукольца (N, +, ·, ≤) имеет другую сигнатуру (+, ·, ≤), состоящую из двух двоичных функций и одного двоичного отношения. Понятие изоморфизма не применяется к структурам с разными сигнатурами. В частности, структура Пеано не может быть изоморфна упорядоченному полукольцу. Однако упорядоченное полукольцо, полученное из структуры Пеано, может быть изоморфно другому упорядоченному полукольцу. Такое отношение между структурами разных сигнатур иногда называют криптоморфизм.

Эмбиент фреймворки

Структура может быть реализована в рамках теории множеств ZFC, или другая теория множеств, такая как NBG, НФУ, ETCS.^[1] В качестве альтернативы, конструкция может рассматриваться в рамках логика первого порядка, логика второго порядка, логика высшего порядка, а теория типов, теория гомотопического типа и т.п.^{[подробнее 2]}

Структуры по Бурбаки

«Математику [...] нельзя полностью объяснить с помощью одного понятия, такого как математическая структура. Тем не менее, структуралистский подход Бурбаки - лучшее, что у нас есть». (Пудлак 2013, стр. 3)

«Каким бы очевидным ни выглядело понятие математической структуры в наши дни, оно, по крайней мере, не было явным до середины 20-го века. Тогда это было влияние проекта Бурбаки, а затем развитие теории категорий, которое сделало понятие явный "(nLab ).

Согласно с Бурбаки, масштаб множеств на данном множестве Икс состоит из всех наборов, возникающих из Икс принимая Декартовы произведения и комплекты питания, в любой комбинации, конечное число раз. Примеры: Икс; Икс × Икс; п(Икс); п(п(Икс × Икс) × Икс × п(п(Икс))) × Икс. (Вот А × B это продукт А и B, и п(А) - мощность А.) В частности, пара (0,S), состоящий из элемента 0 ∈ N и унарная функция S : N → N принадлежит N × п(N × N) (поскольку функция - это подмножество декартова произведения ). Тройка (+, ·, ≤), состоящая из двух двоичных функций N × N → N и одно бинарное отношение на N принадлежит п(N × N × N) × п(N × N × N) × п(N × N). Точно так же каждая алгебраическая структура на множестве принадлежит соответствующему множеству в шкале множеств на Икс.

Неалгебраические структуры на множестве Икс часто включают наборы подмножеств Икс (то есть подмножества п(Икс), другими словами, элементы п(п(Икс))). Например, структура топологическое пространство, называемый топологией на Икс, рассматриваемый как набор «открытых» наборов; или структура измеримого пространства, рассматриваемого как σ-алгебра «измеримых» множеств; оба являются элементами п(п(Икс)). Это структуры второго порядка.^[2]

Более сложные неалгебраические структуры объединяют алгебраический компонент и неалгебраический компонент. Например, структура топологическая группа состоит из топологии и структуры группы. Таким образом, он принадлежит к продукту п(п(Икс)) и еще один («алгебраический») набор в шкале; этот продукт снова установлен в масштабе.

Транспорт конструкций; изоморфизм

Учитывая два набора Икс, Y и биекция ж : Икс → Y, строятся соответствующие биекции между масштабными множествами. А именно биекция Икс × Икс → Y × Y отправляет (Икс₁,Икс₂) к (ж(Икс₁),ж(Икс₂)); биекция п(Икс) → п(Y) отправляет подмножество А из Икс в его изображение ж(А) в Y; и так далее, рекурсивно: масштабируемый набор является либо произведением масштабных наборов, либо набором степеней масштабного набора, применяется одна из двух конструкций.

Позволять (Икс,U) и (Y,V) - две структуры одной подписи. потом U принадлежит к набору шкалы S_Икс, и V принадлежит соответствующему масштабному набору S_Y. Использование биекции F : S_Икс → S_Y построенный из биекции ж : Икс → Y, определяется:

ж является изоморфизм между (Икс,U) и (Y,V) если F(U) = V.

Это общее понятие изоморфизма обобщает многие менее общие понятия, перечисленные ниже.

• Для алгебраических структур: изоморфизм - это биективный гомоморфизм.
• В частности, для векторные пространства: линейная биекция.
• За частично упорядоченные наборы: изоморфизм порядка.
• За графики: изоморфизм графов.
• В более общем смысле, для множеств, наделенных бинарными отношениями: изоморфизм, сохраняющий отношения.
• Для топологических пространств: гомеоморфизм или топологический изоморфизм или би непрерывная функция.
• За равномерные пространства: равномерный изоморфизм.
• За метрические пространства: биективная изометрия.
• Для топологических групп: групповой изоморфизм, который также является гомеоморфизмом основных топологических пространств.
• За топологические векторные пространства: изоморфизм векторных пространств, который также является гомеоморфизмом лежащих в основе топологических пространств.
• За Банаховы пространства: биективная линейная изометрия.
• За Гильбертовы пространства: унитарное преобразование.
• Для групп Ли: биективный гомоморфизм гладких групп, обратный которому также является гомоморфизмом гладких групп.
• За гладкие многообразия: диффеоморфизм.
• За симплектические многообразия: симплектоморфизм.
• За Римановы многообразия: изометрический диффеоморфизм.
• За конформные пространства: конформный диффеоморфизм.
• За вероятностные пространства: биективное измеримое и сохраняющее меру отображение, обратное которому также измеримо и сохраняет меру.
• За аффинные пространства: bijective аффинное преобразование.
• За проективные пространства: омография.

Фактически, Бурбаки предусматривает две дополнительные функции. Сначала несколько комплектов Икс₁, ..., Икс_п (так называемые основные базовые наборы) могут использоваться, а не один набор Икс. Однако от этой функции мало толку. Все перечисленные выше предметы используют один основной базовый набор. Во-вторых, так называемые вспомогательные базовые наборы E₁, ..., E_м может быть использовано. Эта функция широко используется. Действительно, структура векторного пространства предполагает не только сложение Икс × Икс → Икс но также скалярное умножение р × Икс → Икс (если р - поле скаляров). Таким образом, р вспомогательный базовый набор (называемый также «внешним»^[3]). Шкала множеств состоит из всех множеств, возникающих из всех базовых множеств (как главных, так и вспомогательных) путем взятия декартовых произведений и множеств мощности. Тем не менее, карта ж (возможно, изоморфизм) действует на Икс только; вспомогательные множества снабжены тождественными картами. (Однако случай п основные наборы приводят к п карты.)

Функциональность

Некоторые высказывания Бурбаки, сформулированные без упоминания категорий, легко переформулируются на языке теория категорий. Сначала немного терминологии.

• Масштаб комплектов индексируется «схемами построения эшелонов»,^[4] называются также «типами».^[5][6] Можно подумать, скажем, о наборе п(п(Икс × Икс) × Икс × п(п(Икс))) × Икс как набор Икс подставлено в формулу "п(п(а × а) × а × п(п(а))) × а"для переменной а; эта формула является соответствующей схемой построения эшелона.^{[подробнее 3]} (Это понятие, определенное для всех структур, можно рассматривать как обобщение сигнатуры, определенной только для алгебраических структур.)^{[подробнее 4]}
• Позволять Набор* обозначить группоид наборов и биекций. То есть категория, объектами которой являются (все) множества, а морфизмы (все) биекции.

Предложение. ^[7] Каждая схема построения эшелона приводит к функтору из Набор* себе.

В частности, группа перестановок набора Икс действует на каждой шкале S_Икс.

Для того чтобы сформулировать еще одно положение, необходимо понятие «разновидности сооружений», поскольку схема построения эшелонов дает лишь предварительную информацию о сооружении. Например, коммутативные группы и (произвольные) группы - это два разных вида одной и той же схемы построения эшелона. Другой пример: топологические пространства и измеримые пространства. Они различаются так называемой аксиомой вида. Эта аксиома представляет собой соединение всех требуемых свойств, таких как «умножение ассоциативно» для групп или «объединение открытых множеств является открытым множеством» для топологических пространств.

• Вид структур состоит из схемы построения эшелона и аксиомы вида.

Предложение. ^[8] Каждый вид структур приводит к функтору из Набор* себе.

Пример. Для вида групп функтор F отображает набор Икс к набору F(Икс) всех структур групп на Икс. Для вида топологических пространств функтор F отображает набор Икс к набору F(Икс) всех топологий на Икс. Морфизм F(ж) : F(Икс) → F(Y), соответствующая биекции ж : Икс → Y это транспорт конструкций. Топологии на Y биективно соответствуют топологиям на Икс. То же верно и для групповых структур и т. Д.

В частности, множество всех структур данного вида на данном множестве инвариантно относительно действия группы перестановок на соответствующем масштабном множестве S_Икс, и является фиксированная точка действия группы на другом шкале п(S_Икс). Однако не все фиксированные точки этого действия соответствуют видам структур.^{[подробнее 5]}

Для двух видов Бурбаки определяет понятие «процедура дедукции» (строения второго вида из строения первого вида).^[9] Пара взаимно обратных процедур дедукции приводит к понятию «эквивалентные виды».^[10]

Пример. Структуру топологического пространства можно определить как открытая топология набора или, альтернативно, замкнутая топология. Две соответствующие процедуры дедукции совпадают; каждый заменяет все заданные подмножества Икс с их дополнениями. В этом смысле это два эквивалентных вида.

В общем определении Бурбаки процедура вычета может включать изменение основного базового набора (ов), но этот случай здесь не рассматривается. На языке теории категорий можно получить следующий результат.

Предложение. ^[10] Эквивалентность двух видов структур приводит к естественный изоморфизм между соответствующими функторами.

Однако, как правило, не все естественные изоморфизмы между этими функторами соответствуют эквивалентности между видами.^{[подробнее 6]}

Математическая практика

«Мы часто не различаем изоморфные структуры и часто говорим, что 'две структуры одинаковы, с точностью до изоморфизма'."^[11]

«При изучении структур нас интересует только их форма, но когда мы доказываем их существование, нам необходимо их построить».^[12]

«Математики, конечно, привыкли идентифицировать изоморфные структуры на практике, но обычно они делают это с помощью« злоупотребления обозначениями »или каким-либо другим неформальным приемом, зная, что задействованные объекты« на самом деле »не идентичны».^[13] (Ожидается радикально лучший подход; но пока, летом 2014 г., полная книга, процитированная выше, не описывает структуры.)

На практике не делается различия между эквивалентными видами структур.^[10]

Обычно текст, основанный на натуральных числах (например, статья "простое число ") не указывает используемое определение натуральных чисел. Точно так же текст, основанный на топологических пространствах (например, статья"гомотопия ", или "индуктивный размер ") не уточняет используемое определение топологического пространства. Таким образом, возможно (и весьма вероятно), что читатель и автор интерпретируют текст по-разному, в соответствии с разными определениями. Тем не менее, коммуникация успешна, что означает, что такое различные определения можно рассматривать как эквивалентные.

Человек, знакомый с топологическими пространствами, знает основные отношения между окрестностями, сходимостью, непрерывностью, границей, замыканием, внутренними, открытыми множествами, замкнутыми множествами, и ему не нужно знать, что некоторые из этих понятий являются «первичными», предусмотренными в определении топологическое пространство, а другие являются «вторичными», характеризуемыми в терминах «первичных» понятий. Более того, зная, что подмножества топологического пространства сами по себе являются топологическими пространствами, а также продуктами топологических пространств, человек может построить некоторые новые топологические пространства независимо от определения.

Таким образом, на практике топология на множестве рассматривается как абстрактный тип данных который предоставляет все необходимые понятия (и конструкторы ), но скрывает различие между «первичным» и «вторичным» понятиями. То же самое относится и к другим видам математических структур. «Интересно, что формализация структур в теории множеств - такая же задача, как и формализация структур для компьютеров».^[14]

Канонический, а не просто естественный

Как уже упоминалось, эквивалентность между двумя видами структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами. Однако, "естественный " не значит "канонический ". Естественное преобразование вообще не уникально.

Пример. Снова рассмотрим две эквивалентные структуры для натуральных чисел. Один из них - «структура Пеано» (0,S), второй - это структура (+, ·, ≤) упорядоченного полукольца. Если набор Икс наделен обеими структурами, то, с одной стороны, Икс = { а₀, а₁, а₂, ... } куда S(а_п) = а_п+1 для всех п и 0 = а₀; а с другой стороны, Икс = { б₀, б₁, б₂, ... } куда б_м+п = б_м + б_п, б_м·п = б_м · б_п, и б_м ≤б_п если и только если м ≤ п. Требуя этого а_п = б_п для всех п получается каноническая эквивалентность двух структур. Однако может также потребоваться а₀ = б₁, а₁ = б₀, и а_п = б_п для всех п > 1, получая другой, неканонический, естественный изоморфизм. Более того, каждый перестановка индексного множества {0, 1, 2, ...} приводит к естественному изоморфизму; их несчетное количество!

Другой пример. Структура (простого) графа на множестве V = {1, 2, ..., n} вершин можно описать с помощью его матрица смежности, (0,1) -матрица размера п×п (с нулями по диагонали). В общем, для произвольных V функция смежности на V × V может быть использовано. Каноническая эквивалентность дается правилом: «1» означает «связанный» (с ребром), «0» означает «не связан». Однако другое правило, «0» означает «подключен», «1» означает «нет», может использоваться и приводит к другой, естественной, но не канонической эквивалентности. В этом примере каноничность - это скорее вопрос условности. Но здесь дело обстоит хуже. Вместо «0» и «1» можно использовать, скажем, две возможные ориентации плоскости р² («по часовой стрелке» и «против часовой стрелки»). В этом случае сложно выбрать каноническое правило!

«Естественный» - это хорошо определенное математическое понятие, но оно не гарантирует уникальности. «Канонический» есть, но обычно более или менее условен. Последовательный выбор канонических эквивалентностей - неизбежный компонент эквивалентных определений математических структур.

Смотрите также

Примечания

Сноски

Рекомендации

• Пудлак, Павел (2013), Логические основы математики и вычислительной сложности. Нежное введение, Springer.
• Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики: теория множеств, Герман (оригинал), Эддисон-Уэсли (перевод).

дальнейшее чтение

• Феферман, С. (2010), «Теоретико-множественные критерии инвариантности логичности», Журнал формальной логики Нотр-Дам, 51: 3–20, Дои:10.1215/00294527-2010-002.
• Marshall, M.V .; Чуаки, Р. (1991), «Предложения теории типов: единственные предложения, сохраняющиеся при изоморфизмах», Журнал символической логики, 56 (3): 932–948, Дои:10.2178 / jsl / 1183743741.
• Программа Univalent Foundation (2013 г.), Теория гомотопических типов: однолистные основы математики, Институт перспективных исследований.

внешняя ссылка

• nLab: структурированный набор «Практически все в современной математике является примером структурированного множества». (цитата из раздела «Примеры»)
• nLab: структура в теории моделей
• nLab: материал, структура, свойство
• MathOverflow: Что означает «канонический»? «практическое правило: существует канонический изоморфизм между X и Y, если и только если вам удобно писать X = Y» (Рид Бартон)
• Абстрактная математика: математические структуры «Когда вы думаете о структуре, лучше всего думать о ней как о содержащей всю эту информацию, а не только о том, что указано в определении» (Чарльз Уэллс)
• MathStackExchange: педантичный вопрос об определении новых структур независимо от пути `Мы бы продолжали делать утверждения вроде« Топологическое пространство определяется своими открытыми множествами », но никогда не делали бы таких утверждений, как« Топологическое пространство - это упорядоченная пара. ${ displaystyle (X, { mathcal {O}})}$ такой, что ... "'
• MathStackExchange: существует ли другой способ получения топологического пространства из метрического пространства, также заслуживающий термина «канонический»?