Программа Эрланген - Erlangen program

В математике Программа Эрланген это метод характеристики геометрии на основе теория групп и проективная геометрия. Это было опубликовано Феликс Кляйн в 1872 г. как Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Он назван в честь Университет Эрланген-Нюрнберг, где работал Кляйн.

К 1872 г. неевклидовы геометрии возникли, но без возможности определить их иерархию и отношения. Метод Кляйна был принципиально новаторским по трем направлениям:

• Проективная геометрия подчеркивалась как объединяющая рамка для всех других рассматриваемых им геометрий. Особенно, Евклидова геометрия был более строгим, чем аффинная геометрия, что, в свою очередь, более ограничительно, чем проективная геометрия.

• Кляйн предложил теория групп, раздел математики, использующий алгебраические методы для абстрагирования идеи симметрия, был наиболее полезным способом систематизации геометрических знаний; в то время он уже был введен в теория уравнений в виде Теория Галуа.

• Кляйн гораздо более четко сформулировал идею о том, что каждый геометрический язык имеет свои собственные подходящие концепции, таким образом, например, проективная геометрия справедливо говорила о конические секции, но не о круги или же углы потому что эти понятия не были инвариантными при проективные преобразования (что-то знакомое в геометрическая перспектива ). То, как несколько языков геометрии снова объединились, можно объяснить следующим образом: подгруппы из группа симметрии связаны друг с другом.

Потом, Эли Картан обобщил однородные модельные пространства Клейна на Картановые соединения на определенных основные связки, который обобщил Риманова геометрия.

Проблемы геометрии XIX века

С Евклид, геометрия означала геометрию Евклидово пространство двух измерений (плоская геометрия ) или трех измерений (сплошная геометрия ). В первой половине девятнадцатого века произошло несколько событий, усложняющих картину. Математические приложения требовали геометрии четыре или более измерений; тщательное изучение основ традиционной евклидовой геометрии выявило независимость параллельный постулат от других, и неевклидова геометрия родился. Кляйн предложил идею, что все эти новые геометрии являются лишь частными случаями проективная геометрия, как уже было разработано Понселе, Мебиус, Кэли и другие. Кляйн также настоятельно рекомендовал математические физики что даже умеренное развитие проективного кругозора может принести им существенную пользу.

С каждой геометрией Кляйн связывал основную группа симметрий. Таким образом, иерархия геометрий математически представлена ​​как иерархия этих группы, и иерархия их инварианты. Например, длина, углы и площади сохраняются относительно Евклидова группа симметрий, а только структура заболеваемости и перекрестное соотношение сохраняются в самых общих проективные преобразования. Концепция параллелизм, который сохранился в аффинная геометрия, не имеет смысла в проективная геометрия. Затем, абстрагируя лежащие в основе группы симметрий из геометрий, отношения между ними могут быть восстановлены на групповом уровне. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппа группы проективной геометрии любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, является априори имеет смысл в аффинной геометрии; но не наоборот. Если вы удалите необходимые симметрии, у вас будет более мощная теория, но меньше понятий и теорем (которые будут более глубокими и общими).

Однородные пространства

Другими словами, "традиционные пространства" однородные пространства; но не для однозначно определенной группы. Смена группы меняет соответствующий геометрический язык.

На современном языке все группы, связанные с классической геометрией, очень хорошо известны как Группы Ли: the классические группы. Конкретные отношения довольно просто описываются техническим языком.

Примеры

Например, группа проективная геометрия в п вещественные измерения - это группа симметрии п-размерный реальный проективное пространство (в общая линейная группа степени п + 1, процитировано скалярные матрицы ). В аффинная группа будет подгруппой, уважающей (отображающей на себя, а не фиксирующей поточечно) выбранный гиперплоскость в бесконечности. Эта подгруппа имеет известную структуру (полупрямой продукт из общая линейная группа степени п с подгруппой переводы ). Затем это описание сообщает нам, какие свойства являются «аффинными». В терминах геометрии евклидовой плоскости быть параллелограммом аффинно, поскольку аффинные преобразования всегда переводят один параллелограмм в другой. Круг не аффинен, поскольку аффинный сдвиг превратит круг в эллипс.

Чтобы точно объяснить взаимосвязь между аффинной и евклидовой геометрией, нам теперь нужно определить группу евклидовой геометрии внутри аффинной группы. В Евклидова группа на самом деле (используя предыдущее описание аффинной группы) полупрямое произведение ортогональной (вращение и отражение) группы с переводами. (Видеть Геометрия Клейна Больше подробностей.)

Влияние на более позднюю работу

Долгосрочные эффекты программы Эрланген можно увидеть во всей чистой математике (см. Неявное использование на конгруэнтность (геометрия), Например); и идея преобразований и синтеза с использованием групп симметрия стало стандартом в физика.

Когда топология обычно описывается с точки зрения свойств инвариантный под гомеоморфизм, можно увидеть основную идею в действии. Участвующие группы будут бесконечномерными почти во всех случаях - и не Группы Ли - но философия та же. Конечно, в основном это связано с педагогическим влиянием Кляйна. Книги, такие как книги H.S.M. Coxeter обычно использовали программный подход Эрлангена, чтобы помочь «разместить» геометрию. В педагогическом плане программа стала геометрия трансформации, смешанное благо в том смысле, что оно основано на более сильной интуиции, чем стиль Евклид, но его труднее преобразовать в логическая система.

В его книге Структурализм (1970) Жан Пиаже говорит: "В глазах современных математиков-структуралистов, таких как Бурбаки, программа Эрлангена представляет собой лишь частичную победу структурализма, поскольку они хотят подчинить всю математику, а не только геометрию, идее структура."

Для геометрии и ее группы элемент группы иногда называют движение геометрии. Например, можно узнать о Модель полуплоскости Пуанкаре из гиперболическая геометрия через развитие, основанное на гиперболические движения. Такое развитие событий позволяет методически доказывать ультрапараллельная теорема последовательными движениями.

Абстрактные результаты программы Эрланген

Довольно часто оказывается, что есть два или более различных геометрии с изоморфный группы автоморфизмов. Возникает вопрос о чтении программы Эрланген из Абстрактные группа, к геометрии.

Один пример: ориентированный (т.е. размышления не включено) эллиптическая геометрия (т.е. поверхность п-сфера с обозначением противоположных точек) и ориентированный сферическая геометрия (одинаковый неевклидова геометрия, но с неустановленными противоположными точками) изоморфный группа автоморфизмов, ТАК(п+1) даже для п. Они могут казаться разными. Однако оказывается, что геометрии очень тесно связаны между собой, и это можно уточнить.

Возьмем другой пример, эллиптические геометрии с разными радиусы кривизны имеют изоморфные группы автоморфизмов. На самом деле это не считается критикой, поскольку все такие геометрии изоморфны. Общий Риманова геометрия выходит за рамки программы.

Сложный, двойной и двойные (также известные как разделенные комплексные) числа появляются как однородные пространства SL (2,р) / H для группы SL (2,р) и его подгруппы H = A, N, K.^[1] Группа SL (2,р) действует на этих однородных пространствах дробно-линейные преобразования и большая часть соответствующих геометрических форм может быть получена единообразным образом из программы Erlangen.

Еще несколько ярких примеров появились в физике.

Во-первых, п-размерный гиперболическая геометрия, п-размерный пространство де Ситтера и (п−1) -мерный инверсивная геометрия у всех есть изоморфные группы автоморфизмов,

${ Displaystyle mathrm {O} (п, 1) / mathrm {C} _ {2}, }$

в ортохронная группа Лоренца, за п ≥ 3. Но это явно разные геометрии. Сюда входят некоторые интересные результаты из физики. Было показано, что физические модели в каждой из трех геометрий «двойственны» для некоторых моделей.

Опять таки, п-размерный пространство анти-де Ситтера и (п−1) -мерный конформное пространство с «лоренцевой» подписью (в отличие от конформное пространство с «евклидовой» подписью, идентичной инверсивная геометрия, для трех измерений или более) имеют изоморфные группы автоморфизмов, но являются различными геометриями. И снова в физике есть модели с «двойственностью» между ними. пробелы. Видеть AdS / CFT Больше подробностей.

Накрывающая группа SU (2,2) изоморфна накрывающей группе SO (4,2), которая является группой симметрии четырехмерного конформного пространства Минковского, пятимерного анти-де Ситтера пространства и комплексного четырехмерного пространства. твистор пространство.

Поэтому программу Эрлангена можно по-прежнему считать плодотворной в отношении двойственности в физике.

В основополагающей статье, представившей категории, Saunders Mac Lane и Сэмюэл Эйленберг заявил: «Это можно рассматривать как продолжение программы Клейна Эрлангера в том смысле, что геометрическое пространство с его группой преобразований обобщается до категории с ее алгеброй отображений»^[2]

Связь программы Эрланген с работой Чарльз Эресманн на группоиды в геометрии рассматривается в статье Прадинеса.^[3]

В математическая логика, программа Эрланген также послужила источником вдохновения для Альфред Тарский в своем анализе логические понятия.^[4]

Рекомендации

• Клейн, Феликс (1872) "Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии". Полный английский перевод здесь https://arxiv.org/abs/0807.3161.
• Шарп, Ричард В. (1997) Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна Vol. 166. Springer.
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Дифференциальная геометрия, Дувр, Нью-Йорк, ISBN  0-486-63433-7.

Охватывает работы Ли, Кляйна и Картана. На стр. 139 Гуггенхаймер резюмирует эту область, отмечая: «Геометрия Клейна - это теория геометрических инвариантов транзитивной группы преобразований (программа Эрлангена, 1872 г.)».

• Томас Хокинс (1984) "The Программа Эрлангера Феликса Клейна: размышления о его месте в истории математики », Historia Mathematica 11:442–70.
• «Программа Эрланген», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Личен Джи и Атанас Пападопулос (редакторы) (2015) Софус Ли и Феликс Кляйн: программа Эрланген и ее влияние на математику и физику, Лекции IRMA по математике и теоретической физике 23, Издательство Европейского математического общества, Цюрих.
• Феликс Кляйн (1872) «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» («Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии»), Mathematische Annalen, 43 (1893), стр. 63–100 (Также: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, стр. 460–497).

Английский перевод Меллен Хаскелл появился в Бык. N. Y. Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.

Оригинальный немецкий текст программы Эрланген можно посмотреть в онлайн-коллекции Мичиганского университета по адресу [1], а также на [2] в формате HTML.

Центральная информационная страница программы Эрланген, поддерживаемая Джон Баэз я сидела [3].

• Феликс Кляйн (2004) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия, Дувр, Нью-Йорк, ISBN  0-486-43481-8

(перевод Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Teil II: Geometrie, pub. 1924 года Спрингера). Имеет раздел по программе Эрланген.