Теорема Кутты – Жуковского. - Kutta–Joukowski theorem

В Теорема Кутты – Жуковского. основная теорема в аэродинамика используется для расчета подъемной силы профиль и любые двумерные тела, включая круглые цилиндры, перемещающиеся в однородной жидкости с постоянной скоростью, достаточно большой, чтобы поток, наблюдаемый в неподвижной раме, был устойчивым и неразделимым. Теорема связывает поднимать создается аэродинамическим профилем до скорости аэродинамического профиля в жидкости, плотности жидкости и обращение вокруг профиля. Циркуляция определяется как интеграл линии вокруг замкнутого контура, охватывающего аэродинамический профиль составляющей скорости жидкости. касательная к петле.^[1] Он назван в честь Мартин Кутта и Николай Жуковский (или Жуковски), который первым разработал его ключевые идеи в начале 20 века. Теорема Кутты – Жуковского является невязкая теория, но это хорошее приближение для реального вязкого потока в типичных аэродинамических приложениях.

Теорема Кутты – Жуковского связывает подъемную силу с циркуляцией во многом так же, как Эффект Магнуса связывает боковую силу (называемую силой Магнуса) с вращением.^[2] Однако циркуляция здесь не вызывается вращением профиля. Течение жидкости при наличии профиля можно рассматривать как суперпозиция поступательного потока и вращающегося потока. Этот вращающийся поток вызван эффектами выпуклость, угол атаки и резкий задний край профиля. Его не следует путать с вихрем, подобным торнадо по периметру профиля. На большом удалении от профиля вращающийся поток можно рассматривать как индуцированный линейным вихрем (при этом вращающаяся линия перпендикулярна двумерной плоскости). При выводе теоремы Кутты – Жуковского профиль обычно отображается на круговой цилиндр. Во многих учебниках теорема доказывается для кругового цилиндра и Профиль Жуковского, но это справедливо и для общих профилей.

Формула подъемной силы

Теорема применима к двумерному обтеканию фиксированного профиля (или любой формы бесконечной размах ). Подъем на единицу пролета ${ Displaystyle L ',}$ крылового профиля определяется выражением^[3]

{ Displaystyle L ^ { prime} = rho _ { infty} V _ { infty} Gamma, ,}

(1)

где ${ Displaystyle rho _ { infty} ,}$ и ${ Displaystyle V _ { infty} ,}$ - плотность жидкости и скорость жидкости далеко перед аэродинамическим профилем, и ${ displaystyle Gamma ,}$ тираж определяется как линейный интеграл

{ Displaystyle Gamma = oint _ {C} V cdot d mathbf {s} = oint _ {C} V cos theta ; ds ,}

по замкнутому контуру ${ displaystyle C}$ охватывающий аэродинамический профиль и двигающийся в отрицательном (по часовой стрелке) направлении. Как поясняется ниже, этот путь должен находиться в области потенциальный поток а не в пограничный слой цилиндра. Подынтегральное выражение ${ Displaystyle В соз тета ,}$ - составляющая локальной скорости жидкости в направлении, касательном к кривой ${ Displaystyle C ,}$ и ${ displaystyle ds ,}$ бесконечно малая длина кривой, ${ Displaystyle C ,}$ . Уравнение (1) это форма Теорема Кутты – Жуковского.

Кете и Шетцер формулируют теорему Кутты – Жуковского следующим образом:^[4]

Сила на единицу длины, действующая на правый цилиндр любого поперечного сечения, равна ${ Displaystyle rho _ { infty} V _ { infty} Gamma}$ и перпендикулярна направлению ${ displaystyle V _ { infty}.}$

Циркуляция и условие Кутты

Лифт производящий профиль либо имеет развал, либо работает при положительном угол атаки, угол между линией хорды и потоком жидкости далеко перед аэродинамическим профилем. Кроме того, профиль должен иметь острую заднюю кромку.

Любая реальная жидкость вязкая, что означает, что скорость жидкости на профиле равна нулю. Прандтль показал, что для больших Число Рейнольдса, определяется как ${ displaystyle Re = { frac { rho V _ { infty} c_ {A}} { mu}} ,}$ , и малым углом атаки, обтекание тонкого профиля состоит из узкой вязкой области, называемой пограничный слой возле тела и невязкий поток регион снаружи. При применении теоремы Кутта-Жуковского петля должна выбираться вне этого пограничного слоя. (Например, циркуляция, рассчитанная с использованием контура, соответствующего поверхности аэродинамического профиля, будет равна нулю для вязкой жидкости.)

Требование острой задней кромки физически соответствует потоку, в котором текучая среда, движущаяся вдоль нижней и верхней поверхностей аэродинамического профиля, плавно пересекается, при этом жидкость не движется вокруг задней кромки аэродинамического профиля. Это известно как Условие Кутты.

Кутта и Жуковски показали, что для расчета давления и подъемной силы тонкого профиля для обтекания на больших Число Рейнольдса и малый угол атаки, поток можно считать невязким во всей области вне аэродинамического профиля при условии выполнения условия Кутта. Это известно как потенциальный поток теория и замечательно работает на практике.

Вывод

Ниже представлены два вывода. Первый - это эвристический аргумент, основанный на физическом понимании. Второй - формальный и технический, требующий базовых векторный анализ и комплексный анализ.

Эвристический аргумент

В качестве эвристического аргумента рассмотрим тонкий профиль из аккорд ${ displaystyle c}$ и бесконечный размах, движущийся в воздухе плотности ${ displaystyle rho}$ . Пусть аэродинамический профиль будет наклонен к набегающему потоку для создания скорости воздуха. ${ displaystyle V}$ по одну сторону от профиля, а скорость воздуха ${ Displaystyle V + v}$ с другой стороны. Тогда тираж

{ Displaystyle Gamma = Vc- (V + v) c = -vc. ,}

Разница в давлении ${ displaystyle Delta P}$ между двумя сторонами аэродинамического профиля можно найти, применив Уравнение Бернулли:

{ displaystyle { frac { rho} {2}} (V) ^ {2} + (P + Delta P) = { frac { rho} {2}} (V + v) ^ {2} + П,,}

{ displaystyle { frac { rho} {2}} (V) ^ {2} + Delta P = { frac { rho} {2}} (V ^ {2} + 2Vv + v ^ {2 }), ,}

{ displaystyle Delta P = rho Vv qquad { text {(игнорируя}} { frac { rho} {2}} v ^ {2}), ,}

поэтому подъемная сила на единицу пролета равна

{ Displaystyle L '= с Delta P = rho Vvc = - rho V Gamma. ,}

А дифференциал версия этой теоремы применяется к каждому элементу пластины и является основой теория тонкого профиля.

Формальное происхождение

Формальный вывод теоремы Кутты – Жуковского.

Прежде всего вычисляется сила, действующая на каждую единицу длины цилиндра произвольного поперечного сечения.^[5] Пусть эта сила на единицу длины (далее именуемая просто силой) равна

{ Displaystyle mathbf {F} ,}

. Итак, общая сила равна:

{ displaystyle mathbf {F} = - oint _ {C} p mathbf {n} , ds,}

где C обозначает границу цилиндра, ${ displaystyle p}$ это статическое давление жидкости, ${ Displaystyle mathbf {п} ,}$ это единичный вектор перпендикулярно цилиндру, и ds - элемент дуги границы сечения. Теперь позвольте ${ displaystyle phi}$ - угол между вектором нормали и вертикалью. Тогда компоненты вышеуказанной силы:

{ displaystyle F_ {x} = - oint _ {C} p sin phi , ds quad, qquad F_ {y} = oint _ {C} p cos phi , ds.}

Теперь наступает решающий шаг: рассматривать используемое двумерное пространство как комплексная плоскость. Таким образом, каждый вектор можно представить в виде комплексное число, с его первым компонентом, равным действительной части, и его вторым компонентом, равным мнимой части комплексного числа. Тогда силу можно представить как:

{ displaystyle F = F_ {x} + iF_ {y} = - oint _ {C} p ( sin phi -i cos phi) , ds.}

Следующим шагом будет принятие комплексно сопряженный силы ${ displaystyle F}$ и проделаем некоторые манипуляции:

{ displaystyle { bar {F}} = - oint _ {C} p ( sin phi + i cos phi) , ds = -i oint _ {C} p ( cos phi - i sin phi) , ds = -i oint _ {C} pe ^ {- i phi} , ds.}

Сегменты поверхности ds связаны с изменениями дз по ним:

{ displaystyle dz = dx + idy = ds ( cos phi + i sin phi) = ds , e ^ {i phi} qquad Rightarrow qquad d { bar {z}} = e ^ {-i phi} ds.}

Подключив это обратно к интегралу, мы получим:

{ displaystyle { bar {F}} = - i oint _ {C} p , d { bar {z}}.}

Сейчас Уравнение Бернулли используется, чтобы снять давление с интеграла. На протяжении всего анализа предполагается, что внешнее силовое поле отсутствует. Массовая плотность потока составляет ${ displaystyle rho.}$ Тогда давление ${ displaystyle p}$ связано со скоростью ${ displaystyle v = v_ {x} + iv_ {y}}$ от:

{ displaystyle p = p_ {0} - { frac { rho | v | ^ {2}} {2}}.}

С этой силой ${ displaystyle F}$ становится:

{ displaystyle { bar {F}} = - ip_ {0} oint _ {C} d { bar {z}} + i { frac { rho} {2}} oint _ {C} | v | ^ {2} , d { bar {z}} = { frac {i rho} {2}} oint _ {C} | v | ^ {2} , d { bar {z }}.}

Остается сделать только один шаг: представить ${ Displaystyle ш = е (г),}$ то комплексный потенциал потока. Это связано с компонентами скорости как ${ displaystyle w '= v_ {x} -iv_ {y} = { bar {v}},}$ где апостроф означает дифференцирование по комплексной переменной z. Скорость касается границы C, значит, ${ displaystyle v = pm | v | e ^ {i phi}.}$ Следовательно, ${ displaystyle v ^ {2} d { bar {z}} = | v | ^ {2} dz, ,}$ и желаемое выражение для силы получено:

{ displaystyle { bar {F}} = { frac {i rho} {2}} oint _ {C} w '^ {2} , dz,}

который называется Теорема Блазиуса.

Чтобы прийти к формуле Жуковского, необходимо вычислить этот интеграл. Из комплексного анализа известно, что голоморфная функция можно представить как Серия Laurent. Из физики задачи выводится, что производная комплексного потенциала ${ displaystyle w}$ будет выглядеть так:

{ displaystyle w '(z) = a_ {0} + { frac {a_ {1}} {z}} + { frac {a_ {2}} {z ^ {2}}} + точки.}

Функция не содержит членов высшего порядка, поскольку скорость остается конечной на бесконечности. Так ${ displaystyle a_ {0} ,}$ представляет собой производную комплексного потенциала на бесконечности: ${ displaystyle a_ {0} = v_ {x infty} -iv_ {y infty} ,}$ . Следующая задача - выяснить значение ${ displaystyle a_ {1} ,}$ . С использованием теорема о вычетах по вышеуказанной серии:

{ displaystyle a_ {1} = { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} w ', dz.}

Теперь выполните вышеуказанную интеграцию:

{ displaystyle oint _ {C} w '(z) , dz = oint _ {C} (v_ {x} -iv_ {y}) (dx + idy) = oint _ {C} (v_ { x} , dx + v_ {y} , dy) + i oint _ {C} (v_ {x} , dy-v_ {y} , dx) = oint _ {C} mathbf {v } , {ds} + i oint _ {C} (v_ {x} , dy-v_ {y} , dx).}

Первый интеграл признается обращение обозначается ${ displaystyle Gamma.}$ Второй интеграл можно вычислить после некоторых манипуляций:

{ Displaystyle oint _ {C} (v_ {x} , dy-v_ {y} , dx) = oint _ {C} left ({ frac { partial psi} { partial y} } dy + { frac { partial psi} { partial x}} dx right) = oint _ {C} d psi = 0.}

Здесь ${ displaystyle psi ,}$ это функция потока. Поскольку C граница цилиндра сама по себе является линией тока, функция тока на ней не меняется, и ${ displaystyle d psi = 0 ,}$ . Следовательно, указанный выше интеграл равен нулю. Как результат:

{ displaystyle a_ {1} = { frac { Gamma} {2 pi i}}.}

Возьмем квадрат ряда:

{ displaystyle w '^ {2} (z) = a_ {0} ^ {2} + { frac {a_ {0} Gamma} { pi iz}} + dots.}

Вставляем это обратно в формулу Блазиуса – Чаплыгина и выполняем интегрирование с использованием теоремы о вычетах:

{ displaystyle { bar {F}} = { frac {i rho} {2}} left [2 pi i { frac {a_ {0} Gamma} { pi i}} right] = i rho a_ {0} Gamma = i rho Gamma (v_ {x infty} -iv_ {y infty}) = rho Gamma v_ {y infty} + i rho Gamma v_ { x infty} = F_ {x} -iF_ {y}.}

Итак, формула Кутта – Жуковски:

{ displaystyle F_ {x} = rho Gamma v_ {y infty} quad, qquad F_ {y} = - rho Gamma v_ {x infty}.}

Подъемные силы для более сложных ситуаций

Подъемная сила, предсказываемая теоремой Кутта-Жуковского в рамках теории невязкого потенциального потока, является довольно точной даже для реального вязкого потока, при условии, что поток является устойчивым и неразделенным.^[6]При выводе теоремы Кутты – Жуковского использовалось предположение о безвихревом течении. Когда есть свободные вихри вне тела, как это может иметь место при большом количестве нестационарных течений, течение является вращательным. Когда поток вращательный, для получения подъемных сил следует использовать более сложные теории. Ниже приведены несколько важных примеров.

Импульсно запущенный поток при малом угле атаки. Для импульсного потока, например, полученного путем резкого ускорения аэродинамического профиля или установки угла атаки, имеется вихревой слой, непрерывно сбрасываемый на задней кромке, а подъемная сила нестационарна или зависит от времени. При малом угле атаки начального потока вихревая пелена следует по плоской траектории, а кривая коэффициент подъема как функция времени дается функцией Вагнера.^[7] В этом случае начальная подъемная сила составляет половину конечной подъемной силы, определяемой формулой Кутты – Жуковски.^[8] Лифт достигает 90% от своего установившегося значения, когда крыло прошел расстояние около семи хордов.
Импульсивно запущенный поток при большом угле атаки. Когда угол атаки достаточно велик, вихревой лист задней кромки изначально имеет спиралевидную форму, а подъемная сила в начальный момент является сингулярной (бесконечно большой).^[9] Подъемная сила падает на очень короткий период времени, прежде чем будет достигнута обычно предполагаемая монотонно возрастающая кривая подъемной силы.
Стартовый поток при большом угле атаки для крыльев с острыми передними кромками. Если, как и у плоской пластины, передняя кромка также острая, то вихри также теряются на передней кромке, и роль вихрей передней кромки двукратная ： (1) подъемная сила увеличивается, когда они еще близки к передней кромке. кромка, так что они поднимают кривую подъемной силы Вагнера; (2) они вредят подъемной силе, когда они конвектируются к задней кромке, вызывая новую вихревую спираль задней кромки, движущуюся в направлении уменьшения подъемной силы. Для этого типа потока карта вихревой силовой линии (VFL) ^[10] может использоваться для понимания влияния различных вихрей в различных ситуациях (включая большее количество ситуаций, чем начальный поток) и может использоваться для улучшения управления вихрями для увеличения или уменьшения подъемной силы. Карта линий вихревой силы - это двухмерная карта, на которой отображаются линии вихревой силы. Для вихря в любой точке потока его подъемная сила пропорциональна его скорости, его циркуляции и косинусу угла между линией тока и линией силы вихря. Следовательно, карта линии силы вихря ясно показывает, является ли данный вихрь подъемной силой или подъемной силой вредной.
Теорема Лагалли. Когда источник (массы) закреплен вне тела, поправка силы из-за этого источника может быть выражена как произведение силы внешнего источника и индуцированной скорости в этом источнике по всем причинам, кроме этого источника. Это известно как теорема Лагалли.^[11] Для двумерного невязкого потока классическая теорема Кутта Жуковски предсказывает нулевое сопротивление. Однако, когда есть вихрь вне тела, возникает индуцированное вихрем сопротивление, аналогичное форме индуцированной подъемной силы.
Обобщенная теорема Лагалли. Для свободных вихрей и других тел вне одного тела без связанной завихренности и без образования вихрей справедлива обобщенная теорема Лагалли,^[12] при котором силы выражаются как произведение силы внутренних сингулярностей (вихрей изображения, источников и дублетов внутри каждого тела) и индуцированной скорости в этих сингулярностях по всем причинам, кроме тех, которые находятся внутри этого тела. Вклад каждой внутренней сингулярности суммируется, чтобы получить полную силу. Движение внешних сингулярностей также вносит вклад в силы, и составляющая силы, обусловленная этим вкладом, пропорциональна скорости сингулярности.
Индивидуальная сила каждого тела для многочастичного вращательного потока. Когда в дополнение к множеству свободных вихрей и множественных тел существуют связанные вихри и образование вихрей на поверхности тела, обобщенная теорема Лагалли все еще сохраняется, но сила, обусловленная образованием вихрей, существует. Эта производящая сила вихря пропорциональна скорости образования вихрей и расстоянию между парой вихрей в процессе производства. При таком подходе явная и алгебраическая формула силы, учитывающая все причины (внутренние особенности, внешние вихри и тела, движение всех сингулярностей и тел, а также образование вихрей) выполняется индивидуально для каждого тела. ^[13] с ролью других тел, представленных дополнительными особенностями. Следовательно, возможно силовое разложение по телам.
Общее трехмерное вязкое течение. Для общих трехмерных вязких и нестационарных течений формулы сил выражаются в интегральных формах. Объемное интегрирование определенных величин потока, таких как моменты завихренности, связано с силами. Теперь доступны различные формы интегрального подхода для неограниченной области.^[8]^[14]^[15] и для искусственно усеченного домена.^[16] Теорема Кутта-Жуковски может быть восстановлена из этих подходов при применении к двумерному профилю и когда поток является стационарным и неразделимым.
Теория подъемной линии для крыльев, вихрей на концах крыльев и индуцированного сопротивления. Крыло имеет конечный размах, и циркуляция в любой секции крыла изменяется в зависимости от направления размаха. Это изменение компенсируется высвобождением продольных вихрей, называемых вихри, в силу сохранения завихренности или теоремы Кельвина о сохранении циркуляции. Эти продольные вихри сливаются в две вращающиеся в противоположных направлениях сильные спирали, разделенные расстоянием, близким к размаху крыльев, и их ядра могут быть видны при высокой относительной влажности. Рассмотрение отстающих вихрей как серии полубесконечных прямых вихрей приводит к хорошо известной теории подъемных линий. Согласно этой теории, крыло имеет подъемную силу меньшую, чем предсказывается чисто двумерной теорией с использованием теоремы Кутты – Жуковского. Это происходит из-за влияния восходящего потока на угол атаки крыла от хвостовых вихрей. Это снижает эффективный угол атаки крыла, уменьшая подъемную силу, создаваемую при заданном угле атаки, и требует большего угла атаки для восстановления этой потерянной подъемной силы. С этим новым более высоким углом атаки сопротивление также увеличилось. Индуцированное сопротивление эффективно уменьшает наклон кривой подъемной силы двумерного аэродинамического профиля и увеличивает угол атаки ${ displaystyle C_ {L_ {max}}}$ (при этом также уменьшая значение ${ displaystyle C_ {L_ {max}}}$ ).

Смотрите также

Подковообразный вихрь