Идеально подобранный слой - Perfectly matched layer

А идеально подобранный слой (PML) - искусственный поглощающий слой для волновые уравнения, обычно используется для усечения вычислительных областей в численные методы для моделирования задач с открытыми границами, особенно в FDTD и FE методы.[1][2] Ключевым свойством PML, которое отличает его от обычного поглощающего материала, является то, что он спроектирован так, что волны, падающие на PML из среды, отличной от PML, не отражаются на границе раздела - это свойство позволяет PML сильно поглощать исходящие волны от внутреннюю часть вычислительной области, не отражая их обратно во внутреннюю часть.

PML был первоначально сформулирован Беренджером в 1994 году.[3] для использования с Уравнения Максвелла, и с того времени было несколько связанных переформулировок PML как для уравнений Максвелла, так и для других уравнений волнового типа, таких как эластодинамика,[4] линеаризованные уравнения Эйлера, уравнения Гельмгольца и пороупругость. Первоначальная формулировка Беренджера называется PML с разделенным полем, потому что он разбивает электромагнитные поля на два нефизических поля в области PML. Более поздняя формулировка, которая стала более популярной благодаря своей простоте и эффективности, называется одноосный ПМЛ или же UPML,[5] в котором PML описывается как искусственный анизотропный впитывающий материал. Хотя и формулировка Беренджера, и UPML были первоначально получены путем ручного построения условий, при которых инцидент плоские волны не отражаются от интерфейса PML от однородной среды, обе Позднее было показано, что формулировки эквивалентны гораздо более элегантному и общему подходу: PML с растянутыми координатами.[6][7] В частности, было показано, что PML соответствуют преобразование координат в котором одна (или несколько) координат отображается на сложные числа; технически это на самом деле аналитическое продолжение волнового уравнения в комплексные координаты, заменив распространяющиеся (колеблющиеся) волны на экспоненциально затухающий волны. Эта точка зрения позволяет выводить PML для неоднородных сред, таких как волноводы, а также для других системы координат и волновые уравнения.[8][9]

Техническое описание

В частности, для PML, предназначенного для поглощения волн, распространяющихся в Икс направление, в волновое уравнение входит следующее преобразование. Где бы ни Икс производная появляется в волновом уравнении, оно заменяется на:

куда это угловая частота и некоторые функция из Икс. Где бы положительный, распространяющиеся волны ослабляются, потому что:

где мы взяли плоскую волну, распространяющуюся в +Икс направление (для ) и применил преобразование (аналитическое продолжение) к комплексным координатам: , или эквивалентно . Такое же преобразование координат заставляет волны ослабляться всякий раз, когда их Икс зависимость имеет вид для некоторых постоянная распространения k: сюда входят плоские волны, распространяющиеся под некоторым углом Икс ось, а также поперечные моды волновода.

Вышеупомянутое преобразование координат можно оставить как есть в преобразованных волновых уравнениях или объединить с описанием материала (например, диэлектрическая проницаемость и проницаемость в уравнениях Максвелла) для формирования описания UPML. Коэффициент σ / ω зависит от частоты - это значит, что коэффициент затухания пропорционален k/ ω, которая не зависит от частоты в однородном материале (не включая материальная дисперсия, например за вакуум ) из-за соотношение дисперсии между ω и k. Однако эта частотная зависимость означает, что область времени реализация PML, например в FDTD метод, более сложен, чем для частотно-независимого поглотителя, и включает вспомогательное дифференциальное уравнение (ADE) подход (эквивалентно, я/ ω появляется как интеграл или же свертка во временной области).

Идеально согласованные слои в своей первоначальной форме только ослабляют распространяющиеся волны; чисто мимолетные волны (экспоненциально затухающие поля) осциллируют в PML, но не затухают быстрее. Однако затухание затухающих волн также можно ускорить, включив настоящий растяжение координат в PML: это соответствует превращению σ в приведенном выше выражении a комплексное число, где мнимая часть дает реальное растяжение координат, которое заставляет затухающие волны затухать быстрее.

Ограничения идеально подобранных слоев

PML широко используется и стал предпочтительным методом захвата границ во многих областях вычислительного электромагнетизма.[1] Хотя в большинстве случаев он работает хорошо, есть несколько важных случаев, когда он выходит из строя, страдая от неизбежных отражений или даже экспоненциального роста.

Одно предупреждение с идеально подобранными слоями заключается в том, что они являются неотражающими только для точный, уравнение непрерывной волны. Как только волновое уравнение дискретизированный при моделировании на компьютере появляются небольшие числовые отражения (которые исчезают с увеличением разрешения). По этой причине коэффициент поглощения PML σ обычно включается постепенно от нуля (например, квадратично ) на коротком расстоянии по шкале длина волны волны.[1] В общем, любой поглотитель, будь то PML или нет, является безотражающим в пределе, когда он включается достаточно постепенно (и поглощающий слой становится толще), но в дискретной системе преимущество PML заключается в уменьшении "перехода" конечной толщины. отражение на много порядков по сравнению с простым изотропным коэффициентом поглощения.[10]

В некоторых материалах существуют решения «обратной волны», в которых группа и фазовая скорость противоположны друг другу. Это происходит у «левшей» метаматериалы с отрицательным индексом для электромагнетизма, а также для акустических волн в определенных твердых материалах, и в этих случаях стандартная формулировка PML нестабильна: она приводит к экспоненциальному росту, а не убыванию просто потому, что знак k переворачивается в приведенном выше анализе.[11] К счастью, в левой среде (для которой все волны обращены вспять) есть простое решение: просто поменять знак σ. Однако сложность заключается в том, что физические материалы для левшей диспергирующий: они левосторонние только в определенном частотном диапазоне, поэтому коэффициент σ должен быть зависящим от частоты.[12][13] К сожалению, даже без экзотических материалов можно спроектировать определенные волноводные структуры (например, полую металлическую трубку с цилиндром с высоким показателем преломления в центре), которые демонстрируют обе решения с обратной и прямой волнами на одной и той же частоте, так что любой выбор знака для σ приведет к экспоненциальному росту, и в таких случаях PML оказывается непоправимо нестабильным.[14]

Другое важное ограничение PML состоит в том, что он требует, чтобы среда была инвариантной в направлении, ортогональном границе, чтобы поддерживать аналитическое продолжение решения до комплексных координат (сложное «растяжение координат»). Как следствие, подход PML больше не применим (больше не является безотражательным при бесконечном разрешении) в случае периодических сред (например, фотонные кристаллы или же фононные кристаллы )[10] или даже просто волновод, который входит в границу под косым углом.[15]

Смотрите также

  1. ^ а б c Аллен Тафлов и Сьюзен К. Хагнесс (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области, 3-е изд.. Издательство Artech House. ISBN  978-1-58053-832-9.
  2. ^ С. Джонсон, Примечания к идеально подобранным слоям, примечания к онлайн-курсу MIT (август 2007 г.).
  3. ^ Дж. Беренджер (1994). «Идеально подобранный слой для поглощения электромагнитных волн». Журнал вычислительной физики. 114 (2): 185–200. Bibcode:1994JCoPh.114..185B. Дои:10.1006 / jcph.1994.1159.
  4. ^ Фатхи, Араш; Поурсартип, Бабак; Калливокас, Лукас (2015). «Гибридные формулы во временной области для моделирования волн в трехмерных неоднородных средах, усеченных PML». Международный журнал численных методов в инженерии. 101 (3): 165–198. Bibcode:2015IJNME.101..165F. Дои:10.1002 / nme.4780.
  5. ^ S.D. Гедни (1996). «Анизотропный идеально подобранный слой поглощающей среды для усечения латексов FDTD». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 44 (12): 1630–1639. Bibcode:1996ITAP ... 44.1630G. Дои:10.1109/8.546249.
  6. ^ У. К. Чу и У. Х. Видон (1994). «Трехмерная среда, идеально подобранная из модифицированных уравнений Максвелла с растянутыми координатами». Микроволновая оптическая технология. Буквы. 7 (13): 599–604. Bibcode:1994MiOTL ... 7..599C. Дои:10.1002 / швабра 4650071304.
  7. ^ Ф. Л. Тейшейра В. К. Чу (1998). «Общие конститутивные тензоры PML в замкнутой форме для согласования с произвольными бианизотропными и дисперсными линейными средами». Буквы IEEE для СВЧ и волноводов. 8 (6): 223–225. Дои:10.1109/75.678571.
  8. ^ В. Кальвин (2012). «Принцип предельного поглощения и метод идеально согласованных слоев для лапласиана Дирихле в квазицилиндрических областях». SIAM J. Math. Анальный. 44: 355–382. arXiv:1110.4912. Дои:10.1137/110834287.
  9. ^ В. Кальвин (2013). «Анализ идеально согласованных операторов слоев для акустического рассеяния на многообразиях с квазицилиндрическими концами». J. Math. Pures Appl. 100 (2): 204–219. arXiv:1212.5707. Дои:10.1016 / j.matpur.2012.12.001.
  10. ^ а б А. Ф. Оскуи, Л. Чжан, Ю. Авниел и С. Г. Джонсон, Разрушение идеально подобранных слоев и их возмещение за счет адиабатических поглотителей, Оптика Экспресс 16, 11376–11392 (2008).
  11. ^ Э. Бекаш, С. Фокё и П. Жоли (2003). «Устойчивость идеально согласованных слоев, групповых скоростей и анизотропных волн». Журнал вычислительной физики. 188 (2): 399–433. Bibcode:2003JCoPh.188..399B. Дои:10.1016 / S0021-9991 (03) 00184-0. [1]
  12. ^ Каммер Стивен А. (2004). «Идеально согласованное поведение слоев в материалах с отрицательным показателем преломления». IEEE Ant. Wireless Prop. Lett. 3: 172–175. Дои:10.1109 / lawp.2004.833710.
  13. ^ Dong X. T., Rao X. S., Gan Y. B., Guo B., Yin W.-Y. (2004). «Идеально согласованное граничное условие поглощения слоя для левовращающих материалов». IEEE Microwave Wireless Components Lett. 14: 301–333. Дои:10.1109 / lmwc.2004.827104.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  14. ^ Лох П.-Р., Оскуи А. Ф., Ибанеску М., Скоробогатый М., Джонсон С. Г. (2009). «Фундаментальная связь между фазой и групповой скоростью и приложение к разрушению идеально согласованных слоев в структурах с обратной волной» (PDF). Phys. Ред. E. 79: 065601. Дои:10.1103 / Physreve.79.065601.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  15. ^ Оскуи А., Джонсон С. Г. (2011). «Отличие правильных предложений PML от неправильных и исправленных неразделенных PML для анизотропных дисперсионных сред» (PDF). Журнал вычислительной физики. 230: 2369–2377. Дои:10.1016 / j.jcp.2011.01.006.

[1]

внешняя ссылка

  1. ^ Navarro, E.A .; Litva, J .; Wu, C .; Чанг, П.Ю. (29 сентября 1994 г.). «Применение сверхабсорбирующего граничного условия PML к неортогональному методу FDTD». Письма об электронике. 30 (20): 1654–1656. Дои:10.1049 / el: 19941139.