Простая геодезическая - Prime geodesic
 | Эта статья не цитировать любой источники. (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, а первичная геодезическая на гиперболический поверхность это примитивный закрытая геодезическая, т.е. геодезическая, являющаяся замкнутая кривая который прорисовывает свой образ ровно один раз. Такие геодезические называются первичными геодезическими, потому что, среди прочего, они подчиняются асимптотический закон распределения аналогично теорема о простых числах.
Техническое образование
Кратко представим некоторые факты из гиперболическая геометрия которые помогают понять основные геодезические.
Гиперболические изометрии
Рассмотрим Модель полуплоскости Пуанкаре ЧАС двухмерного гиперболическая геометрия. Учитывая Фуксова группа, это дискретная подгруппа Γ из PSL (2, р), Γ действует на ЧАС через дробно-линейное преобразование. Каждый элемент PSL (2, р) фактически определяет изометрия из ЧАС, поэтому Γ - группа изометрий ЧАС.
Таким образом, существует 3 типа преобразования: гиперболическое, эллиптическое и параболическое. (Локсодромные преобразования отсутствуют, потому что мы работаем с действительные числа.) Тогда элемент γ из Γ имеет две различные вещественные неподвижные точки тогда и только тогда, когда γ гиперболический. Видеть Классификация изометрий и Неподвижные точки изометрий Больше подробностей.
Закрытые геодезические
Теперь рассмотрим факторная поверхность M= Γ ЧАС. Следующее описание относится к верхней полуплоскости. модель гиперболической плоскости. Это гиперболическая поверхность, фактически Риманова поверхность. Каждый гиперболический элемент час Γ определяет закрытая геодезическая из Γ ЧАС: сначала соединив геодезический полукруг, соединяющий неподвижные точки час, получаем геодезическую на ЧАС называется осью час, и проецируя эту геодезическую на M, мы получаем геодезическую на Γ ЧАС.
Эта геодезическая замкнута, потому что 2 точки, которые находятся на одной орбите под действием Γ, по определению проецируются в одну и ту же точку на факторе.
Можно показать, что это дает 1-1 корреспонденция между замкнутыми геодезическими на Γ ЧАС и гиперболический классы сопряженности в Γ. Первичные геодезические - это те геодезические, которые прослеживают свой образ ровно один раз - алгебраически они соответствуют примитивным гиперболическим классам сопряженности, то есть классам сопряженности {γ}, таким, что γ не может быть записан как нетривиальная степень другого элемента Γ.
Приложения простых геодезических
Важность первичных геодезических исходит из их отношения к другим разделам математики, особенно динамические системы, эргодическая теория, и теория чисел, а также Римановы поверхности самих себя. Эти приложения часто пересекаются между несколькими различными областями исследований.
Динамические системы и эргодическая теория
В динамических системах закрытые геодезические представляют периодический орбиты из геодезический поток.
Теория чисел
В теории чисел были доказаны различные «теоремы о простых геодезических», которые очень похожи по духу на теоремы теорема о простых числах. Для конкретности положим π (Икс) обозначают количество замкнутых геодезических, норма которых (функция, связанная с длиной) меньше или равна Икс; тогда π (Икс) ∼ Икс/ ln (Икс). Этот результат обычно приписывают Атле Сельберг. В своей докторской диссертации 1970 г. Тезис, Григорий Маргулис доказал аналогичный результат для поверхностей переменной отрицательной кривизны, а в своей докторской диссертации 1980 г. Тезис, Питер Сарнак оказался аналогом Теорема плотности Чеботарева.
Есть и другие сходства с теорией чисел: оценки ошибок улучшаются почти так же, как оценки ошибок теоремы о простых числах. Также есть Дзета-функция Сельберга который формально похож на обычный Дзета-функция Римана и разделяет многие из его свойств.
С алгебраической точки зрения первичные геодезические можно поднять на более высокие поверхности почти так же, как главные идеалы в кольцо целых чисел из числовое поле можно разделить (разложить) на Расширение Галуа. Видеть Покрывающая карта и Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа Больше подробностей.
Теория римановой поверхности
Замкнутые геодезические использовались для изучения римановых поверхностей; действительно, один из Риман оригинальные определения род поверхности была в терминах простых замкнутых кривых. Закрытые геодезические сыграли важную роль в изучении собственные значения из Лапласиан операторы, арифметические фуксовы группы, и Пространства Тейхмюллера.