Основным свойством такого каркаса является использование подходящее время ускоренного наблюдателя как время самого кадра. Это связано с гипотеза часов (который экспериментально подтверждено ), согласно которому собственное время ускоренных часов не зависит от ускорения, поэтому измеренное замедление времени часов зависит только от их мгновенной относительной скорости. Соответствующие надлежащие системы отсчета построены с использованием таких концепций, как сопутствующие ортонормированные тетрады, который можно сформулировать в терминах пространство-времяФормулы Френе – Серре или, альтернативно, используя Ферми – Уокер транспорт как эталон без вращения. Если координаты связаны с переносом Ферми – Уокера, член Координаты Ферми иногда используются или правильные координаты в общем случае, когда также задействованы вращения. Особый класс ускоренных наблюдателей следит за мировыми линиями, три искривления постоянны. Эти движения относятся к классу Родились жесткие движения, т.е. движения, при которых взаимное расстояние составляющих ускоряемого тела или конгруэнтности остается неизменным в его собственной системе отсчета. Два примера: Координаты Риндлера или координаты Коттлера-Мёллера для надлежащей системы отсчета гиперболическое движение, и Координаты Борна или Ланжевена в случае равномерное круговое движение.
В следующих, Греческий индексы превышают 0,1,2,3, латинский индексы более 1,2,3, а индексы в квадратных скобках относятся к тетрадным векторным полям. Подпись метрический тензор равно (-1,1,1,1).
Исторические формулы Герглотца, Коттлера и Мёллера в оригинальных обозначениях см. В разделе # Обзор исторических формул
Некоторые свойства координат Коттлера-Мёллера или Риндлера были предусмотрены Альберт Эйнштейн (1907)[H 1] когда он обсуждал равномерно ускоренную систему отсчета. Вводя понятие жесткости Борна, Макс Борн (1909)[H 2] признал, что формулы мировой линии гиперболического движения могут быть переинтерпретированы как преобразования в «гиперболически ускоренную систему отсчета». Родился сам, а также Арнольд Зоммерфельд (1910)[H 3] и Макс фон Лауэ (1911)[H 4] использовал эту систему для вычисления свойств заряженных частиц и их полей (см. Ускорение (специальная теория относительности) # История и Координаты Риндлера # История ). Кроме того, Густав Херглотц (1909)[H 5] дал классификацию всех жестких движений Борна, включая равномерное вращение и мировые линии постоянной кривизны. Фридрих Коттлер (1912, 1914)[H 6] ввел «обобщенное преобразование Лоренца» для собственных систем отсчета или собственных координат (Немецкий: Eigensystem, Eigenkoordinaten), используя сопутствующие тетрады Френе-Серре, и применил этот формализм к мировым линиям Герглотца постоянной кривизны, особенно к гиперболическому движению и равномерному круговому движению. Формулы Герглотца также были упрощены и расширены Жорж Лемэтр (1924).[H 7] Мировые линии постоянной кривизны были заново открыты несколькими авторами, например, Владимиром Петровым (1964),[4] как «времяподобные спирали» Джон Лайтон Синг (1967)[5] или как «стационарные мировые линии» Летоу (1981).[6] Позднее концепция надлежащей системы отсчета была повторно введена и развита в учебниках в связи с переносом Ферми – Уокера. Кристиан Мёллер (1952)[7] или Synge (1960).[8] Обзор преобразований собственного времени и альтернатив был дан Роменом (1963),[9] который процитировал вклад Коттлера. Особенно, Мизнер и Торн и Уиллер (1973)[10] комбинированный перенос Ферми – Уокера с вращением, оказавший влияние на многих последующих авторов. Бахрам Машхун (1990, 2003)[11] проанализировали гипотезу локальности и ускоренного движения. Связь между пространственно-временными формулами Френе – Серре и переносом Ферми – Уокера обсуждалась Айером и К. В. Вишвешвара (1993),[12] Джонс (2005)[13] или Bini et al. (2008)[14] и другие. Подробное представление «специальной теории относительности в общих рамках» было дано Гургулоном (2013).[15]
Для исследования ускоренных движений и искривленных мировых линий некоторые результаты дифференциальная геометрия может быть использован. Например, Формулы Френе – Серре для кривых в Евклидово пространство уже были расширены до произвольных измерений в 19 веке и могут быть адаптированы к пространству-времени Минковского. Они описывают транспортировку ортонормированный базис привязан к изогнутой мировой линии, поэтому в четырех измерениях эту основу можно назвать сопутствующая тетрада или vierbein (также называемый vielbein, подвижная рама, поле кадра, local frame, repère mobile в произвольных размерах):[16][17][18][19]
Хотя тетрада Френе-Серре может вращаться или нет, полезно ввести другой формализм, в котором невращающиеся и вращающиеся части разделены. Это можно сделать, используя следующее уравнение для правильной транспортировки[20] или обобщенный транспорт Ферми[21] тетрады , а именно[10][12][22][21][20][23]
(2)
куда
или вместе в упрощенном виде:
с в качестве четырехскоростной и в качестве четырехскоростной, и ""указывает на скалярное произведение и ""the клин. Первая часть представляет транспорт Ферми – Уокера,[13] что физически реализуется, когда три пространственноподобных тетрадных поля не меняют своей ориентации относительно движения системы трех гироскопы. Таким образом, перенос Ферми – Уокера можно рассматривать как стандарт невозвращения. Вторая часть состоит из антисимметричный тензор второго ранга с как угловая скорость четырехвекторный и как Символ Леви-Чивита. Оказывается, эта матрица вращения влияет только на три пространственно-подобных тетрадных поля, поэтому ее можно интерпретировать как пространственный вращение пространственноподобных полей вращающейся тетрады (такой как тетрада Френе – Серре) относительно невращающихся пространственноподобных полей тетрады Ферми – Уокера вдоль той же мировой линии.
Получение тетрад Ферми – Уокера из тетрад Френе – Серре
С и на одной мировой линии связаны матрицей вращения, можно построить невращающиеся тетрады Ферми – Уокера, используя вращающиеся тетрады Френе – Серре,[24][25] который работает не только в плоском пространстве-времени, но и в произвольном пространстве-времени, хотя практическая реализация может быть труднодостижимой.[26] Например, вектор угловой скорости между соответствующими пространственноподобными тетрадными полями и можно выразить в терминах кручения и :[12][13][27][28]
и
(3а)
Предполагая, что кривизна постоянна (что имеет место в спиральный движение в плоском пространстве-времени или в случае стационарного осесимметричный пространство-время), затем следует выстраивать пространственноподобные векторы Френе – Серре в плоскость постоянным вращением против часовой стрелки, тогда полученная промежуточная пространственная система отсчета постоянно вращается вокруг ось на угол , что в итоге дает пространственную систему отсчета Ферми – Уокера (обратите внимание, что времяподобное поле остается прежним):[25]
(3b)
Для особого случая и , следует и и , следовательно (3b) сводится к однократному постоянному вращению вокруг -ось:[29][30][31][24]
(3c)
Правильные координаты или координаты Ферми
В плоском пространстве-времени ускоренный объект в любой момент находится в состоянии покоя в мгновенной инерциальной системе отсчета. , и последовательность таких мгновенных кадров, которые он проходит, соответствует последовательному применению Преобразования Лоренца, куда является внешней инерциальной системой отсчета и матрица преобразования Лоренца. Эта матрица может быть заменена тетрадами, зависящими от собственного времени определено выше, и если - временной трек частицы, указывающий ее положение, преобразование гласит:[32]
(4а)
Тогда нужно положить по которому заменяется на и времяподобное поле обращается в нуль, поэтому только пространственноподобные поля присутствуют больше. Впоследствии время в ускоренном кадре идентифицируется с собственным временем ускоренного наблюдателя посредством . Окончательное преобразование имеет вид[33][34][35][36]
,
(4b)
Иногда их называют собственными координатами, и соответствующая система координат является надлежащей системой отсчета.[20] Их также называют координатами Ферми в случае переноса Ферми – Уокера.[37] (хотя некоторые авторы используют этот термин и во вращательном случае[38]). Соответствующая метрика имеет вид в пространстве-времени Минковского (без римановых членов):[39][40][41][42][43][44][45][46]
(4c)
Однако эти координаты не действительны во всем мире, они ограничены[43]
(4d)
Правильные системы отсчета для времениподобных спиралей
В случае, если все три кривизны Френе – Серре постоянны, соответствующие мировые линии идентичны тем, которые следуют из Убийственные движения в плоском пространстве-времени. Они представляют особый интерес, поскольку соответствующие собственные шкалы и сравнения удовлетворяют условию Родилась жесткость, то есть расстояние между двумя соседними мировыми линиями в пространстве-времени постоянно.[47][48] Эти движения соответствуют «времениподобным спиралям» или «стационарным мировым линиям» и могут быть разделены на шесть основных типов: два с нулевым кручением (равномерный перенос, гиперболическое движение) и четыре с ненулевым кручением (равномерное вращение, цепная связь, полукубическая парабола, общий случай):[49][50][4][5][6][51][52][53][54]
Дело производит равномерный перевод без ускорения. Соответствующая надлежащая система отсчета, следовательно, задается обычными преобразованиями Лоренца. Остальные пять типов:
Соответствующая ортонормированная тетрада идентична инвертированной матрице преобразования Лоренца с гиперболические функции как фактор Лоренца и в качестве собственная скорость и в качестве быстрота (поскольку кручения и равны нулю, формулы Френе – Серре и Ферми – Уокера дают одну и ту же тетраду):[56][61][62][63][64][65][66]
(5b)
Вставил в преобразования (4b) и используя мировую линию (5а) за , ускоренный наблюдатель всегда находится в начале координат, поэтому координаты Коттлера-Мёллера следуют[67][68][62][69][70]
которые действительны в , с метрикой
.
В качестве альтернативы, установив ускоренный наблюдатель расположен в вовремя , Таким образом Координаты Риндлера следовать из (4b) и (5а, 5b):[71][72][73]
с как радиус орбиты, как координатная угловая скорость, как собственная угловая скорость, в качестве тангенциальная скорость, как собственная скорость, как фактор Лоренца, и как угол поворота. Тетраду можно получить из уравнений Френе – Серре (1),[74][76][77][80] или, проще говоря, получить преобразованием Лоренца тетрады из обычные вращающиеся координаты:[81][82]
(6c)
Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера на одной и той же мировой линии можно получить, решив часть Ферми – Уокера уравнения (2).[83][84] В качестве альтернативы можно использовать (6b) вместе с (3а), который дает
Результирующий угол поворота вместе с (6c) теперь можно вставить в (3c), по которой следует тетрада Ферми – Уокера[31][24]
Далее для формулировки преобразования используется тетрада Френе – Серре. Вставка (6c) в преобразования (4b) и используя мировую линию (6а) за дает координаты[74][76][85][86][87][38]
(6d)
которые действительны в , с метрикой
Если наблюдатель, находящийся в центре вращающейся рамки, выбран с помощью , уравнения сводятся к обычному вращательному преобразованию[88][89][90]
Кривизны , создают цепную связь, то есть гиперболическое движение в сочетании с пространственно-подобным переносом[96][97][98][99][100][101][102]
(7а)
куда
(7b)
куда - скорость, собственная скорость, как быстрота, - фактор Лоренца. Соответствующая тетрада Френе – Серре:[97][99]
Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера на одной и той же мировой линии можно получить, решив часть Ферми – Уокера уравнения (2).[102] Тот же результат следует из (3а), который дает
который вместе с (7а) теперь можно вставить в (3c), что приводит к тетраде Ферми – Уокера
Правильные координаты или координаты Ферми следуют путем вставки или же в (4b).
Соответствующая тетрада Френе – Серре с является:[104][106]
Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера на одной и той же мировой линии можно получить, решив часть Ферми – Уокера уравнения (2).[109] Тот же результат следует из (3а), который дает
который вместе с (8) теперь можно вставить в (3c), что приводит к тетраде Ферми – Уокера (отметим, что в этом случае):
Правильные координаты или координаты Ферми следуют путем вставки или же в (4b).
Общий случай
Кривизны , , производят гиперболическое движение в сочетании с равномерным круговым движением. Мировая линия задается[110][111][112][113][114][115][116]
(9а)
куда
(9b)
с как тангенциальная скорость, как собственная тангенциальная скорость, как быстрота, как радиус орбиты, как координатная угловая скорость, как собственная угловая скорость, как угол поворота, - фактор Лоренца. Тетрада Френе – Серре - это[111][113]
Соответствующая невращающаяся тетрада Ферми – Уокера на той же мировой линии выглядит следующим образом: Первая вставка (9b) в (3а) дает угловую скорость, которая вместе с (9а) теперь можно вставить в (3b, слева) и, наконец, вставлен в (3b, справа) дает тетраду Ферми – Уокера. Правильные координаты или координаты Ферми следуют путем вставки или же в (4b) (полученные выражения здесь не указываются из-за их длины).
Обзор исторических формул
Помимо вещей, описанных в предыдущем # История В разделе более подробно описаны вклады Херглотца, Коттлера и Мёллера, поскольку эти авторы дали обширную классификацию ускоренного движения в плоском пространстве-времени.
удовлетворяет условию Родилась жесткость когда . Он указал, что движение твердого тела Борна в общем случае определяется движением одной из его точек (класс A), за исключением тех мировых линий, три кривизны которых постоянны, что представляет собой спираль (класс B). Для последнего Герглотц дал следующее преобразование координат, соответствующее траекториям семейства движений:
(H1) ,
куда и функции собственного времени . Дифференцированием по , и предполагая как постоянный, он получил
(H2)
Здесь, представляет собой четырехскоростную исходную из , и является шестивектором (т. е. антисимметричный четырехтензор второго порядка, или же бивектор с шестью независимыми компонентами), представляющими угловую скорость вокруг . Как и любой шестивектор, он имеет два инварианта:
Когда постоянно и переменна, любое семейство движений, описываемое (H1), образует группу и эквивалентно семейство эквидистантных кривых, тем самым удовлетворяя борновской жесткости, поскольку они жестко связаны с . Чтобы получить такую группу движений, (H2) можно проинтегрировать с произвольными постоянными значениями и . Для вращательных движений это приводит к четырем группам в зависимости от того, соответствуют ли инварианты или же равны нулю или нет. Эти группы соответствуют четырем однопараметрическим группам преобразований Лоренца, которые уже были выведены Герглотцем в предыдущем разделе в предположении, что преобразования Лоренца (являющиеся вращениями в ) соответствуют гиперболические движения в . Последние изучались в XIX веке и были отнесены к категории Феликс Кляйн на локсодромные, эллиптические, гиперболические и параболические движения (см. также Группа Мебиуса ).
Коттлер
Фридрих Коттлер (1912)[H 6] последовал за Герглотцем и вывел те же мировые линии постоянной кривизны, используя следующие формулы Френе-Серре в четырех измерениях, с как сопутствующая тетрада мировой линии, и как три кривизны
соответствующий (1). Коттлер указал, что тетраду можно рассматривать как систему отсчета для таких мировых линий. Затем он дал преобразование для траекторий
(с )
в соответствии с (4а). Коттлер также определил тетраду, базисные векторы которой фиксированы в нормальном пространстве и, следовательно, не имеют общего вращения. Этот случай был далее дифференцирован на два случая: если касательное (то есть времениподобное) тетрадное поле постоянно, то пространственноподобные тетрадные поля можно заменить на которые «жестко» связаны с касательной, поэтому
Во втором случае вектор "фиксируется" в нормальном пространстве путем задания . Коттлер указал, что это соответствует классу B, данному Герглотцем (который Коттлер называет «телом Борна второго рода»).
,
и класс (A) Герглотца (который Коттлер называет «телом Борна первого рода») определяется выражением
В (1914a),[H 6] Коттлер показал, что трансформация
,
описывает неодновременные координаты точек тела, а преобразование с
,
описывает одновременные координаты точек тела. Эти формулы становятся «обобщенными преобразованиями Лоренца» путем вставки
таким образом
в соответствии с (4b). Он ввел термины «правильные координаты» и «правильный кадр» (Немецкий: Eigenkoordinaten, Eigensystem) для системы, ось времени которой совпадает с соответствующей касательной к мировой линии. Он также показал, что твердое тело Борна второго рода, мировые линии которого определяются
,
особенно подходит для определения правильного кадра. Используя эту формулу, он определил надлежащие рамки для гиперболического движения (свободного падения) и для равномерного кругового движения:
Гиперболическое движение
Равномерное круговое движение
1914b
1914a
1921
В (1916a) Коттлер дал общую метрику для относительных ускорений движений, основанную на трех кривизнах
в соответствии с транспортом Ферми – Уокера по (2, без вращения). Преобразование Лоренца в мгновенную инерциальную систему отсчета было дано им как
в соответствии с (4а). Установив , и , он получил преобразование в «релятивистский аналог жесткой системы отсчета»
в соответствии с координатами Ферми (4b), а метрика
в соответствии с метрикой Ферми (4c) без вращения. Он получил тетрады Ферми – Уокера и системы Ферми гиперболического движения и равномерного кругового движения (некоторые формулы для гиперболического движения были выведены им еще в 1943 году):
Гиперболическое движение
Равномерное круговое движение
1943
1952
1952
Мировые линии постоянной кривизны Херглотца и Коттлера
Общий случай
Равномерное вращение
Контактная сеть
Полукубическая парабола
Гиперболическое движение
Герглотц (1909)
локсодромный
эллиптический
гиперболический
параболический
гиперболический
Преобразования Лоренца
Траектории (время)
Коттлер (1912, 1914)
гиперсферическая кривая
равномерное вращение
цепная связь
кубическая кривая
гиперболическое движение
Искривления
Траектория
Траектория (время)
Рекомендации
^Misner & Thorne & Wheeler (1973), стр. 163: «Ускоренное движение и ускоренные наблюдатели могут быть проанализированы с помощью специальной теории относительности».
^Кокс (2006), с. 234. «Иногда говорят, что для правильного описания физики в ускоренной системе отсчета специальной теории относительности недостаточно, и для этой работы необходим полный механизм общей теории относительности. Это совершенно неверно. Специальной теории относительности вполне достаточно, чтобы вывести физику ускоренный кадр ".
^В некоторых учебниках те же формулы и результаты для плоского пространства-времени обсуждаются в рамках ОТО с использованием исторического определения, что СТО ограничивается инерциальные системы отсчета, а ускоренные кадры принадлежат рамкам ОТО. Однако, поскольку результаты совпадают с точки зрения плоского пространства-времени, это не влияет на содержание этой статьи. Например, Мёллер (1952) обсуждает последовательные преобразования Лоренца, последовательные инерциальные системы отсчета и тетрадный перенос (теперь называемый переносом Ферми – Уокера) в §§ 46, 47, относящихся к специальной теории относительности, в то время как жесткие системы отсчета обсуждаются в §§ 90, 96 связаны с общей теорией относительности.
фон Лауэ, М. (1921). Die Relativitätstheorie, группа 1 (четвертое издание "Das Relativitätsprinzip" изд.). Vieweg.; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
Паули, В. (1921). "Die Relativitätstheorie". Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 5. С. 539–776. Новое издание 2013 г .: Редактор: Доменико Джулини, Springer, 2013 г. ISBN 3642583555.
Synge, JL (1960). Относительность: общая теория. Северная Голландия.
Миснер, К. В., Торн, К. С., и Уиллер, Дж. А (1973). Гравитация. Фримен. ISBN978-0716703440.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Риндлер, В. (1977). Основная теория относительности. Springer. ISBN978-3540079705.
Джонс, О. (2005). Аналитическая механика для теории относительности и квантовой механики. Тексты для выпускников Оксфорда. ОУП Оксфорд. ISBN978-0198567264.
Кокс, Д. (2006). Исследования по математической физике. Springer. ISBN978-0387309439.
Т. Падманабхан (2010). Гравитация: основы и границы. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-1139485395.
Копейкин С., Ефроимский М., Каплан Г. (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы. Джон Вили и сыновья. ISBN978-3527408566.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Гургулхон, Э. (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц до астрофизики. Springer. ISBN978-3642372766.
Бини Д. и Янцен Р. Т. (2003). «Круговая голономия, эффекты часов и гравитоэлектромагнетизм: все еще ходят по кругу после всех этих лет». В Р. Руффини и К. Сигизмонди (ред.). Труды девятого сетевого семинара ICRA по Ферми и астрофизике. Nuovo Cimento B. 117. С. 983–1008. arXiv:gr-qc / 0202085. Bibcode:2002NCimB.117..983B.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Бини, Д., Керубини, К., Гералико, А., и Янцен, Р. Т. (2008). «Физические кадры вдоль круговых орбит в стационарных осесимметричных пространствах-временах». Общая теория относительности и гравитации. 40 (5): 985–1012. arXiv:1408.4598. Bibcode:2008GReGr..40..985B. Дои:10.1007 / s10714-007-0587-z. S2CID118540815.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Хел, Ф. В., Лемке, Дж., И Мильке, Э. У. (1991). «Две лекции о фермионах и гравитации. Инерционные свойства массивного фермиона». Геометрия и теоретическая физика. Springer. С. 56–140. Дои:10.1007/978-3-642-76353-3_3. ISBN978-3-642-76355-7.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Kajari, E., Buser, M., Feiler, C., & Schleich, W. P. (2009). «Вращение в теории относительности и распространение света». Труды Международной школы физики им. Энрико Ферми.. Курс CLXVIII (атомная оптика и космическая физика): 45–148. arXiv:0905.0765. Дои:10.3254/978-1-58603-990-5-45. S2CID119187725.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Letaw, J. R., & Pfautsch, J. D. (1982). «Стационарные системы координат в плоском пространстве-времени». Журнал математической физики. 23 (3): 425–431. Bibcode:1982JMP .... 23..425л. Дои:10.1063/1.525364.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Мёллер, К. (1943). «Об однородных гравитационных полях в общей теории относительности и парадоксе часов». Дэн. Мат. Fys. Medd. 8: 3–25.
Ни, В. Т., и Циммерманн, М. (1978). «Инерционные и гравитационные эффекты в надлежащей системе отсчета ускоренного вращающегося наблюдателя». Физический обзор D. 17 (6): 1473–1476. Bibcode:1978ПхРвД..17.1473Н. Дои:10.1103 / PhysRevD.17.1473.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
Synge, J. L. (1966). «Времениподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской ирландской академии, Секция А. 65: 27–42. JSTOR20488646.
^Лемэтр, Г. (1924), "Движение твердого тела в соответствии с принципом относительности", Философский журнал, Серия 6, 48 (283): 164–176, Дои:10.1080/14786442408634478