Семь состояний случайности - Seven states of randomness

Стохастический процесс со случайными приращениями от симметричного стабильное распространение с участиемα = 1,7. Обратите внимание на прерывистые изменения.

Стохастический процесс со случайными приращениями от стандарта нормальное распределение.

В семь состояний случайности в теория вероятности, фракталы и анализ риска являются расширением концепции случайность по образцу нормальное распределение. Эти семь состояний были впервые представлены Бенуа Мандельброт в его книге 1997 года Фракталы и масштабирование в финансах, который применил фрактальный анализ к изучению риска и случайности.^[1] Эта классификация основана на трех основных состояниях случайности: умеренном, медленном и диком.

Важность семь состояний случайности классификация для математические финансы это такие методы, как Портфель средней дисперсии Марковица и Модель Блэка – Шоулза могут быть признаны недействительными, поскольку хвосты распределения доходов откормленный: первый полагается на конечное стандартное отклонение (непостоянство ) и стабильность корреляция, а последний построен на Броуновское движение.

История

Эти семь состояний основаны на более ранней работе Мандельброта 1963 года: «Вариации некоторых спекулятивных цен»^[2] и «Новые методы в статистической экономике»^[3] в котором он утверждал, что большинство статистические модели подошел только к первому этапу работы с индетерминизм в науке, и что они игнорировали многие аспекты реального мира турбулентность, в частности, большинство случаев финансовое моделирование.^[4]^[5] Затем он был представлен Мандельбротом на Международном логическом конгрессе (1964 г.) в своем выступлении под названием «Эпистемология случайности в некоторых новейших науках».^[6]

Интуитивно говоря, Мандельброт утверждал, что^[6] что традиционное нормальное распределение не отражает должным образом эмпирическое и «реальное» распределение, и существуют другие формы случайности, которые можно использовать для моделирования экстремальных изменений риска и случайности. Он заметил, что случайность может стать довольно «дикой», если требования относительно конечного значить и отклонение заброшены. Дикая случайность соответствует ситуациям, в которых отдельное наблюдение или конкретный результат могут очень непропорционально повлиять на общую сумму.

Случайные ничьи из экспоненциальное распределение со средним значением = 1. (Пограничная небольшая случайность)

Случайные ничьи из логнормальное распределение со средним значением = 1. (Медленная случайность с конечными и локализованными моментами)

Случайные ничьи из Распределение Парето со средним значением = 1 и α = 1,5 (дикая случайность)

Классификация была официально представлена в его книге 1997 года. Фракталы и масштабирование в финансах,^[1] как способ понять три основных состояния случайности: умеренное, медленное и дикое. Данный N добавляет, порционирование касается относительного вклада слагаемых в их сумму. От четное порционируя, Мандельброт имел в виду, что слагаемые были того же порядок величины, в противном случае он считал порцию концентрированный. Учитывая момент порядка q из случайная переменная, Мандельброт назвал корень степени q в такой момент масштаб (порядка q).

Семь состояний:

Правильная умеренная хаотичность: кратковременное порционирование подходит даже для N = 2, например то нормальное распределение
Пограничная умеренная случайность: краткосрочное порционирование сосредоточено на N = 2, но в конечном итоге становится даже как N растет, например то экспоненциальное распределение со скоростью λ = 1 (и так с ожидаемым значением 1 /λ = 1)
Медленная случайность с конечными делокализованными моментами: масштабный коэффициент увеличивается быстрее, чем q но не быстрее чем ${ displaystyle { sqrt [{w}] {q}}}$ , ш < 1
Медленная случайность с конечными и локализованными моментами: масштабный коэффициент увеличивается быстрее, чем любая степень q, но остается конечным, например то логнормальный распределение и, что важно, ограниченное равномерное распределение (которое по построению с конечным масштабом для всех q не может быть пред-дикой случайностью).
Предварительно дикая случайность: масштабный коэффициент становится бесконечным для q > 2, например то Распределение Парето с участием α = 2.5
Дикая случайность: бесконечный второй момент, но конечный момент некоторого положительного порядка, например то Распределение Парето с участием ${ displaystyle alpha leq 2}$
Крайняя случайность: все моменты бесконечны, например то Распределение Лог-Коши

У дикой случайности есть приложения за пределами финансовых рынков, например он использовался при анализе турбулентных ситуаций, таких как дикие лесные пожары.^[7]

Используя элементы этого различия, в марте 2006 г., за год до Финансовый кризис 2007–2010 гг., и за четыре года до Флэш-сбой мая 2010 г., в течение которого Промышленный индекс Доу-Джонса имел 1000 баллов внутридневной качаться за считанные минуты,^[8] Мандельброт и Нассим Талеб опубликовал статью в Financial Times аргументируя это тем, что традиционные «кривые колокола», которые использовались более века, неадекватны для измерения риска на финансовых рынках, учитывая, что такие кривые не учитывают возможность резких скачков или разрывов. Противопоставляя этот подход традиционным подходам, основанным на случайные прогулки, они заявили:^[9]

Мы живем в мире, управляемом в основном случайными прыжками, и инструменты, разработанные для случайных блужданий, решают неверную проблему.

Мандельброт и Талеб указали, что, хотя можно предположить, что шансы найти человека ростом в несколько миль чрезвычайно малы, аналогичные чрезмерные наблюдения нельзя исключать в других областях применения. Они утверждали, что, хотя традиционные колоколообразные кривые могут дать удовлетворительное представление о росте и весе населения, они не обеспечивают подходящего механизма моделирования рыночных рисков или доходности, где всего десять торговых дней представляют 63% прибыли за последние 50. годы.

Определения

Двойная свертка

Если плотность вероятности ${ Displaystyle U = U '+ U' '}$ обозначается ${ displaystyle p_ {2} (u)}$ , то его можно получить двойной сверткой ${ displaystyle p_ {2} (x) = int p (u) p (x-u) du}$ .

Краткосрочный коэффициент порционирования

Когда u известно, условная плотность вероятности u 'определяется соотношением порционирования:

{ Displaystyle { гидроразрыва {p (u ') p (u-u')} {p_ {2} (u)}}}

Концентрация в режиме

Во многих важных случаях максимум ${ Displaystyle п (и ') п (и-и')}$ происходит рядом ${ displaystyle u '= u / 2}$ , или рядом ${ displaystyle u '= 0}$ и ${ displaystyle u '= u}$ . Возьмите логарифм ${ Displaystyle п (и ') п (и-и')}$ и писать:

${ displaystyle Delta (u) = 2 log p (u / 2) - [ log p (0) + log p (u)]}$

Если ${ Displaystyle журнал р (и)}$ является шапочно-выпуклый коэффициент порционирования максимален для ${ displaystyle u '= u / 2}$
Если ${ Displaystyle журнал р (и)}$ прямая, соотношение порционирования постоянное
Если ${ Displaystyle журнал р (и)}$ является чашевидный, соотношение порционирования минимально для ${ displaystyle u '= u / 2}$

Концентрация вероятности

Разделение двойной свертки на 3 части дает:

{ displaystyle p_ {2} (x) = int _ {0} ^ {x} p (u) p (xu) du = left { int _ {0} ^ { tilde {x}} + int _ { tilde {x}} ^ {x - { tilde {x}}} + int _ {x - { tilde {x}}} ^ {x} right } p (u) p (xu) du = I_ {L} + I_ {0} + I_ {R}}

p (u) краткосрочно сконцентрировано в вероятности, если возможно выбрать ${ Displaystyle { тильда {и}} (и)}$ так что средний интервал ( ${ displaystyle { tilde {u}}, u - { tilde {u}}}$ ) обладает следующими двумя свойствами при u → ∞:

я₀/п₂(u) → 0
${ Displaystyle (и-2 { тильда {и}}) и}$ не → 0

Локализованные и делокализованные моменты

Рассмотрим формулу ${ displaystyle operatorname {E} [U ^ {q}] = int _ {0} ^ { infty} u ^ {q} p (u) du}$ , если p (u) - масштабируемое распределение подынтегральное выражение является максимальным при 0 и ∞, в других случаях подынтегральное выражение может иметь резкий глобальный максимум для некоторого значения ${ displaystyle { tilde {u}} _ {q}}$ определяется следующим уравнением:

{ displaystyle 0 = { frac {d} {du}} (q log u + log p (u)) = { frac {q} {u}} - | { frac {d log p (u )} {du}} |}

Также нужно знать ${ Displaystyle и ^ {д} п (и)}$ в районе ${ displaystyle { tilde {u}} _ {q}}$ . Функция ${ Displaystyle и ^ {д} п (и)}$ часто допускает "гауссовское" приближение, определяемое следующим образом:

{ displaystyle log [u ^ {q} p (u)] = log p (u) + qu = constant- (u - { тильда {u}} _ {q}) ^ {2} { тильда { sigma}} _ {q} ^ {- 2/2}}

Когда ${ Displaystyle и ^ {д} п (и)}$ хорошо аппроксимируется гауссовой плотностью, большая часть ${ displaystyle operatorname {E} [U ^ {q}]}$ берет начало в "q-интервале", определяемом как ${ displaystyle [{ tilde {u}} _ {q} - { tilde { sigma}} _ {q}, { tilde {u}} _ {q} + { tilde { sigma}} _ {q}]}$ . Гауссовские q-интервалы сильно перекрываются для всех значений ${ displaystyle sigma}$ . Гауссовы моменты называются делокализованный. Q-интервалы логнормального значения равномерно распределены, и их ширина не зависит от q; поэтому, если логнормальный достаточно перекос, q-интервал и (q + 1) -интервал не перекрываются. Логнормальные моменты называются равномерно локализованный. В других случаях соседние q-интервалы перестают перекрываться при достаточно больших q, такие моменты называются асимптотически локализованный.

Смотрите также

История случайности
Случайная последовательность
Распределение жирных хвостов
Распределение с тяжелым хвостом
Вейвлет Добеши для системы на основе бесконечных моментов (хаотические волны)

использованная литература

^ ^а ^б Бенуа Мандельброт (1997) Фракталы и масштабирование в финансах ISBN 0-387-98363-5 страницы 136–142 https://books.google.com/books/about/Fractals_and_Scaling_in_Finance.html?id=6KGSYANlwHAC&redir_esc=y
^ Б. Мандельброт, Изменение некоторых спекулятивных цен, Журнал Бизнес, 1963 г. [1]
^ Б. Мандельброт, Новые методы в статистической экономике, Журнал политической экономии, 1963 г. https://www.jstor.org/stable/1829014
^ Бенуа Мандельброт, Ф.Дж. Дамерау, М. Фрейм и К. МакКэми (2001) Гауссовское самоаффинность и фракталы ISBN 0-387-98993-5 стр.20
^ Филип Мировски (2004) Экономия науки без усилий? ISBN 0-8223-3322-8 стр. 255
^ ^а ^б Б. Мандельброт, К второй стадии индетерминизма в науке, Междисциплинарные научные обзоры, 1987 г. [2]
^ Экономика нарушений лесов: лесные пожары, штормы и инвазивные виды Томас П. Холмс, Джеффри П. Престемон и Карен Л. Абт. 2008. Springer: Дордрехт, Нидерланды. 422 с. ISBN 978-1-4020-4369-7
^ Wall Street Journal 11 мая 2010 г.
^ Бенуа Мандельброт и Нассим Талеб (23 марта 2006 г.) "Акцент на исключениях, подтверждающих правило ", Financial Times.

[Mandelbrot1977-1] а ^б Бенуа Мандельброт (1997) Фракталы и масштабирование в финансах ISBN 0-387-98363-5 страницы 136–142 https://books.google.com/books/about/Fractals_and_Scaling_in_Finance.html?id=6KGSYANlwHAC&redir_esc=y

[2] Б. Мандельброт, Изменение некоторых спекулятивных цен, Журнал Бизнес, 1963 г. [1]

[3] Б. Мандельброт, Новые методы в статистической экономике, Журнал политической экономии, 1963 г. https://www.jstor.org/stable/1829014

[4] Бенуа Мандельброт, Ф.Дж. Дамерау, М. Фрейм и К. МакКэми (2001) Гауссовское самоаффинность и фракталы ISBN 0-387-98993-5 стр.20

[5] Филип Мировски (2004) Экономия науки без усилий? ISBN 0-8223-3322-8 стр. 255

[users.math.yale.edu-6] а ^б Б. Мандельброт, К второй стадии индетерминизма в науке, Междисциплинарные научные обзоры, 1987 г. [2]

[7] Экономика нарушений лесов: лесные пожары, штормы и инвазивные виды Томас П. Холмс, Джеффри П. Престемон и Карен Л. Абт. 2008. Springer: Дордрехт, Нидерланды. 422 с. ISBN 978-1-4020-4369-7

[8] Wall Street Journal 11 мая 2010 г.

[9] Бенуа Мандельброт и Нассим Талеб (23 марта 2006 г.) "Акцент на исключениях, подтверждающих правило ", Financial Times.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]