История случайности - History of randomness

Древний фреска игроков в кости в Помпеи

В древности история, концепции случая и случайность были переплетены с судьбой. Многие древние народы бросали кости, чтобы определить судьбу, что позже превратилось в азартные игры. В то же время в большинстве древних культур использовались различные методы гадание чтобы попытаться обойти случайность и судьбу.[1][2]

Китайцы, возможно, были первыми людьми, формализовавшими случайности и вероятности 3000 лет назад. В Греческие философы подробно обсуждали случайность, но только в неколичественной форме. Только в шестнадцатом веке итальянские математики начали формализовать шансы, связанные с различными азартными играми. Изобретение современного исчисление положительно повлияли на формальное изучение случайности. В 19 веке концепция энтропия был введен в физику.

В начале двадцатого века наблюдался быстрый рост формального анализа случайности, и были введены математические основы вероятности, что привело к ее развитию. аксиоматизация в 1933 году. В то же время появление квантовая механика изменил научный взгляд на определенность. В середине-конце ХХ века идеи алгоритмическая теория информации представил новые измерения в этой области через концепцию алгоритмическая случайность.

Хотя на протяжении многих веков случайность часто рассматривалась как препятствие и неприятность, в двадцатом веке компьютерные ученые начали понимать, что преднамеренный введение случайности в вычисления может быть эффективным инструментом для разработки лучших алгоритмов. В некоторых случаях такие рандомизированные алгоритмы способны превзойти лучшие детерминированные методы.

От античности до средневековья

Изображение римской богини Фортуна кто определил судьбу Ханс Бехам, 1541

Дохристианские люди Средиземноморье бросал кости, чтобы определить судьбу, что позже превратилось в азартные игры.[3] Есть также свидетельства азартных игр, в которые играли древние египтяне, индусы и китайцы, начиная с 2100 года до нашей эры.[4] Китайцы раньше европейцев использовали кости и давно играли в азартные игры.[5]

Более 3000 лет назад проблемы, связанные с подбрасыванием нескольких монет, рассматривались в И Цзин, один из старейших китайских математических текстов, который, вероятно, датируется 1150 годом до нашей эры. Два основных элемента Инь и Янь были объединены в И Цзин в различных формах, чтобы произвести Головы и хвосты перестановки типа HH, TH, HT и т.д., и китайцы, кажется, знали о Треугольник Паскаля задолго до того, как европейцы формализовали его в 17 веке.[6] Однако западная философия до 16 века фокусировалась на нематематических аспектах случайности и случайности.

Развитие концепции случайности на протяжении всей истории происходило очень постепенно. Историки задаются вопросом, почему прогресс в области случайности был таким медленным, учитывая, что люди сталкивались со случайностями с древних времен. Дебора Беннетт предполагает, что обычные люди сталкиваются с внутренними трудностями в понимании случайности, хотя эта концепция часто считается очевидной и самоочевидной. Она цитирует исследования Канеман и Тверски; они пришли к выводу, что статистические принципы не усваиваются из повседневного опыта, потому что люди не обращают внимания на детали, необходимые для получения таких знаний.[7]

Греческие философы были первыми западными мыслителями, которые обращались к случайности и случайности. Около 400 г. до н.э., Демокрит представил взгляд на мир как управляемый однозначными законами порядка и рассмотрел случайность как субъективную концепцию, которая возникла только из неспособности людей понять природу событий. Он использовал пример двух мужчин, которые одновременно посылали своих слуг принести воду, чтобы заставить их встретиться. Слуги, не подозревая о плане, сочли бы встречу случайной.[8]

Аристотель видел случай и необходимость как противоположные силы. Он утверждал, что в природе есть богатые и постоянные закономерности, которые не могут быть результатом одной случайности, но что эти закономерности никогда не демонстрируют машинного единообразия необходимого детерминизма. Он рассматривал случайность как подлинную и широко распространенную часть мира, но как подчиненную необходимости и порядку.[9] Аристотель разделил события на три типа: определенный события, которые происходят обязательно; вероятный события, которые происходят в большинстве случаев; и непознаваемый события, которые происходят случайно. Он считал исход азартных игр непостижимым.[10]

Около 300 г. до н.э. Эпикур предложил концепцию, согласно которой случайность существует сама по себе, независимо от человеческого знания. Он считал, что в атомном мире атомы будут свернуть случайным образом на своем пути, вызывая случайность на более высоких уровнях.[11]

Хотей, божество удачи, наблюдающее за петушиный бой в японской гравюре XVI века

В течение нескольких столетий после этого идея случая продолжала переплетаться с судьбой. Гадание практиковалось во многих культурах с использованием различных методов. Китайцы проанализировали трещины в панцирях черепах, а немцы, которые, по словам Тацит С уважением относился к лотам и приметам, использовал полоски коры.[12] в Римская империя, случай был олицетворен Богиней Фортуна. Римляне участвовали в азартных играх, чтобы имитировать то, что решил Фортуна. В 49 г. до н.э. Юлий Цезарь якобы принял судьбоносное решение пересечь Рубикон после бросания кубиков.[13][ненадежный источник? ]

Аристотелевская классификация событий на три класса: определенный, вероятный и непознаваемый был принят римскими философами, но им пришлось примирить его с детерминистическими Христианин учения, в которых даже события, неизвестные человеку, считались предопределенными Богом. Около 960 г. епископ Вибольд из Камбре правильно перечислил 56 различных исходов (без перестановок) игры с тремя кубиками. Никаких упоминаний об игральных картах в Европе не было найдено до 1350 года. Церковь проповедовала против карточной игры, и карточные игры распространялись гораздо медленнее, чем игры, основанные на играх в кости.[14] Христианская церковь специально запретила гадание; Куда бы ни пошло христианство, гадание потеряло большую часть своей прежней силы.[15][16]

На протяжении веков многие христианские ученые боролись с конфликтом между верой в свободная воля и подразумеваемая случайность, и идея, что Бог знает все, что происходит. Святые Августин и Аквинский пытался найти компромисс между предвидением и свободой воли, но Мартин Лютер выступал против случайности и занимал позицию, согласно которой всеведение Бога делает человеческие действия неизбежными и решительными.[17] В 13 веке Фома Аквинский рассматривал случайность не как результат одной причины, а как результат нескольких случайных причин. Хотя он верил в существование случайности, он отвергал ее как объяснение конечной направленности природы, так как он видел слишком много закономерностей в природе, чтобы их можно было получить случайно.[18]

Греки и римляне не заметили относительной частоты азартных игр. На протяжении столетий в Европе обсуждали случайность без математического обоснования, и только в 16 веке итальянские математики начали обсуждать результаты азартных игр как отношения.[19][20][21] В его 1565 г. Liber de Lude Aleae (руководство игрока, изданное после его смерти) Джероламо Кардано написал один из первых официальных трактатов, в котором анализировались шансы на победу в различных играх.[22]

17–19 вв.

Статуя Блез Паскаль, Лувр

Около 1620 г. Галилео написал статью под названием Об открытии, касающемся игральных костей который использовал раннюю вероятностную модель для решения конкретных вопросов.[23] В 1654 г. по подсказке Шевалье де Мере интерес к азартным играм, Блез Паскаль переписывался с Пьер де Ферма, и были заложены многие основы теории вероятностей. Ставка Паскаля был известен своим ранним использованием концепции бесконечность, и первое формальное использование теория принятия решений. Работы Паскаля и Ферма повлияли на Лейбниц работает над исчисление бесконечно малых, что, в свою очередь, дало дополнительный импульс формальному анализу вероятности и случайности.

Первое известное предложение о просмотре случайности с точки зрения сложности было сделано Лейбниц в малоизвестном документе 17-го века, обнаруженном после его смерти. Лейбниц спросил, как можно узнать, был ли набор точек на листе бумаги выбран случайным образом (например, путем разбрызгивания чернил) или нет. Учитывая, что для любого набора конечных точек всегда существует математическое уравнение, которое может описывать точки (например, Лагранжева интерполяция ) вопрос касается того, как точки выражаются математически. Лейбниц рассматривал точки как случайные, если функция, описывающая их, должна быть чрезвычайно сложной. Три века спустя та же концепция была формализована как алгоритмическая случайность от Колмогоров А. Н. и Григорий Чайтин как минимальная длина компьютерной программы, необходимой для описания конечной строки как случайной.[24]

Доктрина шансов, первый учебник по теория вероятности была опубликована в 1718 году, и с тех пор область продолжала расти.[25] В теория частот подход к вероятности был впервые разработан Роберт Эллис и Джон Венн в конце 19 века.

Гадалка от Вуэ, 1617

В то время как математическая элита добивалась прогресса в понимании случайности с 17 по 19 века, широкая публика продолжала полагаться на такие практики, как гадание в надежде укротить шанс. Судьбы предсказывались разными способами как на Востоке (где гадание позже было названо зависимостью), так и в Европе цыганами и другими.[26][27] Английские обычаи, такие как чтение яиц в стакане, были экспортированы в пуританские общины Северной Америки.[28]

Период, термин энтропия, который в настоящее время является ключевым элементом в изучении случайности, был изобретен Рудольф Клаузиус в 1865 году, когда он изучал тепловые двигатели в контексте второй закон термодинамики. Клаузиус был первым, кто заявил, что «энтропия всегда увеличивается».[29]

Со времен Ньютон Примерно до 1890 года обычно считалось, что, если знать начальное состояние системы с большой точностью и если все силы, действующие на систему, могут быть сформулированы с одинаковой точностью, в принципе можно было бы сделать предсказания состояние Вселенной на бесконечно долгое время. Пределы таких предсказаний в физических системах стали ясны еще в 1893 году, когда Анри Пуанкаре показал, что в проблема трех тел в астрономии небольшие изменения начального состояния могут привести к большим изменениям траекторий во время численного интегрирования уравнений.[30]

В 19 веке, когда теория вероятностей была формализована и лучше понята, отношение к «случайности как помехе» стало подвергаться сомнению. Гете написал:

Ткань мира построена из необходимости и случайности; интеллект людей ставит себя между ними и может управлять ими; он рассматривает необходимость и причину своего существования; он знает, как можно управлять, контролировать и использовать случайность.

Слова Гете оказались пророческими, когда в 20 веке рандомизированные алгоритмы были обнаружены как мощные инструменты.[31] К концу XIX века ньютоновская модель механической Вселенной угасла, поскольку статистическое представление о столкновении молекул в газах изучалось Максвелл и Больцман.[32] Уравнение Больцмана S = k журнале W (начертано на его надгробной плите) энтропия с участием логарифмы.

20 век

Энтони Гормли с Квантовое облако скульптура в Лондон был разработан компьютером с использованием случайная прогулка алгоритм.

В ХХ веке пять основных интерпретации вероятности теория (например, классический, логичный, частота, склонность и субъективный) стали лучше поняты, обсуждались, сравнивались и противопоставлялись.[33] В этом веке было разработано значительное количество прикладных областей, от финансов до физики. В 1900 г. Луи Башелье применяется Броуновское движение оценить опционы на акции, эффективно запуская поля финансовая математика и случайные процессы.

Эмиль Борель был одним из первых математиков, официально обратившихся к случайности в 1909 году, и представил нормальные числа.[34] В 1919 г. Рихард фон Мизес дал первое определение алгоритмической случайности через невозможность игровой системы. Он разработал частотную теорию случайности в терминах того, что он назвал коллектив, т.е. случайная последовательность. Фон Мизес рассматривал случайность коллектива как эмпирический закон, установленный опытом. Он связал «беспорядок» или случайность коллектива с неудачей попыток использования игровых систем. Этот подход привел его к предложению определения случайности, которое позже было уточнено и математически строгое Церковь Алонсо используя вычислимые функции в 1940 г.[35] Фон Мизес сравнил принцип невозможность игровой системы к принципу сохранение энергии, закон, который не может быть доказан, но подтвердился в многократных экспериментах.[36]

Фон Мизес никогда полностью не формализовал свои правила выбора подпоследовательности, но в своей статье 1940 года «О концепции случайной последовательности», Церковь Алонсо предположил, что функции, используемые для расстановки мест в формализме фон Мизеса, должны быть вычислимыми функциями, а не произвольными функциями начальных сегментов последовательности, обращаясь к Тезис Черча – Тьюринга по эффективности.[37][38]

Появление квантовая механика в начале 20 века и формулировка Принцип неопределенности Гейзенберга в 1927 году пришел конец ньютоновскому мышлению физиков в отношении определенность природы. В квантовой механике нет даже способа рассматривать все наблюдаемые элементы в системе как случайные величины. однажды, поскольку многие наблюдаемые не коммутируют.[39]

Кафе Центральное, одно из первых мест встречи Венский круг

К началу 1940-х годов подход теории вероятностей к теории частот был хорошо принят в Венский круг, но в 1950-х Карл Поппер предложил теория склонности.[40][41] Учитывая, что частотный подход не может иметь дело с «одиночным подбрасыванием» монеты и может касаться только больших ансамблей или коллективов, единичные вероятности рассматривались как склонности или шансы. Концепция предрасположенности также была продиктована желанием работать с однозначными вероятностными установками в квантовой механике, например вероятность распада конкретного атома в определенный момент. В более общем плане частотный подход не может иметь дело с вероятностью смерти конкретный человек учитывая, что смерть этого человека не может повториться несколько раз. Карл Поппер повторил то же чувство, что и Аристотель, рассматривая случайность как подчиненную порядку, когда он писал, что «концепция случая не противоречит концепции закона» в природе, при условии, что человек принимает во внимание законы случая.[42][43]

Клод Шеннон развитие Теория информации в 1948 г. дала начало энтропия Посмотреть случайности. С этой точки зрения случайность противоположна детерминизм в случайный процесс. Следовательно, если стохастическая система имеет нулевую энтропию, в ней нет случайности, и любое увеличение энтропии увеличивает случайность. Формулировка Шеннона по умолчанию Больцман Формулировка энтропии XIX века в случае равенства всех вероятностей.[44][45] Энтропия сейчас широко используется в самых разных областях науки. термодинамика к квантовая химия.[46]

Мартингалы для изучения шансов и стратегий ставок были введены Поль Леви в 1930-е годы и были формализованы Джозеф Л. Дуб в 1950-е гг.[47] Применение гипотеза случайного блуждания в финансовая теория был впервые предложен Морис Кендалл в 1953 г.[48] Позже это было продвинуто Юджин Фама и Бертон Малкиел.

Случайные строки впервые были изучены в 1960-х гг. Колмогоров А. Н. (который дал первое аксиоматическое определение теории вероятностей в 1933 году),[49] Чайтин и Мартин-Лёф.[50] В алгоритмическая случайность строки был определен как минимальный размер программы (например, в битах), выполняемой на универсальный компьютер что дает строку. Омега Чайтина число позже связало случайность и вероятность остановки программ.[51]

В 1964 г. Бенуа Мандельброт предположил, что большинство статистических моделей подходят только к первому этапу работы с индетерминизмом и что они игнорируют многие аспекты турбулентности реального мира.[52][53] В своем 1997 году он определил семь состояний случайности от «умеренного до дикого», с традиционной случайностью, находящейся на умеренном конце шкалы.[54]

Несмотря на математические достижения, полагаться на другие методы работы со случайностями, такие как гадание и астрология продолжение в 20 веке. Правительство Мьянма якобы сформировал экономическую политику 20 века, основанную на гаданиях, и спланировал перенос столицы страны на основе советов астрологов.[55][56][57] Глава администрации Белого дома Дональд Риган раскритиковал участие астролога Джоан Куигли в решениях, принятых во время Президентство Рональда Рейгана в 1980-е гг.[58][59][60] Куигли утверждает, что был астрологом Белого дома в течение семи лет.[61]

В течение 20 века ограничения в работе со случайностью стали более понятными. Самый известный пример как теоретических, так и практических ограничений предсказуемости - это прогноз погоды просто потому, что модели используются в полевых условиях с 1950-х годов. Прогнозы погоды и климата обязательно неопределенны. Наблюдения за погодой и климатом являются неопределенными и неполными, а модели, в которые вводятся данные, являются неопределенными.[62] В 1961 г. Эдвард Лоренц заметил, что очень небольшое изменение исходных данных, отправленных в компьютерную программу моделирования погоды, может привести к совершенно иному сценарию погоды. Позже это стало известно как эффект бабочки, часто перефразируемый как вопрос: "Вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?".[63] Ключевым примером серьезных практических ограничений предсказуемости является геология, где способность предсказывать землетрясения либо на индивидуальной, либо на статистической основе остается отдаленной перспективой.[64]

В конце 1970-х - начале 1980-х гг. компьютерные ученые начал понимать, что преднамеренный введение случайности в вычисления может быть эффективным инструментом для разработки лучших алгоритмов. В некоторых случаях такие рандомизированные алгоритмы превосходят лучшие детерминированные методы.[65]

Заметки

  1. ^ Справочник по жизни в Древнем Риме, Лесли Адкинс, 1998 г. ISBN  0-19-512332-8 п. 279
  2. ^ Религии древнего мира, Сара Айлс Джонстон, 2004 г. ISBN  0-674-01517-7 п. 370
  3. ^ Что такое случайность ?: Случайность и порядок в математике и жизни, Эдвард Дж. Белтрами, 1999, Спрингер ISBN  0-387-98737-1 стр. 2–4
  4. ^ Энциклопедия досуга и отдыха на природе, Джон Майкл Дженкинс, 2004 г. ISBN  0-415-25226-1 п. 194
  5. ^ Смелые углы Китая, Элиза Маккормик, 2007 ISBN  1-4067-5332-7 п. 158
  6. ^ Природа и развитие современной математики, Эдна Эрнестин Крамер, 1983, ISBN  9780691023724, п. 313
  7. ^ Случайность, Дебора Дж. Беннет, издательство Гарвардского университета, 1998. ISBN  0-674-10745-4 стр. 8–9 и 24
  8. ^ Дизайн и анализ рандомизированных алгоритмов, Юрай Громкович, 2005 ISBN  3-540-23949-9 п. 1
  9. ^ Физика Аристотеля: управляемое исследование, Джо Сакс, 1995 ISBN  0-8135-2192-0 п. 70
  10. ^ История вероятностей и статистики и их применения до 1750 г., Андерс Халд, 2003 г. ISBN  0-471-47129-1 п. 30
  11. ^ Эпикур: введение, Джон М. Рист, 1972 г. ISBN  0-521-08426-1 п. 52
  12. ^ Эпоха шанса, Герда Райт, 2000 ISBN  0-415-17997-1 п. 15; Tac. Зародыш. 10
  13. ^ Что такое случайность ?: Случайность и порядок в математике и жизни, Эдвард Дж. Белтрами, 1999, Спрингер ISBN  0-387-98737-1 стр. 3–4
  14. ^ История вероятностей и статистики и их применения до 1750 г., Андерс Халд, 2003 г. ISBN  0-471-47129-1 стр. 29–36
  15. ^ Общая история христианской церкви Том 2 Джозефа Пристли 1804 ASIN B002KW4M6O page 11
  16. ^ Католическая энциклопедия [1]
  17. ^ Дело в пользу гуманизма, Льюис Вон, Остин Дейси, 2003 ISBN  0-7425-1393-9 п. 81 год
  18. ^ Трактат о божественной природе: Summa theologiae I, 1–13, Святой Фома Аквинский, Брайан Дж. Шенли, 2006 г. ISBN  0-87220-805-2 п. 198
  19. ^ История вероятностей и статистики и их применения до 1750 г., Андерс Халд, 2003 г. ISBN  0-471-47129-1 стр. 30–4
  20. ^ Мир научных открытий, Кимберли А. МакГрат и Бриджит Трэверспейдж, 1999 г. ISBN  0-7876-2760-7 п. 893
  21. ^ Случайность, Дебора Дж. Беннет, издательство Гарвардского университета, 1998. ISBN  0-674-10745-4 п. 8
  22. ^ Словарь ученых, Джон Дейнтит, Дерек Гьертсен, 1999 ISBN  0-19-280086-8 п. 88
  23. ^ История вероятностей и статистики и их применения до 1750 г., Андерс Халд, 2003 г. ISBN  0-471-47129-1 п. 41 год
  24. ^ Размышляя о Гёделе и Тьюринге, Грегори Дж. Чайтин, 2007 г. ISBN  981-270-896-0 п. 242
  25. ^ Шнайдер, Иво (2005), «Авраам Де Муавр, Доктрина шансов (1718, 1738, 1756) », в Grattan-Guinness, I., Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Amsterdam: Elsevier, p. 105–120, ISBN  0-444-50871-6
  26. ^ Азия в становлении Европы, Том 3, Дональд Фредерик Лач, Эдвин Дж. Ван Клей, 1998 г. ISBN  0-226-46769-4 п. 1660
  27. ^ История цыган Восточной Европы и России, Дэвид М. Кроу, 1996 ISBN  0-312-12946-7 п. 36
  28. ^ События, изменившие Америку в семнадцатом веке, Джон Э. Финдлинг, Фрэнк У. Теккерей, 2000 ISBN  0-313-29083-0 п. 168
  29. ^ Великие физики Уильям Х. Кроппер 2004 ISBN стр. 93
  30. ^ Об ограниченной предсказуемости, А. Вийн-Нильсен, 1999 ISBN  87-7304-185-8 п. 3
  31. ^ Дизайн и анализ рандомизированных алгоритмов, Юрай Громкович, 2005 ISBN  3-540-23949-9 п. 4
  32. ^ Энциклопедия науки и техники Джеймс С. Трефил 2001 ISBN  0-415-93724-8 Страница cxxxiii
  33. ^ Стэнфордская энциклопедия философии
  34. ^ Э. Борель, Именные вероятности и арифметические приложения Ренд. Circ. Мат. Палермо, 27 (1909) 247–271
  35. ^ Сопутствующая энциклопедия истории и философии Том 2, Ivor Grattan-Guinness 0801873975 p. 1412
  36. ^ Философия Карла Поппера, Герберт Кейт ISBN  0-521-54830-6 п. 171
  37. ^ Церковь Алонсо, «О понятии случайной последовательности», Бюл. Амер. Математика. Soc., 46 (1940), 254–260.
  38. ^ Дж. Альберто Коффа, «Случайность и знание», в PSA 1972: протоколы двухлетнего собрания 1972 г., Ассоциация философии науки, Том 20, Springer, 1974 ISBN  90-277-0408-2 п. 106
  39. ^ Введение в случайное время и квантовую случайность Кай Лай Чунг, Жан-Клод Замбрини 2003 ISBN  981-238-415-4 страница
  40. ^ Карл Поппер, 1957, «Интерпретация склонности исчисления вероятностей и квантовой теории», в С. Кёрнер (ред.), Документы Колстона, 9: 65–70.
  41. ^ Карл Поппер, 1959, «Тенденция интерпретации вероятности», Британский журнал философии науки, 10: 25–42.
  42. ^ Карл Поппер, Логика научных открытий п. 206
  43. ^ Философия Карла Поппера, Герберт Кейт ISBN  0-521-54830-6 п. 170
  44. ^ Единая орбитальная динамика, Бенджамин Вайс 1999 ISBN  0-8218-0414-6 п. 83
  45. ^ Математическая теория информации Автор: Ян Коре, 2002 г. ISBN  1-4020-7064-0 стр. 218
  46. ^ Обзоры в вычислительной химии, том 23 Кеннет Б. Липковиц ISBN  0-470-08201-1 стр. 279
  47. ^ Приближение мартингейла Ю. В. Боровских, 1997 г. ISBN  90-6764-271-1 стр. 287
  48. ^ Кендалл, М. Г. (1953). «Анализ экономических временных рядов. Часть I: цены», Журнал Королевского статистического общества. А (Общие) 116 (1): 11–34. [2]
  49. ^ Теория вероятностей: логика науки Эдвин Т. Джейнс, Дж. Ларри Бретторст 2003 ISBN  0-521-59271-2 стр. 49
  50. ^ Информация и случайность: алгоритмическая перспектива, Кристиан Калуд, 2002 ISBN  3-540-43466-6 п. 145
  51. ^ Размышляя о Гёделе и Тьюринге, Грегори Дж. Чайтин, 2007 г. ISBN  981-270-896-0 п. 185
  52. ^ Гауссовское самоаффинность и фракталы Бенуа Мандельброт, Ф.Дж. Дамерау, М. Фрейм и К. МакКами, 2001 г. ISBN  0-387-98993-5 стр.20
  53. ^ Экономия науки без усилий? Филиппа Мировски 2004 ISBN  0-8223-3322-8 стр. 255
  54. ^ Фракталы и масштабирование в финансах от Бенуа Мандельброт 1997 ISBN  0-387-98363-5 страницы 136–142
  55. ^ Мьянма (Бирма) с 1962 года: провал развития Питер Джон Перри 2007 ISBN  0-7546-4534-7 стр.10
  56. ^ Asia Times, 18 июня 2009 г. Мгновенная карма в Мьянме
  57. ^ NY Times, 11 ноября 2005 г. Правительство на пути к незавершенной столице, [3]
  58. ^ Журнал Time, 16 мая 1988 г., Боже мой!
  59. ^ Энциклопедия лет Рейгана-Буша 1996 Питер Б. Леви ISBN  0-313-29018-0 стр.25
  60. ^ Выйти с честью: жизнь и президентство Рональда Рейгана Уильям Э. Пембертон, 1997 г. ISBN  0-7656-0095-1 стр. 123
  61. ^ Куигли, Джоан. Что говорит Джоан? Мои семь лет в качестве астролога Белого дома Нэнси и Рональду Рейганам. Кэрол Издательская группа. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк; 1990 г.
  62. ^ Предсказуемость погоды и климата, Тим Палмер, Ренате Хагедорн, 2006 ISBN  0-521-84882-2 п. 1
  63. ^ Предупреждение о шторме: история смерча-убийцы, Нэнси Матис, 2007 ISBN  978-0-7432-8053-2 п. Икс
  64. ^ Л. Кнопофф, «Прогноз землетрясений: научный вызов», Труды Национальной академии наук, 1999 ISBN  0-309-05837-6 п. 3720
  65. ^ Дизайн и анализ рандомизированных алгоритмов, Юрай Громкович 2005 ISBN  3-540-23949-9 п. 4