Список отчетов, независимых от ZFC - List of statements independent of ZFC

В математический утверждения, обсуждаемые ниже, являются доказуемыми независимый из ZFC (канонический аксиоматическая теория множеств современной математики, состоящей из Аксиомы Цермело – Френкеля плюс аксиома выбора ), предполагая, что ZFC последовательный. Утверждение не зависит от ZFC (иногда его называют «неразрешимым в ZFC»), если оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто с помощью аксиом ZFC.

Аксиоматическая теория множеств

В 1931 г. Курт Гёдель доказал первый результат независимости ZFC, а именно, что согласованность самого ZFC не зависит от ZFC (Вторая теорема Гёделя о неполноте ).

Следующие утверждения, помимо прочего, не зависят от ZFC:

• согласованность ZFC;
• то гипотеза континуума или CH (Гёдель создал модель ZFC, в которой CH истинно, показывая, что CH не может быть опровергнут в ZFC; Пол Коэн позже изобрел метод принуждение показать модель ZFC, в которой CH не работает, показывая, что CH не может быть доказан в ZFC. Следующие четыре результата о независимости также принадлежат Гёделю / Коэну.);
• то гипотеза обобщенного континуума (GCH);
• связанное независимое утверждение состоит в том, что если набор Икс имеет меньше элементов, чем y, тогда Икс также имеет меньше подмножества чем y. В частности, это утверждение неверно, когда мощности множеств Икс и y совпадают;
• то аксиома конструктивности (V = L);
• то алмазный принцип (◊);
• Аксиома мартина (MA);
• MA + ¬CH (независимость показана Соловей и Тенненбаум )^[1].

Диаграмма, показывающая цепочки следствий

У нас есть следующие цепочки следствий:

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

CH → MA,

и (см. раздел по теории порядка):

◊ → ¬SH,

MA + ¬CH → ЕСТЬ → Ш.

Несколько заявлений, связанных с существованием большие кардиналы не может быть доказано в ZFC (при условии, что ZFC согласован). Они не зависят от ZFC при условии, что они совместимы с ZFC, что, по мнению большинства теоретиков рабочих множеств, так. Эти утверждения достаточно сильны, чтобы подразумевать согласованность ZFC. Это имеет последствия (через Вторая теорема Гёделя о неполноте ), что их совместимость с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC согласован). К этому классу принадлежат следующие операторы:

• Существование недоступные кардиналы
• Существование Мало кардиналов
• Существование измеримые кардиналы (первое предположение Улам )
• Существование суперкомпактные кардиналы

Следующие утверждения могут быть доказаны как независимые от ZFC при условии согласованности подходящего большого кардинала:

• Правильная аксиома принуждения
• Открытая аксиома раскраски
• Максимум Мартина
• Существование 0^#
• Гипотеза сингулярных кардиналов
• Проективная определенность (и даже полный аксиома детерминированности если аксиома выбора не предполагается)

Теория множеств реальной линии

Есть много кардинальные инварианты реальной линии, связанной с теория меры и заявления, касающиеся Теорема Бэра о категории, точные значения которых не зависят от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные отношения, большинство кардинальных инвариантов могут быть любыми. обычный кардинал между ℵ₁ и 2^ℵ₀. Это основная область исследования теории множеств действительной прямой (см. Диаграмма Цишона ). МА имеет тенденцию устанавливать наиболее интересные кардинальные инварианты равными 2^ℵ₀.

Подмножество Икс реальной линии нулевой набор строгой меры если каждой последовательности (ε_п) положительных вещественных чисел существует последовательность интервалов (я_п) который охватывает Икс и такой, что я_п имеет длину не больше ε_п. Гипотеза Бореля о том, что любое множество нулей сильной меры счетно, не зависит от ZFC.

Подмножество Икс реальной линии ${ displaystyle aleph _ {1}}$-плотно, если каждый открытый интервал содержит ${ displaystyle aleph _ {1}}$-многие элементы Икс. Все ли ${ displaystyle aleph _ {1}}$-плотные множества порядко-изоморфны не зависят от ZFC.^[2]

Теория порядка

Проблема суслина спрашивает, характеризует ли конкретный короткий список свойств упорядоченный набор действительных чисел р. В ZFC это неразрешимо.^[3] А Линия Суслина - это упорядоченный набор, который удовлетворяет этому конкретному списку свойств, но не изоморфен по порядку р. В алмазный принцип ◊ доказывает существование линии Суслина, а MA + ¬CH влечет EATS (каждое дерево Ароншайн особенное ),^[4] что, в свою очередь, подразумевает (но не эквивалентно)^[5] отсутствие суслинских линий. Рональд Дженсен доказал, что CH не влечет существования линии Суслина.^[6]

Существование Курепа деревья не зависит от ZFC, при условии согласованности недоступный кардинал.^[7]

Наличие перегородки порядковый номер ${ displaystyle omega _ {2}}$ на два цвета без монохроматических несчетных последовательно замкнутых подмножеств, не зависящих от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, при условии согласованности Мало кардинал.^[8][9][10] Эта теорема Шела отвечает на вопрос Х. Фридман.

Абстрактная алгебра

В 1973 г. Сахарон Шелах показал, что Проблема Уайтхеда ("каждый абелева группа А с участием Ext¹(А, Z) = 0 а свободная абелева группа ? ") не зависит от ZFC.^[11] Абелева группа с Ext¹(А, Z) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, а V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны. в одном из первых приложений правильного принуждение, Шелах построил модель ZFC + CH, в которой есть несвободная группа Уайтхеда.^[12][13]

Рассмотрим кольцо А = р[Икс,y,z] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле дробей M = р(Икс,y,z). В проективное измерение из M так как А-module равен 2 или 3, но не зависит от ZFC, равен ли он 2; он равен 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH.^[14]

А прямой продукт бесчисленного множества поля имеет глобальное измерение 2 тогда и только тогда, когда верна гипотеза континуума.^[15]

Теория чисел

Можно записать конкретный многочлен п ∈ Z[Икс₁, ..., Икс₉] такое, что утверждение "есть целые числа м₁, ..., м₉ с участием п(м₁, ..., м₉) = 0 "не может быть ни доказано, ни опровергнуто в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечива). Это следует из Юрий Матиясевич решение Десятая проблема Гильберта; многочлен построен так, что он имеет целочисленный корень тогда и только тогда, когда ZFC несовместим.^[16]

Теория меры

Более сильная версия Теорема Фубини для положительных функций, где функция больше не считается измеримый но просто то, что два повторных интеграла правильно определены и существуют, не зависит от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает, что существует функция на единичном квадрате, повторенные интегралы которой не равны - функция просто индикаторная функция порядка [0, 1], эквивалентного хорошо заказывая кардинала ω₁. Аналогичный пример можно построить, используя MA. С другой стороны, непротиворечивость сильной теоремы Фубини впервые была показана Фридман.^[17] Это также можно вывести из варианта Аксиома симметрии Фрейлинга.^[18]

Топология

Гипотеза нормального пространства Мура, а именно, что каждое нормальный Пространство Мура является метризуемый, может быть опровергнуто, если принять CH или MA + ¬CH, и может быть доказано, если принять определенную аксиому, которая подразумевает существование больших кардиналов. Таким образом, с учетом больших кардиналов гипотеза о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC.

Различные утверждения о ${ Displaystyle Р ( омега) /}$конечные, P-точки, Q-точки, ...

S- и L-пространства

Функциональный анализ

Garth Dales и Роберт М. Соловей доказал в 1976 г., что Гипотеза Капланского, а именно, что каждый гомоморфизм алгебр от Банахова алгебра С (Х) (где Икс есть некоторые компактный Пространство Хаусдорфа ) в любую другую банахову алгебру должна быть непрерывной, не зависящей от ZFC. CH означает, что для любого бесконечного Икс существует разрывный гомоморфизм в любую банахову алгебру.^[19]

Рассмотрим алгебру B(ЧАС) из ограниченные линейные операторы на бесконечномерных отделяемый Гильбертово пространство ЧАС. В компактные операторы сформировать двусторонний идеал в B(ЧАС). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух более мелких идеалов, не зависит от ZFC, как было доказано Андреас Бласс и Сахарон Шелах в 1987 г.^[20]

Чарльз Акеманн и Ник Уивер показал в 2003 г., что утверждение "существует контрпример к Проблема Наймарка который порождается ℵ₁, elements "не зависит от ZFC.

Мирослав Бачак и Петр Гайек в 2008 г. доказал, что утверждение "каждый Пространство Асплунда плотностного характера ω₁ имеет ренорминг с Мазурский перекресток собственности "не зависит от ZFC. Результат отображается с помощью Максимум Мартина аксиома, тогда как Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагая, что CH.

Как показано Илияс Фарах^[21] и Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер,^[22] существование внешних автоморфизмов Калкина алгебра зависит от теоретико-множественных предположений за пределами ZFC.

Теория моделей

Гипотеза Чанга не зависит от ZFC при условии согласованности Кардинал Эрдёша.

Теория вычислимости

Марсия Грошек и Теодор Сламан привел примеры независимых от ZFC утверждений относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, существует ли максимально независимый набор степеней размера меньше континуума.^[23]

использованная литература

внешние ссылки

• Какие разумно звучащие утверждения не зависят от ZFC?, mathoverflow.net