Матричный анализ - Matrix analysis

В математика, особенно в линейная алгебра и приложения, матричный анализ это изучение матрицы и их алгебраические свойства.^[1] Некоторые конкретные темы из многих включают; операции, определенные над матрицами (например, матрица сложения, матричное умножение и операции, производные от них), функции матриц (такие как матричное возведение в степень и матричный логарифм, и даже синусы и косинусы и т. д. матриц), а собственные значения матриц (собственное разложение матрицы, возмущение собственных значений теория).^[2]

Матричные пространства

Набор всех м×п матрицы над поле F обозначено в этой статье M_млн(F) образуют векторное пространство. Примеры F включить набор рациональное число ℚ, действительные числа ℝ, и набор сложные числа ℂ. Пространства M_млн(F) и M_pq(F) - разные пространства, если м и п неравны, и если п и q неравны; например M₃₂(F) ≠ M₂₃(F). Два м×п матрицы А и B в M_млн(F) можно сложить вместе, чтобы сформировать другую матрицу в пространстве M_млн(F):

{ Displaystyle mathbf {A}, mathbf {B} in M_ {mn} (F) ,, quad mathbf {A} + mathbf {B} in M_ {mn} (F)}

и умноженный на α в F, чтобы получить другую матрицу в M_млн(F):

{ Displaystyle альфа в F ,, quad alpha mathbf {A} в M_ {mn} (F)}

Объединив эти два свойства, линейная комбинация матриц А и B находятся в M_млн(F) - еще одна матрица в M_млн(F):

{ Displaystyle альфа mathbf {A} + beta mathbf {B} in M_ {mn} (F)}

куда α и β числа в F.

Любую матрицу можно выразить как линейную комбинацию базисных матриц, играющих роль базисные векторы для матричного пространства. Например, для набора матриц 2 × 2 над полем действительных чисел M₂₂(ℝ), один допустимый базисный набор матриц:

{ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} ,, quad { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}} ,, quad { begin {pmatrix } 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} ,, quad { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}

потому что любая матрица 2 × 2 может быть выражена как:

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = a { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}} + b { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 конец {pmatrix}} + c { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} + d { begin {pmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} ,,}

куда а, б, c,d все реальные числа. Эта идея применима к другим полям и матрицам более высоких измерений.

Детерминанты

В детерминант квадратной матрицы - важное свойство. Определитель указывает, является ли матрица обратимый (т.е. инверсия матрицы существует, когда определитель отличен от нуля). Определители используются для нахождения собственных значений матриц (см. Ниже), а также для решения система линейных уравнений (видеть Правило Крамера ).

Собственные значения и собственные векторы матриц

Определения

An п×п матрица А имеет собственные векторы Икс и собственные значения λ определяется соотношением:

{ Displaystyle mathbf {A} mathbf {x} = lambda mathbf {x}}

На словах матричное умножение из А за которым следует собственный вектор Икс (здесь п-размерный матрица столбцов ), это то же самое, что умножение собственного вектора на собственное значение. Для п×п матрица, есть п собственные значения. Собственные значения - это корни характеристический многочлен:

{ Displaystyle п _ { mathbf {A}} ( lambda) = det ( mathbf {A} - lambda mathbf {I}) = 0}

куда я это п×п единичная матрица.

Корни многочленов в этом контексте все собственные значения могут быть разными или некоторые могут быть равными (в этом случае собственное значение имеет множественность, сколько раз встречается собственное значение). После решения для собственных значений собственные векторы, соответствующие собственным значениям, могут быть найдены с помощью определяющего уравнения.

Возмущения собственных значений

Матричное сходство

Два п×п матрицы А и B похожи, если они связаны преобразование подобия:

{ Displaystyle mathbf {B} = mathbf {P} mathbf {A} mathbf {P} ^ {- 1}}

Матрица п называется матрица сходства, и обязательно обратимый.

Унитарное сходство

Канонические формы

Форма эшелона строки

Нормальная форма Джордана

Каноническая форма Вейра

Нормальная форма Фробениуса

Треугольная факторизация

LU разложение

LU разложение разбивает матрицу на матричное произведение верхнего треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.

Матричные нормы

Поскольку матрицы образуют векторные пространства, можно сформировать аксиомы (аналогичные аксиомам векторов), чтобы определить «размер» конкретной матрицы. Норма матрицы - положительное действительное число.

Определение и аксиомы

Для всех матриц А и B в M_млн(F), и все числа α в F, норма матрицы, ограниченная двойными вертикальными чертами || ... ||, выполняет:^{[примечание 1]}

Неотрицательный:

{ Displaystyle | mathbf {A} | geq 0}

с равенством только для А = 0, то нулевая матрица.

Скалярное умножение:

{ Displaystyle | альфа mathbf {A} | = | альфа | | mathbf {A} |}

В треугольное неравенство:

{ Displaystyle | mathbf {A} + mathbf {B} | leq | mathbf {A} | + | mathbf {B} |}

Норма Фробениуса

В Норма Фробениуса аналогичен скалярное произведение евклидовых векторов; умножьте элементы матрицы по входам, сложите результаты и извлеките положительный квадратный корень:

{ displaystyle | mathbf {A} | = { sqrt { mathbf {A}: mathbf {A}}} = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} (A_ {ij}) ^ {2}}}}

Он определен для матриц любой размерности (т.е. без ограничения квадратными матрицами).

Положительно определенные и полуопределенные матрицы

Функции

Элементы матрицы не ограничиваются постоянными числами, они могут быть математические переменные.

Функции матриц

Функции матрицы принимают матрицу и возвращают что-то еще (число, вектор, матрицу и т. Д.).

Матричнозначные функции

Функция с матричным значением принимает что-то (число, вектор, матрицу и т. Д.) И возвращает матрицу.

Смотрите также

Другие отрасли анализа

Другие понятия линейной алгебры

Виды матрицы

Матричные функции

Сноски

^ Некоторые авторы, например Хорн и Джонсон, используйте тройные вертикальные полосы вместо двойных: |||А|||.