Возможный градиент - Potential gradient

В физика, химия и биология, а потенциальный градиент местный скорость изменения из потенциал относительно смещения, то есть пространственной производной или градиента. Эта величина часто встречается в уравнениях физических процессов, поскольку приводит к некоторой форме поток.

Определение

Одно измерение

Простейшее определение градиента потенциала F в одном измерении это следующее:^[1]

${ displaystyle F = { frac { phi _ {2} - phi _ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = { frac { Delta phi} { Delta x} } , !}$

куда ϕ(Икс) это какой-то тип скалярный потенциал и Икс является смещение (нет расстояние ) в Икс направлении, нижние индексы обозначают две разные позиции Икс₁, Икс₂, и потенциалы в этих точках, ϕ₁ = ϕ(Икс₁), ϕ₂ = ϕ(Икс₂). В пределах бесконечно малый перемещений, отношение разностей становится соотношением дифференциалы:

${ displaystyle F = { frac {{ rm {d}} phi} {{ rm {d}} x}}. , !}$

Направление градиента электрического потенциала от ${ displaystyle x_ {1}}$ к ${ displaystyle x_ {2}}$.

Три измерения

В три измерения, Декартовы координаты проясните, что результирующий градиент потенциала является суммой градиентов потенциала в каждом направлении:

${ displaystyle mathbf {F} = mathbf {e} _ {x} { frac { partial phi} { partial x}} + mathbf {e} _ {y} { frac { partial phi} { partial y}} + mathbf {e} _ {z} { frac { partial phi} { partial z}} , !}$

куда е_Икс, е_у, е_z находятся единичные векторы в х, у, г направления. Это можно компактно записать в терминах градиент оператор ∇,

${ Displaystyle mathbf {F} = набла фи. , !}$

хотя эта окончательная форма сохраняется в любом криволинейная система координат, а не только декартово.

Это выражение представляет собой важную особенность любого консервативное векторное поле F, а именно F имеет соответствующий потенциал ϕ.^[2]

С помощью Теорема Стокса, это эквивалентно формулируется как

${ displaystyle nabla times mathbf {F} = { boldsymbol {0}} , !}$

имея в виду завиток, обозначенное ∇ ×, векторного поля обращается в нуль.

Физика

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационное поле грамм, который может быть консервативным,^[3] он равен градиенту в гравитационный потенциал Φ:

${ Displaystyle mathbf {g} = - nabla Phi. , !}$

Между гравитационным полем и потенциалом есть противоположные знаки, потому что градиент потенциала и поле противоположны по направлению: по мере увеличения потенциала напряженность гравитационного поля уменьшается, и наоборот.

Электромагнетизм

В электростатика, то электрическое поле E не зависит от времени т, поэтому нет индукции зависящей от времени магнитное поле B к Закон индукции Фарадея:

${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac { partial mathbf {B}} { partial t}} = { boldsymbol {0}} ,,}$

что подразумевает E градиент электрического потенциала V, идентичное классическому гравитационному полю:^[4]

${ displaystyle - mathbf {E} = nabla V. , !}$

В электродинамика, то E поле зависит от времени и вызывает зависящее от времени B поле также (опять же по закону Фарадея), так что завиток E не равно нулю, как раньше, что означает, что электрическое поле больше не является градиентом электрического потенциала. Необходимо добавить термин, зависящий от времени:^[5]

${ displaystyle - mathbf {E} = nabla V + { frac { partial mathbf {A}} { partial t}} , !}$

куда А электромагнитный векторный потенциал. Это последнее возможное выражение фактически сводит закон Фарадея к тождеству.

Гидравлическая механика

В механика жидкости, то поле скорости v описывает движение жидкости. An безвихревой поток означает, что поле скоростей консервативно, или, что то же самое, завихренность псевдовектор поле ω равно нулю:

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times mathbf {v} = { boldsymbol {0}}.}$

Это позволяет потенциал скорости быть определено просто как:

${ Displaystyle mathbf {v} = набла фи}$

Химия

В электрохимический полуклетка, на стыке между электролит (ан ионный решение ) и металл электрод, стандарт разность электрических потенциалов является:^[6]

${ Displaystyle Delta phi _ {(M, M ^ {+ z})} = Delta phi _ {(M, M ^ {+ z})} ^ { ominus} + { frac {RT} {zeN _ { text {A}}}} ln a_ {M ^ {+ z}} , !}$

куда р = газовая постоянная, Т = температура раствора, z = валентность металла, е = элементарный заряд, N_А = Константа Авогадро, и а_{M^{+ z}} это Мероприятия ионов в растворе. Величины с индексом ⊖ означают, что измерение проводится под стандартные условия. Градиент потенциала является относительно резким, так как существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда и интерфейсный член.^{[требуется разъяснение ]}

Биология

В биология, градиент потенциала - это чистая разница в электрический заряд через клеточная мембрана.

Неединственность потенциалов

Поскольку градиенты потенциалов соответствуют физические поля, не имеет значения, добавлена ​​ли константа (она стирается оператором градиента ∇ который включает частичная дифференциация ). Это означает, что невозможно определить, что такое «абсолютное значение» потенциала - нулевое значение потенциала совершенно произвольно и может быть выбрано в любом месте для удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также применима к векторным потенциалам и используется в классическая теория поля а также теория калибровочного поля.

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаемы, возможны только градиенты и зависящие от пути разности потенциалов. Тем не менее Эффект Ааронова – Бома это квантово-механический эффект, иллюстрирующий ненулевое электромагнитные потенциалы по замкнутому контуру (даже если E и B поля равны нулю повсюду в области) приводят к изменению фазы волновая функция электрического заряженная частица в регионе, поэтому потенциалы имеют измеримое значение.

Возможная теория

Полевые уравнения, например, законы Гаусса для электричества, для магнетизма, и для гравитации, можно записать в виде:

${ Displaystyle набла cdot mathbf {F} = X rho}$

куда ρ электрический плотность заряда, монополь плотность (если они существуют), или плотность вещества и Икс является константой (в терминах физические константы грамм, ε₀, μ₀ и другие числовые факторы).

Скалярные градиенты потенциала приводят к Уравнение Пуассона:

${ displaystyle nabla cdot ( nabla phi) = X rho quad Rightarrow quad nabla ^ {2} phi = X rho}$

Генерал теория потенциалов был разработан для решения этого уравнения относительно потенциала. Градиент этого решения дает физическое поле, решая уравнение поля.

Смотрите также

• Тензоры в криволинейных координатах

Рекомендации