Ослабленная слабая форма - Weakened weak form

Ослабленная слабая форма (или же Форма W2)[1] используется при формулировке общих численных методов на основе бессеточные методы и / или метод конечных элементов настройки. Эти численные методы применимы к механика твердого тела а также динамика жидкостей проблемы.

Описание

Для простоты мы выбрали для обсуждения задачи упругости (PDE 2-го порядка).[2] Наше обсуждение также наиболее удобно в отношении известных слабая и сильная форма. В сильной формулировке приближенного решения нам нужно принять функции смещения, которые дифференцируются 2-го порядка. В слабой формулировке мы создаем линейные и билинейные формы, а затем ищем конкретную функцию (приближенное решение), удовлетворяющую слабому утверждению. Билинейная форма использует градиент функций, которые имеют дифференцирование только 1-го порядка. Поэтому требование непрерывности предполагаемых функций перемещений слабее, чем в сильной формулировке. В дискретной форме (например, Метод конечных элементов, или FEM), достаточное требование для предполагаемой функции смещения является кусочно-непрерывным во всей области задач. Это позволяет нам создавать функцию, используя элементы (но при этом обеспечивая непрерывность всех интерфейсов элементов), что приводит к мощному МКЭ.

Теперь, в ослабленной слабой (W2) формулировке, мы еще больше уменьшаем требование. Мы формируем билинейную форму, используя только предполагаемую функцию (даже не градиент). Это делается с помощью так называемой техники сглаживания обобщенного градиента,[3] с помощью которого можно аппроксимировать градиент функций смещения для определенного класса разрывных функций, пока они находятся в собственном G пространство.[4] Поскольку нам не нужно фактически выполнять даже первое дифференцирование предполагаемых функций смещения, требования к согласованности функций еще больше снижаются, и, следовательно, ослабляется слабая формулировка или формулировка W2.

История

Развитие систематической теории ослабленной слабой формы началось с работ по бессеточным методам.[2] Он относительно новый, но за последние несколько лет он очень быстро развивался.[когда? ]

Особенности составов W2

  1. Формулировка W2 предлагает возможности для формулирования различных (однородных) «мягких» моделей, которые хорошо работают с треугольными сетками. Поскольку треугольная сетка может быть сгенерирована автоматически, становится намного проще создавать заново сетку и, следовательно, автоматизировать моделирование и симуляцию. Это очень важно для нашей долгосрочной цели по развитию полностью автоматизированных вычислительных методов.
  2. Кроме того, модели W2 могут быть сделаны достаточно мягкими (единообразно) для получения решений с верхними границами (для задач принудительного движения). Вместе с жесткими моделями (такими как полностью совместимые модели МКЭ) можно удобно связать решение с обеих сторон. Это позволяет легко оценивать ошибки для обычно сложных задач, если можно создать треугольную сетку. Это важно для производства так называемых сертифицированных решений.
  3. Модели W2 могут быть построены без объемной блокировки и, возможно, без других типов явлений блокировки.
  4. Модели W2 предоставляют свободу принимать отдельно градиент смещения функций смещения, предлагая возможности для сверхточных и сверхконвергентных моделей. Возможно, удастся построить линейные модели со скоростью сходимости энергии 2.
  5. Модели W2 часто оказываются менее чувствительными к искажению сетки.
  6. Модели W2 оказались эффективными для методов низкого порядка.

Существующие модели W2

Типичные модели W2 - это методы интерполяции сглаженных точек (или S-PIM).[5] S-PIM может быть узловым (известный как NS-PIM или LC-PIM),[6] на основе края (ES-PIM),[7] и на основе соты (CS-PIM).[8] NS-PIM был разработан с использованием так называемой техники SCNI.[9] Затем было обнаружено, что NS-PIM может производить раствор с верхней границей и без объемной блокировки.[10] ES-PIM имеет превосходную точность, а CS-PIM занимает промежуточное положение между NS-PIM и ES-PIM. Более того, формулировки W2 позволяют использовать полиномиальные и радиальные базисные функции при создании функций формы (они учитывают прерывистые функции смещения, пока они находятся в пространстве G1), что открывает дополнительные возможности для будущих разработок. S-FEM в значительной степени является линейной версией S-PIM, но с большинством свойств S-PIM и намного проще. Он также имеет вариации NS-FEM, ES-FEM и CS-FEM. Основное свойство S-PIM можно найти также в S-FEM.[11] Модели S-FEM:

Приложения

Некоторые из применений моделей W2:

  1. Механика твердого тела, конструкций и пьезоэлектриков;[22][23]
  2. Механика разрушения и распространение трещин;[24][25][26][27]
  3. Теплопередача;[28][29]
  4. Структурная акустика;[30][31][32]
  5. Нелинейные и контактные задачи;[33][34]
  6. Стохастический анализ;[35]
  7. Адаптивный анализ;[36][18]
  8. Проблема смены фаз;[37]
  9. Моделирование пластичности кристаллов.[38]
  10. Ограниченный анализ.[39]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ G.R. Лю. «Теория пространства G и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: часть I теории и часть II приложений к задачам механики твердого тела». Международный журнал численных методов в инженерии, 81: 1093–1126, 2010
  2. ^ а б Лю, Г. 2-е изд .: 2009 Методы без сетки, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  3. ^ Лю Г.Р., "Обобщенная техника градиентного сглаживания и сглаженная билинейная форма для формулировки Галеркина широкого класса вычислительных методов", Международный журнал вычислительных методов Том 5 Выпуск: 2, 199–236, 2008 г.
  4. ^ Лю Г.Р., "Теория пространства G", Международный журнал вычислительных методов, Vol. 6 Выпуск: 2, 257–289, 2009 г.
  5. ^ Лю, Г. 2-е изд .: 2009 Методы без сетки, CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  6. ^ Лю Г.Р., Чжан Г.Й., Дай К.Ю., Ван Й.Й., Чжун Чж., Ли Г.Й. и Хан X. "Метод линейно согласованной точечной интерполяции (LC-PIM) для двумерных задач механики твердого тела" Международный журнал вычислительных методов, 2(4): 645–665, 2005.
  7. ^ G.R. Лю, Г. Чжан. «Методы интерполяции сглаженных точек на основе краев». Международный журнал вычислительных методов, 5(4): 621–646, 2008
  8. ^ G.R. Лю, Г. Чжан. «Нормированное G-пространство и ослабленная слабая (W2) формулировка метода интерполяции сглаженных точек на основе ячеек». Международный журнал вычислительных методов, 6(1): 147–179, 2009
  9. ^ Чен, Дж. С., Ву, К. Т., Юн, С. и Ю, Ю. (2001). «Стабилизированная согласованная узловая интеграция для методов Галеркина без сетки». Международный журнал численных методов в инженерии. 50: 435–466.
  10. ^ Г. Р. Лю и Г. Ю. Чжан. Решение с верхней границей для задач упругости: уникальное свойство метода линейно согласованной точечной интерполяции (LC-PIM). Международный журнал численных методов в инженерии, 74: 1128–1161, 2008.
  11. ^ Чжан З.К., Лю Г.Р., "Верхняя и нижняя оценки собственных частот: свойство сглаженных методов конечных элементов", Международный журнал численных методов в инженерии Vol. 84 Выпуск: 2, 149–178, 2010
  12. ^ Лю Г.Р., Нгуен-Той Т., Нгуен-Суан Х., Лам К.Ю. (2009) «Узловой метод сглаженных конечных элементов (NS-FEM) для верхних оценок решений задач механики твердого тела». Компьютеры и конструкции; 87: 14–26.
  13. ^ Лю Г.Р., Нгуен-Той Т., Лам К.Й. (2009 г.) «Метод сглаженных конечных элементов на основе ребер (ES-FEM) для анализа статических, свободных и вынужденных колебаний твердых тел». Журнал звука и вибрации; 320: 1100–1130.
  14. ^ Nguyen-Thoi T, Liu GR, Lam KY, GY Zhang (2009) «Метод сглаженных конечных элементов на основе граней (FS-FEM) для трехмерных линейных и нелинейных задач механики твердого тела с использованием 4-узловых тетраэдрических элементов». Международный журнал численных методов в инженерии; 78: 324–353
  15. ^ Лю Г.Р., Дай К.Ю., Нгуен-Той Т. (2007) "Сглаженный метод конечных элементов для задач механики". Вычислительная механика; 39: 859–877
  16. ^ Дай К.Ю., Лю Г.Р. (2007) «Анализ свободных и вынужденных колебаний с использованием метода сглаженных конечных элементов (SFEM)». Журнал звука и вибрации; 301: 803–820.
  17. ^ Дай К.Ю., Лю Г.Р., Нгуен-Той Т. (2007) "Метод n-сторонних многоугольных сглаженных конечных элементов (nSFEM) для механики твердого тела". Конечные элементы в анализе и дизайне; 43: 847－860.
  18. ^ а б Ли И, Лю Г. Р., Чжан Г. Ю., "Адаптивный подход NS / ES-FEM для двумерных контактных задач с использованием треугольных элементов", Конечные элементы в анализе и дизайне Том 47 Выпуск: 3, 256–275, 2011 г.
  19. ^ Лю Г.Р., Нгуен-Той Т., Лам К.Й. (2009) «Новый МКЭ путем масштабирования градиента штаммов с фактором α (αFEM)». Вычислительная механика; 43: 369–391
  20. ^ Лю Г.Р., Нгуен-Суан Х, Нгуен-Той Т., Сюй Х (2009) «Новая слабая форма и сверхконвергентный альфа-метод конечных элементов (SαFEM) для задач механики с использованием треугольных сеток». Журнал вычислительной физики; 228: 4055–4087
  21. ^ Zeng W, Liu GR, Li D, Dong XW (2016) Бета-метод конечных элементов (βFEM), основанный на методе сглаживания, для моделирования пластичности кристаллов. Компьютеры и конструкции; 162: 48-67
  22. ^ Цуй XY, Лю Г.Р., Ли Г.Й. и др. Формулировка тонкой пластины без степеней свободы вращения на основе метода интерполяции радиальной точки и треугольных ячеек, Международный журнал численных методов в инженерии Том 85, выпуск: 8, 958–986, 2011 г.
  23. ^ Лю Г.Р., Нгуен-Суан Х., Нгуен-Той Т. Теоретическое исследование сглаженных моделей МКЭ (S-FEM): свойства, точность и скорость сходимости, Международный журнал численных методов в инженерии Vol. 84 Выпуск: 10, 1222–1256, 2010 г.
  24. ^ Лю Г.Р., Нурбахшня Н., Чжан Ю.В., Новый сингулярный метод ES-FEM для моделирования полей сингулярных напряжений вблизи вершин трещин для линейных задач разрушения, Инженерная механика разрушения Том.78 Выпуск: 6 Страницы: 863–876, 2011
  25. ^ Лю Г.Р., Чен Л., Нгуен-Той Т. и др. Новый метод сглаженных конечных элементов на основе сингулярных узлов (NS-FEM) для верхних оценок решений проблем разрушения, Международный журнал численных методов в инженерии Том.83 Выпуск: 11, 1466–1497, 2010 г.
  26. ^ Лю Г.Р., Нурбахшня Н., Чен Л. и др. "Новая общая формулировка поля сингулярных напряжений с использованием метода Es-Fem для анализа трещин смешанного типа", Международный журнал вычислительных методов Vol. 7 Выпуск: 1, 191–214, 2010 г.
  27. ^ Цзэн В., Лю Г.Р., Цзян Ц., Донг XW, Чен HD, Бао Й., Цзян Ю. «Эффективный метод анализа разрушения, основанный на методе виртуального замыкания трещин, реализованной в CS-FEM», Прикладное математическое моделирование Vol. 40, Выпуск 5-6, 3783-3800, 2016
  28. ^ Чжан З.Б., Ву С.К., Лю Г.Р. и др. «Нелинейные переходные задачи теплопередачи с использованием Meshfree ES-PIM», Международный журнал нелинейных наук и численного моделирования Том 11, выпуск: 12, 1077–1091, 2010 г.
  29. ^ Ву С.К., Лю Г.Р., Цуй XY и др. «Метод интерполяции сглаженных точек по краям (ES-PIM) для анализа теплопередачи в системах быстрого производства», Международный журнал тепломассообмена Том 53 Выпуск: 9-10, 1938–1950, 2010
  30. ^ He ZC, Cheng AG, Zhang GY и др. «Снижение дисперсионной ошибки для акустических задач с использованием метода краевых сглаженных конечных элементов (ES-FEM)», Международный журнал численных методов в инженерии Vol. 86 Выпуск: 11 Страницы: 1322–1338, 2011
  31. ^ He ZC, Liu GR, Zhong ZH и др. «Связанный метод ES-FEM / BEM для задач взаимодействия жидкости и конструкции», Инженерный анализ с граничными элементами Vol. 35 Выпуск: 1, 140–147, 2011
  32. ^ Чжан З.К., Лю Г.Р., "Верхняя и нижняя оценки собственных частот: свойство сглаженных методов конечных элементов", Международный журнал численных методов в инженерии Том.84 Выпуск: 2, 149–178, 2010
  33. ^ Zhang ZQ, Liu GR, «Метод сглаженных конечных элементов на основе ребер (ES-FEM) с использованием трехузловых треугольных элементов для трехмерного нелинейного анализа пространственных мембранных структур», Международный журнал численных методов в инженерии, Vol. 86 Выпуск: 2 135–154, 2011 г.
  34. ^ Цзян Ц., Лю Г.Р., Хань Х, Чжан Ц.К., Цзэн В., Сглаженный метод конечных элементов для анализа анизотропной большой деформации желудочков пассивного кролика в диастоле, Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, Vol. 31 Выпуск: 1,1-25, 2015
  35. ^ Лю Г.Р., Зенг В., Нгуен-Суан Х. Обобщенный стохастический метод сглаженных ячеек сглаженных конечных элементов (GS_CS-FEM) для механики твердого тела, Конечные элементы в анализе и дизайне Т.63, 51-61, 2013
  36. ^ Нгуен-Той Т., Лю Г.Р., Нгуен-Суан Х. и др. «Адаптивный анализ с использованием узлового метода сглаженных конечных элементов (NS-FEM)», Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии Vol. 27 Выпуск: 2, 198–218, 2011 г.
  37. ^ Ли Э, Лю Г.Р., Тан В. и др. «Эффективный алгоритм решения проблемы фазового перехода в лечении опухолей с использованием альфа-МКЭ», Международный журнал термических наук Том 49 Выпуск: 10, 1954–1967, 2010
  38. ^ Цзэн В., Ларсен Дж. М., Лю Г. Р.. Метод сглаживания на основе конечно-элементного моделирования кристаллической пластичности кристаллических материалов, Международный журнал пластичности Т.65, 250-268, 2015
  39. ^ Тран Т.Н., Лю Г.Р., Нгуен-Суан Х. и др. «Метод сглаженных конечных элементов на основе ребер для первично-двойного анализа конструкций», Международный журнал численных методов в инженерии Том 82 Выпуск: 7, 917–938, 2010

внешняя ссылка