Срок действия облигации - Bond duration

Финансовые рынки
Публичный рынок Обмен  · Ценные бумаги
Рынок облигаций
Оценка облигаций Корпоративная облигация Фиксированный доход Государственная облигация Высокодоходный долг Муниципальная облигация Секьюритизация
Фондовый рынок
Обыкновенные акции Привилегированные акции Зарегистрированная акция Акции Сертификат акций Фондовая биржа
Другие рынки
Производные (Кредитный производный инструмент Обмен фьючерсов Гибридная безопасность ) Иностранная валюта (Валюта Курс обмена ) Товар Деньги Недвижимость Перестрахование
Внебиржевой (внебиржевой)
Нападающие Опции Спотовый рынок Свопы
Торговля
Участников Регулирование Клиринг
Связанные области
Банки и банковское дело Финансы корпоративный личный общественный

В финансы, то продолжительность финансового актив который состоит из фиксированных денежные потоки, например связь, это средневзвешенное до тех пор, пока не будут получены эти фиксированные денежные потоки. когда цена актива рассматривается как функция урожай, дюрация также измеряет чувствительность цены к доходности, скорость изменения цены относительно доходности или процентное изменение цены при параллельном изменении доходности.^[1][2][3]

Двойное использование слова «продолжительность» как средневзвешенного времени до погашения и как процентного изменения цены часто вызывает путаницу. Строго говоря, Продолжительность Маколея это название, данное средневзвешенному времени до получения денежных потоков, и измеряется в годах. Измененная продолжительность - это название чувствительности к цене и представляет собой процентное изменение цены на единицу изменения доходности.

Обе меры называются «продолжительностью» и имеют одинаковое (или близкое к одному) числовое значение, но важно помнить о концептуальных различиях между ними.^[4] Дюрация Маколея - это временная единица измерения в годах, которая действительно имеет смысл только для инструмента с фиксированными денежными потоками. Для стандартной облигации дюрация Маколея будет от 0 до срока погашения. Он равен сроку погашения тогда и только тогда, когда облигация является бескупонная облигация.

С другой стороны, модифицированная дюрация является математической производной (скоростью изменения) цены и измеряет процентную скорость изменения цены по отношению к доходности. (Чувствительность цены к доходности также может быть измерена в абсолютных (доллар или же евро и т. д.), а абсолютную чувствительность часто называют доллар (евро) дюрация, DV01, BPV или дельта (δ или Δ) риск). Концепция модифицированной дюрации может применяться к инструментам, чувствительным к изменению процентной ставки, с нефиксированными денежными потоками, и, таким образом, может применяться к более широкому спектру инструментов, чем дюрация Маколея. Модифицированная дюрация используется в современных финансах чаще, чем дюрация Маколея.

Для повседневного использования равенство (или почти равенство) значений Маколея и модифицированной продолжительности может быть полезным подспорьем для интуиции. Например, стандартная десятилетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея несколько, но не значительно меньше 10 лет, и из этого мы можем сделать вывод, что модифицированная дюрация (чувствительность к цене) также будет несколько, но не резко меньше 10%. Аналогичным образом, двухлетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея несколько ниже 2 лет и модифицированную дюрацию несколько ниже 2%.

Продолжительность Маколея

Продолжительность Маколея, названный в честь Фредерик Маколей кто представил концепцию, является средневзвешенное зрелость денежные потоки, в котором время получения каждого платежа взвешивается по приведенной стоимости этого платежа. Знаменатель - это сумма весов, которая и есть цена облигации.^[5] Рассмотрим некоторый набор фиксированных денежных потоков. В приведенная стоимость из этих денежных потоков:

${ displaystyle V = sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i}}$

Дюрация Маколея определяется как:^[1][2][3][6]

(1)     ${ displaystyle MacD = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} { sum _ {i = 1} ^ {n} {PV_ {i} }}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} {t_ {i} PV_ {i}}} {V}} = sum _ {i = 1} ^ {n} t_ { i} { frac {PV_ {i}} {V}}}$

куда:

• ${ displaystyle i}$ индексирует денежные потоки,
• ${ displaystyle PV_ {i}}$ это приведенная стоимость из ${ displaystyle i}$уплата наличными от актив,
• ${ displaystyle t_ {i}}$ это время в годах до ${ displaystyle i}$ый платеж будет получен,
• ${ displaystyle V}$ - текущая стоимость всех будущих денежных выплат от актива.

Во втором выражении дробный член - это отношение денежного потока ${ displaystyle PV_ {i}}$ к общей PV. Эти члены добавляют к 1,0 и служат весами для средневзвешенного значения. Таким образом, общее выражение представляет собой средневзвешенное время до выплаты денежного потока с весом ${ displaystyle { frac {PV_ {i}} {V}}}$ являющийся долей приведенной стоимости актива к денежному потоку ${ displaystyle i}$.

Для набора полностью положительных фиксированных денежных потоков средневзвешенное значение будет находиться между 0 (минимальное время) или, точнее, ${ displaystyle t_ {1}}$ (время до первого платежа) и время окончательного денежного потока. Дюрация Маколея будет равна окончательному сроку погашения тогда и только тогда, когда будет произведен только один платеж при наступлении срока погашения. Символами, если денежные потоки по порядку: ${ Displaystyle (т_ {1}, ..., т_ {п})}$, тогда:

${ displaystyle t_ {1} leq MacD leq t_ {n},}$

при этом неравенство будет строгим, если у него нет единого денежного потока. Что касается стандартных облигаций (для которых денежные потоки фиксированные и положительные), это означает, что дюрация Маколея будет равна сроку погашения только для бескупонной облигации.

Диаграмма длительности Маколея представлена ​​на рисунке 1.

Рис.1: Продолжительность Маколея

Это представляет собой облигацию, обсуждаемую в примере ниже, - двухлетний срок погашения с купоном 20% и непрерывно начисляемой доходностью 3,9605%. Кружки представляют собой приведенную стоимость платежей, причем купонные выплаты становятся меньше по мере того, как они становятся в будущем, и последний крупный платеж, включающий как купонную выплату, так и окончательное погашение основной суммы долга. Если бы эти круги были помещены на балансир, точка опоры (сбалансированный центр) балки представляла бы средневзвешенное расстояние (время до платежа), которое в данном случае составляет 1,78 года.

Для большинства практических расчетов продолжительность Маколея рассчитывается с использованием доходность к погашению рассчитать ${ displaystyle PV (i)}$:

(2)     ${ displaystyle V = sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} CF_ {i} cdot e ^ {- y cdot t_ {i }}}$

(3)     ${ displaystyle MacD = sum _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} { frac {CF_ {i} cdot e ^ {- y cdot t_ {i}}} {V}}}$

куда:

• ${ displaystyle i}$ индексирует денежные потоки,
• ${ displaystyle PV_ {i}}$ это текущая стоимость ${ displaystyle i}$денежный платеж из актива,
• ${ displaystyle CF_ {i}}$ это денежный поток из ${ displaystyle i}$й платеж из актива,
• ${ displaystyle y}$ доходность к погашению (непрерывно начисляемая) для актива,
• ${ displaystyle t_ {i}}$ это время в годах до ${ displaystyle i}$ый платеж будет получен,
• ${ displaystyle V}$ - текущая стоимость всех денежных выплат от актива до срока погашения.

Маколей предложил две альтернативные меры:

• Выражение (1) равно Продолжительность Фишера – Вейля который использует цены облигаций с нулевым купоном в качестве факторов дисконтирования, и
• Выражение (3), в котором для расчета коэффициентов дисконтирования используется доходность облигации к погашению.

Ключевое различие между двумя дюрациями заключается в том, что дюрация Фишера – Вейля допускает возможность наклонной кривой доходности, тогда как вторая форма основана на постоянном значении доходности. ${ displaystyle y}$, не зависящие от срока выплаты. С использованием компьютеров обе формы могут быть вычислены, но выражение (3), предполагающее постоянную доходность, более широко используется из-за применения к измененной продолжительности.

Продолжительность в сравнении со средневзвешенной продолжительностью жизни

Сходство как в значениях, так и в определениях дюрации Маколея и средневзвешенной продолжительности жизни может привести к путанице в целях и расчетах этих двух. Например, 5-летняя облигация с фиксированной процентной ставкой будет иметь средневзвешенный срок жизни 5 и дюрацию Маколея, которая должна быть очень близкой. Аналогично ведут себя ипотеки. Различия между ними следующие:

1. Дюрация Маколея измеряет только денежные потоки с фиксированным периодом. Средневзвешенный срок жизни учитывает все основные денежные потоки, будь то фиксированные или плавающие. Таким образом, для гибридных ипотечных кредитов ARM с фиксированным периодом в целях моделирования весь фиксированный период заканчивается в дату последнего фиксированного платежа или за месяц до сброса.
2. Дюрация Маколея дисконтирует все денежные потоки по соответствующей стоимости капитала. Средневзвешенная продолжительность жизни не делает скидку.
3. Дюрация Маколея использует как основную сумму, так и проценты при взвешивании денежных потоков. Средневзвешенный срок жизни использует только основную сумму.

Измененная продолжительность

В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация (иногда сокращенно MD) является мерой чувствительности к цене, определяемой как процентная производная цены по отношению к доходности (логарифмическая производная цены облигации по отношению к доходности). Модифицированная дюрация применяется, когда облигация или другой актив рассматривается как функция доходности. В этом случае можно измерить логарифмическую производную по доходности:

${ Displaystyle ModD (y) Equiv - { frac {1} {V}} cdot { frac { partial V} { partial y}} = - { frac { partial ln (V)} { partial y}}}$

Когда доходность выражается непрерывно сложенной, дюрация Маколея и модифицированная дюрация численно равны. Чтобы убедиться в этом, если мы возьмем производную от цены или приведенной стоимости, выражение (2), относительно непрерывно начисляемой доходности ${ displaystyle y}$ Мы видим, что:

${ displaystyle { frac { partial V} { partial y}} = - sum _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} cdot CF_ {i} cdot e ^ {- y cdot t_ {i}} = - MacD cdot V,}$

Другими словами, для доходностей, выражаемых непрерывно,

${ displaystyle ModD = MacD}$.^[1]

куда:

• ${ displaystyle i}$ индексирует денежные потоки,
• ${ displaystyle t_ {i}}$ это время в годах до ${ displaystyle i}$ый платеж будет получен,
• ${ displaystyle V}$ - текущая стоимость всех денежных выплат от актива.

Периодически смешанный

На финансовых рынках доходность обычно выражается периодически начисляемой (например, ежегодно или каждые полгода), а не непрерывно. Тогда выражение (2) принимает следующий вид:

${ displaystyle V (y_ {k}) = sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {CF_ {i}} { (1 + y_ {k} / k) ^ {k cdot t_ {i}}}}}$

${ displaystyle MacD = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {t_ {i}} {V (y_ {k})}} cdot { frac {CF_ {i}} {(1 + y_ {k} / k) ^ {k cdot t_ {i}}}}}$

Чтобы найти модифицированную дюрацию, когда мы берем производную от значения ${ displaystyle V}$ относительно периодически начисляемой доходности находим^[7]

${ displaystyle { frac { partial V} { partial y_ {k}}} = - { frac {1} {(1 + y_ {k} / k)}} cdot sum _ {я = 1 } ^ {n} t_ {i} cdot { frac {CF_ {i}} {(1 + y_ {k} / k) ^ {k cdot t_ {i}}}} = - { frac {MacD cdot V (y_ {k})} {(1 + y_ {k} / k)}}}$

Перестановка (разделение обеих сторон на -V) дает:

${ displaystyle { frac {MacD} {(1 + y_ {k} / k)}} = - { frac {1} {V (y_ {k})}} cdot { frac { partial V} { partial y_ {k}}} Equiv ModD}$

что является хорошо известной взаимосвязью между модифицированной продолжительностью и продолжительностью Маколея:

${ displaystyle ModD = { frac {MacD} {(1 + y_ {k} / k)}}}$

куда:

• ${ displaystyle i}$ индексирует денежные потоки,
• ${ displaystyle k}$ - частота начисления сложных процентов в год (1 для годового, 2 для полугодового, 12 для ежемесячного, 52 для еженедельного и т. д.),
• ${ displaystyle CF_ {i}}$ денежный поток ${ displaystyle i}$й платеж из актива,
• ${ displaystyle t_ {i}}$ время в годы до ${ displaystyle i}$будет получен платеж (например, двухлетний полугодовой платеж будет представлен ${ displaystyle t_ {i}}$ индекс 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0),
• ${ displaystyle y_ {k}}$ доходность к погашению для актива, периодически начисляемая
• ${ displaystyle V}$ - текущая стоимость всех денежных выплат от актива.

Это дает хорошо известную связь между длительностью Маколея и модифицированной продолжительностью, приведенной выше. Следует помнить, что, хотя продолжительность Маколея и модифицированная длительность тесно связаны, они концептуально различны. Дюрация Маколея - это средневзвешенное время до погашения (измеряемое в единицах времени, например в годах), в то время как модифицированная дюрация является мерой чувствительности к цене, когда цена рассматривается как функция от доходности. процентное изменение в цене относительно доходности.

Единицы

Дюрация Маколея измеряется годами.

Модифицированная продолжительность измеряется как процентное изменение цены на одну единицу (процент точка) изменение доходности в год (например, доходность увеличивается с 8% в год (y = 0,08) до 9% в год (y = 0,09)). Это даст модифицированной продолжительности числовое значение, близкое к продолжительности Маколея (и равное, когда ставки непрерывно усложняются).

Формально модифицированная продолжительность - это полу-эластичность, то процентов изменение цены на единица измерения изменение урожайности, а не эластичность, который представляет собой процентное изменение выпуска для процент изменение ввода. Модифицированная дюрация - это скорость изменения, процентное изменение цены на изменение доходности.

Нефиксированные денежные потоки

Модифицированная дюрация может быть продлена на инструменты с нефиксированными денежными потоками, в то время как дюрация Маколея применяется только к инструментам с фиксированными денежными потоками. Модифицированная дюрация определяется как логарифмическая производная цены относительно доходности, и такое определение будет применяться к инструментам, которые зависят от доходности, независимо от того, являются ли денежные потоки фиксированными.

Конечные изменения урожайности

Модифицированная дюрация определяется выше как производная (поскольку этот термин относится к исчислению) и поэтому основана на бесконечно малых изменениях. Модифицированная дюрация также полезна в качестве меры чувствительности рыночной цены облигации к конечным условиям. процентная ставка (т.е. доходность) движения. За небольшое изменение урожайности ${ displaystyle Delta y}$,

${ displaystyle ModD приблизительно - { frac {1} {V}} { frac { Delta V} { Delta y}} Rightarrow Delta V приблизительно -V cdot ModD cdot Delta y}$

Таким образом, модифицированная дюрация приблизительно равна процентному изменению цены для данного конечного изменения доходности. Таким образом, 15-летняя облигация с дюрацией Маколея 7 лет будет иметь модифицированную дюрацию примерно 7 лет и упадет примерно на 7% в стоимости, если процентная ставка увеличится на один процентный пункт (скажем, с 7% до 8%).^[8]

Продолжительность Фишера – Вейля

Дюрация Фишера – Вейля - это уточнение дюрации Маколея, которое учитывает временную структуру процентных ставок. Дюрация Фишера – Вейля рассчитывает текущую стоимость соответствующих денежных потоков (более строго) с использованием нулевого купонного дохода для каждого соответствующего срока погашения.^[9]

Срок действия ключевой ставки

Дюрации ключевой ставки (также называемые частичными DV01 или частичными дюрациями) являются естественным продолжением общей модифицированной дюрации для измерения чувствительности к сдвигам различных частей кривой доходности. Дюрация ключевой ставки может быть определена, например, в отношении бескупонных ставок со сроками погашения «1M», «3M», «6M», «1Y», «2Y», «3Y», «5Y», «7Y». , «10 лет», «15 лет», «20 лет», «25 лет», «30 лет». Томас Хо (1992) ^[10] введен термин дюрация ключевой ставки. Reitano рассмотрела многофакторные модели кривой доходности еще в 1991 г. ^[11] и еще раз вернулся к этой теме в недавнем обзоре.^[12]

Дюрация ключевых ставок требует, чтобы мы оценивали инструмент вне кривой доходности, и требует построения кривой доходности. Первоначальная методология Хо была основана на оценке инструментов от нулевой или спотовой кривой доходности и использовала линейную интерполяцию между «ключевыми ставками», но идея применима к кривым доходности, основанным на форвардных курсах, номинальных курсах и так далее. Многие технические проблемы возникают для дюрации ключевой ставки (частичные DV01), которые не возникают для стандартной общей модифицированной дюрации из-за зависимости дюрации ключевой ставки от конкретного типа кривой доходности, используемой для оценки инструментов (см. Coleman, 2011 ^[3]).

Формулы

Для стандартной облигации с фиксированными полугодовыми выплатами закрытая формула дюрации облигации является:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle { text {Dur}} = { frac {1} {P}} left (C { frac {(1 + ai) (1 + i) ^ {m} - (1 + i) - (m-1 + a) i} {i ^ {2} (1 + i) ^ {(m-1 + a)}}} + { frac {FV (m-1 + a)} {(1+ i) ^ {(m-1 + a)}}} right)}$

• FV = номинальная стоимость
• C = купонная выплата за период (полугодие)
• я = ставка дисконтирования за период (полугодие)
• а = доля периода, оставшегося до следующей выплаты купона
• м = количество полных купонных периодов до погашения
• п = цена облигации (приведенная стоимость денежных потоков, дисконтированных по ставке я)

Для облигации с купонной периодичностью ${ displaystyle k}$ но с целым числом периодов (чтобы не было периода дробных выплат), формула упрощается до:^[13]

${ Displaystyle MacD = left [{ frac {(1 + y / k)} {y / k}} - { frac {100 (1 + y / k) + m (c / k-100y / k) } {(c / k) [(1 + y / k) ^ {m} -1] + 100y / k}} right] / k}$

куда

• у = Доходность (в год, в процентах),
• c = Купон (в год, в десятичной форме),
• м = Количество купонных периодов.

Пример

Рассмотрим двухлетнюю облигацию с номинальной стоимостью 100 долларов США, полугодовым купоном 20% и доходностью 4% полугодовой совокупной доходности. Общий PV будет:

${ displaystyle V = sum _ {i = 1} ^ {n} PV_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {CF_ {i}} {(1 + y / k ) ^ {k cdot t_ {i}}}} = sum _ {i = 1} ^ {4} { frac {10} {(1 + .04 / 2) ^ {i}}} + { гидроразрыв {100} {(1 + .04 / 2) ^ {4}}}}$

${ displaystyle = 9,804 + 9,612 + 9,423 + 9,238 + 92,385 = 130,462}$

Тогда продолжительность Маколея равна

${ displaystyle { text {MacD}} = 0,5 cdot { frac {9.804} {130.462}} + 1.0 cdot { frac {9.612} {130.462}} + 1.5 cdot { frac {9.423} {130.462 }} + 2.0 cdot { frac {9.238} {130.462}} + 2.0 cdot { frac {92.385} {130.462}} = 1.777 , { text {years}}}$.

Простая формула выше дает (y / k = .04 / 2 = .02, c / k = 20/2 = 10):

${ displaystyle { text {MacD}} = left [{ frac {(1.02)} {0.02}} - { frac {100 (1.02) +4 (10-2)} {10 [(1.02) ^ {4} -1] +2}} right] /2=1.777 , { text {years}}}$

Модифицированная дюрация, измеряемая как процентное изменение цены на изменение доходности на один процентный пункт, составляет:

${ displaystyle { text {ModD}} = { frac { text {MacD}} {(1 + y / k)}} = { frac {1.777} {(1 + .04 / 2)}} = 1.742}$ (% изменение цены на 1 процентный пункт изменения доходности)

DV01, измеренный как изменение цены облигации с номинальной стоимостью 100 долларов в долларах на изменение доходности на один процентный пункт, равен

${ displaystyle { text {DV01}} = { frac {{ text {ModD}} cdot 130.462} {100}} = 2.27}$ ($ за изменение доходности на 1 процентный пункт)

где деление на 100 связано с тем, что измененная продолжительность - это процентное изменение.

Пошаговый пример

^[14]Рассмотрим облигацию с номинальной стоимостью 1000 долларов, купонной ставкой 5% и годовой доходностью 6,5% со сроком погашения 5 лет. Шаги для вычисления продолжительности следующие:

1. Оцените стоимость облигации. Купоны будут составлять 50 долларов в годы 1, 2, 3 и 4. Затем, в год 5, по облигации будет выплачен купон и основная сумма, на общую сумму 1050 долларов. При дисконтировании к текущей стоимости 6,5% стоимость облигации составляет 937,66 долларов США. Деталь следующая:

Год 1: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Год 2: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Год 3: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Год 4: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Год 5: 1050 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Умножьте время получения каждого денежного потока на его текущую стоимость.

Год 1: 1 * 46,95 $ = 46,95

Год 2: 2 * 44,08 $ = 88,17

Год 3: 3 * 41,39 $ = 124,18

Год 4: 4 * 38,87 $ = 155,46

Год 5: 5 * 766,37 = 3831,87

ИТОГО: 4246,63

3. Сравните итоговую сумму из шага 2 со стоимостью облигации (шаг 1).

Продолжительность Маколея: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Дюрация доллара, DV01, BPV, Bloomberg «Риск»

В долларовая дюрация или же DV01 или же BPV или Bloomberg Риск определяется как отрицательное значение производной стоимости по доходности:

${ displaystyle D _ { $} = DV01 = - { frac { partial V} { partial y}}.}$

так что это произведение измененной продолжительности и цены (стоимости):

${ Displaystyle D _ { $} = DV01 = BPV = V cdot ModD / 100}$ ($ за изменение доходности на 1 процентный пункт)

или же

${ Displaystyle D _ { $} = DV01 = V cdot ModD / 10000}$ ($ за изменение доходности на 1 базисный пункт)

DV01 аналогичен дельте в ценообразовании производных финансовых инструментов (греки) - это отношение изменения цены на выпуске (в долларах) к изменению единицы на входе (базисная точка доходности). Дюрация в долларах или DV01 - это изменение цены в доллары не в процент. Он показывает изменение стоимости облигации в долларах на единицу изменения доходности. Это часто измеряется на 1 базисный пункт - DV01 сокращенно от «долларовой стоимости 01» (или 1 базисного пункта). Название BPV (стоимость базисного пункта ) или Bloomberg также используется термин «риск», часто применяемый к изменению доллара для условного изменения доходности на 100 б.п. на 100 долларов, что дает те же единицы, что и дюрация. Иногда используется PV01 (приведенная стоимость 01), хотя PV01 более точно относится к стоимости аннуитета в один доллар или один базисный пункт. (Для облигаций с номиналом и квартиры кривая доходности DV01, производная от цены относительно цены доходность и PV01, величина годового дохода в один доллар, фактически будут иметь одинаковое значение.^{[нужна цитата ]}) DV01 или долларовая дюрация могут использоваться для инструментов с нулевой авансовой стоимостью, таких как процентные свопы где процентные изменения и измененная продолжительность менее полезны.

Применение к стоимости, подверженной риску (VaR)

Срок действия доллара ${ displaystyle D _ { $}}$ обычно используется для стоимость, подверженная риску (VaR) расчет. Чтобы проиллюстрировать приложения для управления рисками портфеля, рассмотрим портфель ценных бумаг, зависящих от процентных ставок. ${ displaystyle r_ {1}, ldots, r_ {n}}$ как факторы риска, и пусть

${ Displaystyle V = V (r_ {1}, ldots, r_ {n}) ,}$

обозначают стоимость такого портфеля. Тогда вектор экспозиции ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = ( omega _ {1}, ldots, omega _ {n})}$ имеет компоненты

${ displaystyle omega _ {i} = - D _ { $, i}: = { frac { partial V} { partial r_ {i}}}.}$

Соответственно, изменение стоимости портфеля можно аппроксимировать как

${ displaystyle Delta V = sum _ {i = 1} ^ {n} omega _ {i} , Delta r_ {i} + sum _ {1 leq i, j leq n} O ( Delta r_ {i} , Delta r_ {j}),}$

то есть компонент, линейный по отношению к изменениям процентной ставки, плюс член ошибки, который является как минимум квадратичным. Эту формулу можно использовать для расчета VaR портфеля, игнорируя термины более высокого порядка. Обычно кубические или более высокие члены усекаются. Квадратичные члены, если они включены, могут быть выражены в терминах (многовариантной) выпуклости облигаций. Можно делать предположения о совместное распределение процентных ставок, а затем рассчитать VaR по Моделирование Монте-Карло или, в некоторых особых случаях (например, Гауссово распределение в предположении линейного приближения), даже аналитически. Формулу также можно использовать для расчета DV01 портфеля (см. Ниже), и ее можно обобщить для включения факторов риска помимо процентных ставок.

Риск - дюрация как чувствительность к процентной ставке

Основное использование дюрации (модифицированной дюрации) заключается в измерении чувствительности к процентной ставке или подверженности риску.Думать о риске с точки зрения процентных ставок или доходности очень полезно, потому что это помогает нормализовать различные инструменты, которые в противном случае были бы разными. Рассмотрим, например, следующие четыре инструмента, каждый с окончательным сроком погашения 10 лет:

Все четыре имеют 10-летний срок погашения, но чувствительность к процентным ставкам и, следовательно, риск будут разными: бескупонный имеет самую высокую чувствительность, а аннуитет - самый низкий.

Рассмотрим сначала вложение 100 долларов в каждую, что имеет смысл для трех облигаций (купонная облигация, аннуитет, бескупонная облигация - это не имеет смысла для процентного свопа, для которого нет начальных инвестиций). Модифицированная дюрация - полезный показатель для сравнения чувствительности к процентной ставке по всем трем. Бескупонная облигация будет иметь самую высокую чувствительность, изменяясь со скоростью 9,76% на изменение доходности на 100 б.п. Это означает, что если доходность вырастет с 5% до 5,01% (рост на 1 б.п.), цена упадет примерно на 0,0976% или изменится цена с 61,0271 доллара за 100 долларов до примерно 60,968 долларов. Первоначально вложенные 100 долларов упадут примерно до 99,90 долларов. Аннуитет имеет самую низкую чувствительность, примерно вдвое меньше, чем у бескупонной облигации, с модифицированной дюрацией 4,72%.

В качестве альтернативы, мы могли бы рассматривать каждый инструмент номинальной стоимостью 100 долларов. В этом случае BPV или DV01 (долларовая стоимость 01 или долларовая дюрация) является более естественной мерой. BPV в таблице - это изменение цены в долларах на условные 100 долларов при изменении доходности на 100 б.п. BPV будет иметь смысл для процентного свопа (для которого модифицированная дюрация не определена), а также для трех облигаций.

Модифицированная продолжительность измеряет размер чувствительности к процентной ставке. Иногда мы можем ошибаться, полагая, что он измеряет какая часть кривой доходности, к которой чувствителен инструмент. В конце концов, модифицированная дюрация (% изменения цены) - это почти то же число, что и дюрация Маколея (своего рода средневзвешенное количество лет до погашения). Например, приведенный выше аннуитет имеет дюрацию Маколея 4,8 года, и мы можем подумать, что он чувствителен к 5-летней доходности. Но он имеет денежные потоки до 10 лет и, следовательно, будет чувствителен к 10-летней доходности. Если мы хотим измерить чувствительность к частям кривой доходности, нам необходимо учитывать продолжительность ключевой ставки.

Для облигаций с фиксированными денежными потоками изменение цены может происходить из двух источников:

1. Течение времени (сближение к номиналу). Это, конечно, полностью предсказуемо и, следовательно, не представляет риска.
2. Изменение урожайности. Это может быть связано с изменением эталонной доходности и / или изменением спреда доходности.

Отношение доходности к цене является обратным, и модифицированная дюрация дает очень полезную меру чувствительности цены к доходности. В качестве первой производной он обеспечивает линейное приближение. При больших изменениях урожайности выпуклость могут быть добавлены для получения квадратичного приближения или приближения второго порядка. В качестве альтернативы, что часто более полезно, выпуклость может использоваться для измерения того, как изменяется модифицированная дюрация при изменении доходности. Аналогичные меры риска (первого и второго порядка), используемые на рынках опционов, являются дельта и гамма.

Модифицированная дюрация и DV01 в качестве показателей чувствительности к процентной ставке также полезны, потому что они могут применяться к инструментам и ценным бумагам с переменными или условными денежными потоками, такими как опционы.

Встроенные параметры и срок действия

Для облигаций, которые имеют встроенные параметры, таких как облигации с правом обратной продажи и с правом отзыва, измененная дюрация не будет правильно приближать движение цены при изменении доходность к погашению.

Рассмотрим облигацию со встроенным опционом пут. Например, облигация на сумму 1000 долларов США, которая может быть погашена держателем по номинальной стоимости в любое время до наступления срока погашения облигации (то есть американский пут-опцион). Какими бы высокими ни были процентные ставки, цена облигации никогда не опустится ниже 1000 долларов (без учета риск контрагента ). Чувствительность цены этой облигации к изменениям процентной ставки отличается от облигации без права обратной продажи с идентичными денежными потоками.

Для оценки таких облигаций необходимо использовать опционная цена для определения стоимости облигации, а затем можно вычислить ее дельта (и, следовательно, его лямбда), которая является продолжительностью. В эффективная продолжительность представляет собой дискретное приближение к последнему и требует модели ценообразования опционов.

${ displaystyle { text {Эффективная продолжительность}} = { frac {V _ {- Delta y} -V _ {+ Delta y}} {2 (V_ {0}) Delta y}}}$

где Δу - это сумма изменения доходности, и ${ Displaystyle V _ {- Delta y} { text {и}} V _ {+ Delta y}}$ являются значениями, которые примет облигация, если доходность упадет на у или поднимается на у, соответственно. (А "параллельный сдвиг"; обратите внимание, что это значение может варьироваться в зависимости от значения, используемого для Δу.)

Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для весь кривая доходности (в отличие от единственной доходности к погашению) и, следовательно, фиксация поведения исполнения в каждый момент срока действия опциона как функции как времени, так и процентных ставок; видеть Решетчатая модель (финансы) # Деривативы по процентной ставке.

Продолжительность спреда

Чувствительность рыночной цены облигации к изменению Скорректированный спред по опциону (ОАГ). Таким образом, индекс или базовая кривая доходности остается неизменной. Активы с плавающей ставкой, которые сравниваются с индексом (например, 1-месячный или 3-месячный LIBOR) и периодически обновляются, будут иметь эффективную дюрацию, близкую к нулю, но длительность спреда, сопоставимую с идентичной в остальном облигацией с фиксированной ставкой.

Средняя продолжительность

Чувствительность портфолио облигаций, таких как облигация паевой фонд изменения процентных ставок также могут иметь значение. Часто указывается средняя дюрация облигаций в портфеле. Дюрация портфеля равна средневзвешенному сроку погашения всех денежных потоков в портфеле. Если каждая облигация имеет одинаковую доходность к погашению, это равно средневзвешенному значению дюрации портфеля облигаций с весами, пропорциональными ценам облигаций.^[1] В противном случае средневзвешенное значение дюрации облигации является лишь хорошим приближением, но его все же можно использовать для вывода о том, как стоимость портфеля изменится в ответ на изменения процентных ставок.

Выпуклость

Продолжительность линейный мера того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена не изменяется линейно, а скорее выпуклая функция процентных ставок. Выпуклость - это мера того, как цена облигации изменяется при изменении процентной ставки. В частности, продолжительность можно сформулировать как первую производная функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке и выпуклости как второй производной.

Выпуклость также дает представление о распределении будущих денежных потоков. (Так же, как дюрация дает дисконтированное среднее значение, так и выпуклость может использоваться для расчета дисконтированного стандартного отклонения, скажем, доходности.)

Обратите внимание, что выпуклость может быть положительной или отрицательной. Связь с положительная выпуклость не будет иметь никаких функций отзыва, т. е. эмитент должен выкупить облигацию при наступлении срока погашения, что означает, что по мере снижения ставок ее дюрация и цена будут расти.

С другой стороны, связь с функции отзыва - т.е. когда эмитент может досрочно погасить облигацию - считается имеющим отрицательная выпуклость по мере приближения ставок к страйку опциона, то есть его продолжительность будет уменьшаться по мере падения ставок, и, следовательно, его цена будет расти медленнее. Это связано с тем, что эмитент может выкупить старую облигацию с высоким купоном и перевыпустить новую облигацию по более низкой ставке, тем самым предоставляя эмитенту ценные возможности. Как и в предыдущем случае, в этих случаях может быть более правильным вычислить эффективная выпуклость.

Примерами облигаций с правом отзыва являются ценные бумаги, обеспеченные ипотекой (сквозные предоплаты по основной сумме ипотечного кредита) с ипотечными кредитами с фиксированной ставкой на 15 или 30 лет в американском стиле.

Смотрите также

• Оценка облигаций
• Соглашение о подсчете дней
• Иммунизация (финансирование)
• Список финансовых тем
• Срок хранения

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Фабоцци, Фрэнк Дж. (1999), «Основы продолжительности и выпуклости», Срок действия, выпуклость и другие меры риска по облигациям, Серия Фрэнка Дж. Фабоцци, 58, Джон Уайли и сыновья, ISBN  9781883249632CS1 maint: ref = harv (связь)
• Мэйл, янв (1994), Стандартные методы расчета ценных бумаг: формулы для ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей, 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков, ISBN  1-882936-01-9. Стандартный справочник конвенций, применимых к ценным бумагам США.

• Рохас Арсу, Хорхе; Рока, Флоренсия (декабрь 2018 г.), Разъяснение управления рисками и производных финансовых инструментов, Amazon Kindle Direct Publishing, стр. 43–44, ISBN  9781791814342

внешняя ссылка

• Энциклопедия рисков для хорошего объяснения многочисленных определений продолжительности и их происхождения.
• Пошаговое видео-руководство
• Объяснение длительности Investopedia