Конденсация Бозе – Эйнштейна (теория сетей) - Bose–Einstein condensation (network theory)

Конденсация Бозе – Эйнштейна на 400, 200 и 50 нанокельвинов (слева направо). По мере падения температуры все больше и больше атомов «конденсируются» до одного и того же энергетического уровня, производя более заметные «пики».

Сетевая наука
Теория
График Комплексная сеть Заражение Маленький мир Без накипи Структура сообщества Перколяция Эволюция Управляемость Рисование графика Социальный капитал Анализ ссылок Оптимизация Взаимность Закрытие Гомофилия Транзитивность Предпочтительная привязанность Теория баланса Сетевой эффект Влияние общества
Типы сетей
Информационная (вычислительная) Телекоммуникации Транспорт Социальное Научное сотрудничество Биологические Искусственный нейрон Взаимозависимый Семантический Пространственный Зависимость Поток на чипе
Графики
Функции Клика Компонент Резать Цикл Структура данных Край Петля Район Дорожка Вершина Список смежности  / матрица Список заболеваемости  / матрица Типы Двудольный Полный Режиссер Гипер Мульти Случайный Взвешенный
Метрики Алгоритмы
Центральность Степень Близость Близость PageRank Мотив Кластеризация Распределение степеней Ассортативность Расстояние Модульность Эффективность
Модели
Топология Случайный график Эрдеш – Реньи Барабаши – Альберт Фитнес модель Уоттс-Строгац Экспоненциальный случайный (ERGM) Случайный геометрический (RGG) Гиперболический (HGN) Иерархический Стохастический блок Максимальная энтропия Мягкая конфигурация Тест LFR Динамика Логическая сеть агент на основе Эпидемия /СЭР
Списки Категории
Темы Программного обеспечения Сетевые ученые Категория: Теория сетей Категория: Теория графов

Конденсация Бозе – Эйнштейна в сетях^[1] это фаза перехода наблюдается в сложные сети что можно описать Модель Бьянкони – Барабаши.^[2] Этот фазовый переход предсказывает феномен "победитель получает все" в сложных сетях и может быть математически отображен на математическая модель объясняя Конденсация Бозе – Эйнштейна по физике.

Фон

В физика, а Конденсат Бозе – Эйнштейна это состояние вещества, которое возникает в некоторых газах при очень низких температурах. Любую элементарную частицу, атом или молекулу можно разделить на два типа: бозон или фермион. Например, электрон - это фермион, а фотон или гелий атом - бозон. В квантовая механика, энергия (связанной) частицы ограничена набором дискретных значений, называемых уровнями энергии. Важной характеристикой фермиона является то, что он подчиняется Принцип исключения Паули, который утверждает, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Бозоны, с другой стороны, не подчиняются принципу исключения, и любое их количество может существовать в одном и том же состоянии. В результате при очень низких энергиях (или температурах) подавляющее большинство бозонов в Бозе-газ может быть загнан в состояние с наименьшей энергией, создавая конденсат Бозе – Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн установили, что статистические свойства Бозе-газ регулируются Статистика Бозе – Эйнштейна. В статистике Бозе – Эйнштейна любое количество идентичных бозонов может находиться в одном состоянии. В частности, учитывая энергетическое состояние ε, количество невзаимодействующих бозонов в тепловом равновесии при температуре Т = 1/β дается числом занятия Бозе

${displaystyle n (varepsilon) = {frac {1} {e ^ {eta (varepsilon -mu)} - 1}}}$

где постоянная μ определяется уравнением, описывающим сохранение числа частиц

${displaystyle N = int дварепсилон, g (варепсилон), n (варепсилон)}$

с грамм(ε) - плотность состояний системы.

Это последнее уравнение может не иметь решения при достаточно низких температурах, когда грамм(ε) → 0 за ε → 0. В этом случае критическая температура Т_c найдено такое, что для Т < Т_c система находится в конденсированной фазе Бозе-Эйнштейна, и конечная часть бозонов находится в основном состоянии.

Плотность состояний грамм(ε) зависит от размерности пространства. Особенно ${displaystyle g (varepsilon) sim varepsilon ^ {гидроразрыв {d-2} {2}}}$ следовательно грамм(ε) → 0 за ε → 0 только в размерах d > 2. Следовательно, бозе-эйнштейновская конденсация идеального бозе-газа может происходить только для размеров d > 2.

Концепция

Эволюция многих сложных систем, включая World Wide Web, деловые сети и сети цитирования, закодирована в динамической паутине, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Эволюция этих сетей отражена Модель Бьянкони-Барабаши, который включает в себя две основные характеристики растущих сетей: их постоянный рост за счет добавления новых узлов и ссылок и неоднородную способность каждого узла приобретать новые ссылки, описываемые пригодностью узла. Поэтому модель также известна как фитнес-модель.Несмотря на их необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут быть отображены на Бозе-газ. В этом отображении каждый узел отображается в энергетическое состояние, определяемое его пригодностью, и отображается каждое новое соединение, прикрепленное к данному узлу. бозе-частице, занимающей соответствующее энергетическое состояние. Это отображение предсказывает, что Модель Бьянкони – Барабаши может претерпевать топологический фазовый переход в соответствии с бозе-эйнштейновской конденсацией бозе-газа. Этот фазовый переход поэтому называется конденсацией Бозе-Эйнштейна в сложных сетях. Следовательно, рассмотрение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что «преимущество первопроходца», «подходящее богатство» (FGR) »И явления« победитель получает все », наблюдаемые в конкурентных системах, являются термодинамически различными фазами лежащих в основе развивающихся сетей.^[1]

Схематическое изображение сопоставления сетевой модели и бозе-газа.^[1]

Математическое отображение эволюции сети до бозе-газа

Начиная с Модель Бьянкони-Барабаши, отображение бозе-газа в сети может быть выполнено путем присвоения энергии ε_я каждому узлу, определяемого его пригодностью через отношение^[1][3]

${displaystyle varepsilon _ {i} = - {frac {1} {eta}} ln {eta _ {i}}}$

куда β = 1 / Т . В частности, когда β = 0 все узлы имеют одинаковую пригодность, когда вместо этого β ≫ 1 узлы с разной «энергией» имеют очень разную приспособленность. Мы предполагаем, что сеть развивается за счет модифицированного преференциальная привязанность механизм. Каждый раз новый узел я с энергией ε_я взятый из распределения вероятностей п(ε) входит в сеть и прикрепляет новую ссылку к узлу j выбирается с вероятностью:

${displaystyle Pi _ {j} = {frac {e ^ {- eta varepsilon _ {j}} k_ {j}} {sum _ {r} e ^ {- eta varepsilon _ {r}} k_ {r}}} .}$

При сопоставлении с бозе-газом мы назначаем каждую новую ссылку, связанную предпочтительным присоединением к узлу. j частица в энергетическом состоянии ε_j.

Теория континуума предсказывает, что скорость, с которой ссылки накапливаются на узле я с "энергией" ε_я дан кем-то

${displaystyle {frac {partial k_ {i} (varepsilon _ {i}, t, t_ {i})} {partial t}} = m {frac {e ^ {- eta varepsilon _ {i}} k_ {i} (варепсилон _ {i}, t, t_ {i})} {Z_ {t}}}}$

куда ${displaystyle k_ {i} (varepsilon _ {i}, t, t_ {i})}$ с указанием количества ссылок, прикрепленных к узлу я который был добавлен в сеть на временном шаге ${displaystyle t_ {i}}$. ${displaystyle Z_ {t}}$ это функция распределения, определяется как:

${displaystyle Z_ {t} = sum _ {i} e ^ {- eta varepsilon _ {i}} k_ {i} (varepsilon _ {i}, t, t_ {i}).}$

Решение этого дифференциального уравнения:

${displaystyle k_ {i} (varepsilon _ {i}, t, t_ {i}) = mleft ({frac {t} {t_ {i}}} ight) ^ {f (varepsilon _ {i})}}$

где динамический показатель ${displaystyle f (varepsilon)}$ удовлетворяет ${displaystyle f (varepsilon) = e ^ {- eta (varepsilon -mu)}}$, μ играет роль химического потенциала, удовлетворяющего уравнению

${displaystyle int dvarepsilon, p (varepsilon) {frac {1} {e ^ {eta (varepsilon -mu)} - 1}} = 1}$

куда п(ε) вероятность того, что узел имеет "энергию" ε и "фитнес" η = е^−βε. В пределе т → ∞, номер занятости, дающий количество ссылок, связанных с узлами с "энергией" ε, следует известной статистике Бозе

${displaystyle n (varepsilon) = {frac {1} {e ^ {eta (varepsilon -mu)} - 1}}.}.$

Определение постоянной μ в сетевых моделях удивительно похоже на определение химического потенциала в бозе-газе. В частности, для вероятностей п(ε) такой, что п(ε) → 0 за ε → 0 при достаточно высокой стоимости β у нас есть конденсационный фазовый переход в сетевой модели. Когда это происходит, один узел с более высокой пригодностью получает конечную долю всех связей. Конденсация Бозе – Эйнштейна в сложных сетях, следовательно, является топологический фазовый переход, после которого сеть имеет звездообразную доминантную структуру.

Фазовый переход Бозе – Эйнштейна в сложных сетях

Численное свидетельство конденсации Бозе – Эйнштейна в сетевой модели.^[1]

Картирование бозе-газа предсказывает существование двух различных фаз в зависимости от распределения энергии. На этапе подгонки-обогащения, описывающего случай равномерного приспособления, более подходящие узлы получают ребра с большей скоростью, чем более старые, но менее подходящие узлы. В конце концов, наиболее подходящий узел будет иметь наибольшее количество ребер, но самый богатый узел не является абсолютным победителем, поскольку его доля ребер (то есть отношение его ребер к общему количеству ребер в системе) уменьшается до нуля в предел больших размеров системы (рис. 2 (б)). Неожиданным результатом этого отображения является возможность конденсации Бозе – Эйнштейна для Т < Т_БЫТЬ, когда наиболее подходящий узел получает конечную долю ребер и сохраняет эту долю ребер с течением времени (рис. 2 (c)).

Представитель фитнес-распределение ρ(η) что приводит к конденсации

${displaystyle ho (eta) = (lambda +1) (1-eta) ^ {lambda}}$

с λ = 1.

Однако существование конденсации Бозе – Эйнштейна или фазы обогащения не зависит от температуры или β системы, но зависит только от функциональной формы распределения пригодности ρ(ν) системы. В конце концов, β выпадает из всех топологически важных величин. Фактически, можно показать, что конденсация Бозе – Эйнштейна существует в фитнес-модели даже без отображения на бозе-газ.^[4] Подобное гелеобразование можно увидеть в моделях с сверхлинейная предпочтительная привязанность,^[5] однако неясно, случайность это или более глубокая связь между этим и фитнес-моделью.

Конденсация Бозе – Эйнштейна в эволюционных моделях и экологических системах

Эта секция возможно содержит синтез материала что не достоверно упомянуть или же иметь отношение к основной теме. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. (Июнь 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В эволюционных моделях каждый вид воспроизводится пропорционально своей приспособленности. В модели бесконечных аллелей каждая мутация порождает новый вид со случайной приспособленностью. Эта модель была изучена статистиком Дж. Ф. К. Кингман и известен как модели «карточного домика».^[6] В зависимости от распределения пригодности модель показывает фазовый переход конденсации. Кингман не понимал, что этот фазовый переход можно сопоставить с конденсацией Бозе – Эйнштейна.

Рекомендации